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1、课时跟踪练(五十五)课时跟踪练(五十五) A 组 基础巩固 1若抛物线y22px的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则p的值为( ) x2 6 y2 2 A2 B2 C4 D4 解析：因为椭圆1 的右焦点为(2，0)， x2 6 y2 2 所以抛物线y22px的焦点为(2，0)，则p4. 答案：D 2已知直线y2(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若2MA 0，则m( )MB A. B.2 2 2 C. D0 1 2 解析：由得A(2，2)，B. y2 2（x1）， y24x，) 2 ( 1 2， 2) 又因为M(1，m)且0，MA MB 所以 2m22m10，解得m.2 2
2、 2 答案：B 3(2019聊城模拟)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的 中点为(2，1)，则直线l的方程为( ) Ayx1 By2x5 Cyx3 Dy2x3 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y4x 1， y4x2， ) 得yy4(x1x2)，由题可知x1x2.所以 2， 2 12 2 y1y2 x1x2 4 y1y2 4 2 即kAB2，所以直线l的方程为y12(x2)，即 2xy30.故选 D. 答案：D 4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦 x2 a2 y2 b2 3 点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为
3、( )7 A.1 B.1 x2 21 y2 28 x2 28 y2 21 C.1 D.1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 解析 ： 由题意知点(2，)在渐近线yx上， 所以 ， 又因为抛物线的准线为x3 b a b a 3 2 ，所以c，故a2b27，所以a2，b.故双曲线的方程为1.773 x2 4 y2 3 答案：D 5 已知抛物线y22px的焦点F与椭圆 16x225y2400 的左焦点重合， 抛物线的准线 与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则点A的横坐标为( )2 A2 B2 C3 D3 解析：16x225y2400 可化为1， x2 25 y2 16 则椭圆的
4、左焦点为F(3，0)， 又抛物线y22px的焦点为， ( p 2，0) 准线为x ，所以 3，即p6， p 2 p 2 即y212x，K(3，0) 设A(x，y)，则由|AK|AF|得2 (x3)2y22(x3)2y2，即x218x9y20， 又y212x，所以x26x90，解得x3. 答案：D 6已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为 2，焦点为F，则|AB|的最大值为 _ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24， 那么|AF|BF|x1x22， 又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值 6. 答案：6 7(2019福建四地六校模拟)过椭圆1 内一点P
5、(3，1)，且被这点平分的弦所 x2 16 y2 4 在直线的方程是_ 解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由于A，B两点均在椭圆上， 故 1， 1， x 16 y 4 x 16 y 4 两式相减得 0. （x1x2）（x1x2） 16 （y1y2）（y1y2） 4 又因为P是A，B的中点，所以x1x26，y1y22， 所以kAB . y1y2 x1x2 3 4 所以直线AB的方程为y1 (x3) 3 4 即 3x4y130. 答案：3x4y130 8 已知椭圆1(0b0， x2 a2 y2 b2 由题意可得c，又椭圆的离心率为，得a2.2 2 2 所以b2a2c2
6、2， 所以椭圆的标准方程为1. x2 4 y2 2 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由2得AP PB x12x2， 1y12（y21）.) 设直线方程为ykx1，代入椭圆方程整理， 得(2k21)x24kx20， 所以x1x2，x1x2. 4k 2k21 2 2k21 由x12x2代入上式可得. ( 4k 2k21) 2 1 2k21 所以k2. 1 14 所以AOB的面积S |OP|x1x2| . 1 2 1 2 2 8 k22 2k21 126 8 10 (2019沈阳模拟)设O为坐标原点， 动点M在椭圆1 上， 过M作x轴的垂线， x2 9 y2 4 垂足为N，点P满足 .
7、NP 2NM (1)求点P的轨迹方程E； (2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2 与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值 1 |AB| 1 |CD| (1)解：设P(x，y)，则N(x，0)，(0，y)，NP 又因为 ，所以M，NM 1 2 NP (0， y 2)(x， 1 2y) 由点M在椭圆上，得1，即1. x2 9( y 2 2 ) 2 x2 9 y2 8 即点P的轨迹方程E为1. x2 9 y2 8 (2)证明：当l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|， 16 3 所以. 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当l1与x轴垂直
8、时，|AB|，|CD|6， 16 3 所以. 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当l1与x轴不垂直也不重合时， 可设l1的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则l2的方程为y (x1) 1 k 联立得消去y， yk（x1）， x2 9 y 2 8 1， ) 得(89k)x218k2x9k2720， 则x1x2，x1x2， 18k2 89k2 9k272 89k2 所以|AB|，1k2（x1x2）24x1x2 48（1k2） 89k2 同理可得|CD|， 48（1k2） 98k2 所以，为定值 1 |AB| 1 |CD| 89k2 48（k21） 98k2 4
9、8（k21） 17 48 综上，为定值 1 |AB| 1 |CD| B 组 素养提升 11(2019福州模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为 1 的直 线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于 点N，若四边形CMNF的面积等于 7，则E的方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 解析：由题意可得F，直线AB的方程为yx . ( p 2，0) p 2 联立得方程组可得x23px0， y22px， yxp 2，) p2 4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p， 则y1y2x1x2p2p， 所以
10、M， ( 3p 2 ，p) 所以N(0，p)，直线MC的方程为yx. 5p 2 所以C， ( 5p 2 ，0) 所以四边形CMNF的面积为 S梯形OCMNSONF p7，又p0， ( 3p 2 5p 2)p 2 1 2 p 2 7p2 4 所以p2，即抛物线E的方程为y24x.故选 C. 答案：C 12(2019十堰模拟)如图，F1、F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点， x2 a2 y2 b2 过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A、B.若ABF2为等边三角形， 则双曲线的离心率 为( ) A4 B. 7 C. D. 2 3 3 3 解析：因为ABF2为等边三角形， 所以|AB|A
11、F2|BF2|，F1AF260. 由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a， 所以|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a， 所以|BF2| 4a. 所以|AF2|4a，|AF1|6a. 在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos 60， 所以(2c)2(6a)2(4a)224a6a ，即c27a2，所以e .故选 B. 1 2 c a c2 a2 7 答案：B 13(2019深圳模拟)设过抛物线y22px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛 物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y28px(p0)的另一个交点为Q，则
12、 _ S ABQ S ABO 解析：设直线OP的方程为ykx(k0)， 联立解得P， ykx， y22px，)( 2p k2， 2p k) 联立解得Q， ykx， y28px，)( 8p k2， 8p k) 所以|OP|，|PQ|， 4p2 k4 4p 2 k2 2p1k2 k2 36p2 k4 36p 2 k2 6p1k2 k2 所以3. S ABQ S ABO |PQ| |OP| 答案：3 14一题多解(2019广州综合测试)已知定点F(0，1)，定直线l：y1，动圆M 过点F，且与直线l相切 (1)求动圆M的圆心轨迹C的方程； (2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作
13、曲线C的切线l1，l2， 两条切线相交于点P，求PAB外接圆面积的最小值 解：(1)法一 设圆心M到直线l的距离为d， 由题意|MF|d. 设圆心M(x，y)，则有|y1|.x2（y1）2 化简得x24y. 所以点M的轨迹C的方程为x24y. 法二 设圆心M到直线l的距离为d， 由题意|MF|d. 根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线， 焦点为F(0，1)，准线为y1. 所以点M的轨迹C的方程为x24y. (2)法一 设lAB：ykx1， 代入x24y中，得x24kx40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x24k，x1x24. 所以|AB|x1x2|4(k21)1k2 因为
14、曲线C：x24y，即y，所以y . x2 4 x 2 所以直线l1的斜率为k1， x1 2 直线l2的斜率为k2. x2 2 因为k1k21， x1x2 4 所以PAPB，即PAB为直角三角形 所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径 因为|AB|4(k21)，所以当k0 时，线段AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积最 小，最小面积为 4. 法二 设lAB：ykx1， 代入x24y中，得x24kx40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x24k，x1x24. 所以|AB|x1x2|4(k21)1k2 因为曲线C：x24y，即y，所以y . x2 4 x
15、2 所以直线l1的方程为yy1(xx1)， x1 2 即yx . x1 2 x 4 同理可得直线l2的方程为yx . x2 2 x 4 联立，解得即P(2k，1) xx 1x2 2 ， yx 1x2 4 ，) 因为(x12k，y11)(x22k，y21)x1x22k(x1x2)4k2y1y2(y1PA PB y2)10， 所以PAPB，即PAB为直角三角形 所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径 因为|AB|4(k21)，所以当k0 时，线段AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积最 小，最小面积为 4. 法三 设lAB：ykx1，由对称性不妨设点A在y轴的左侧， 代入
16、x24y中，得x24kx40. 解得A(2k2，2k22k1)，k21k21 B(2k2，2k22k1)k21k21 所以|AB|4(k21) 因为曲线C：x24y，即y，所以y . x2 4 x 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以直线l1的方程为yy1(xx1)， x1 2 即yx . x1 2 x 4 同理可得直线l2的方程为yx . x2 2 x 4 联立，解得即P(2k，1) xx 1x2 2 ， yx 1x2 4 ，) 因为AB的中点M的坐标为(2k，2k21)， 所以AB的中垂线方程为y(2k21) (x2k)， 1 k 因为PA的中垂线方程为y(k2k)(k)x(2k)，k21k21k21 联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k，2k21) 因为点M，N的坐标相同， 所以AB的中点M为PAB的外接圆的圆心 所以PAB是直角三角形，且PAPB. 所以线段AB是PAB外接圆的直径 因为|AB|4(k21)， 所以当k0 时，线段AB最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4.