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1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 2019 考纲考题考情 1直线与圆的位置关系与判断方法 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r (r10)， 2 1 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r (r20)。 2 2 3.两圆公切线的条数 1关注一个直角三角形 当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的 一半及半径构成一个直角三角形。 2两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆 C1：x2y2D1xE1yF10， 圆 C2：x2y2D2xE2yF20， 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由 所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0。 一、走进
2、教材 1 (必修2P128练习T4改编)若直线xy10与圆(xa)2y2 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A3，1 B1,3 C3,1 D(，31，) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，所以2 ，即|a1|2，解得3a1。 |a01| 1212 2 答案 C 2 (必修2P133A组T9改编)圆x2y240与圆x2y24x 4y120 的公共弦长为_。 解析 由Error!Error!得 xy20。又圆 x2y24 的圆心到直 线 xy20 的距离为。由勾股定理得弦长的一半为 2 2 2 ，所以所求弦长为 2。4222 答案 2 2 二、走近高考 3 (2018全国
3、卷)直线xy20分别与x轴， y轴交于A， B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是 ( ) A2,6 B4,8 C，3 D2，32222 解析 因为直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两 点。 所以 A(2,0)， B(0， 2)， 则|AB|2。 由圆(x2)2y222 可得圆心坐标为(2,0)，r，ABP 的面积记为 S，点 P 到直2 线 AB 的距离记为 d，则有 S |AB|dd，又圆心到直线的距 1 2 2 离 d2，则 dmax3，dmin，所以 2S6。 |202| 2 222 故选 A。 答案 A 4(2018全国卷)直线 yx
4、1 与圆 x2y22y30 交 于 A，B 两点，则|AB|_。 解析 根据题意，圆的方程可化为 x2(y1)24，所以圆 的圆心为(0，1)，且半径是 2，根据点到直线的距离公式可以 求得圆心到直线的距离 d，可知|AB|2 |011| 1212 242 2。2 答案 2 2 三、走出误区 微提醒：忽视分两圆内切与外切两种情形；忽视切线斜 率 k 不存在的情形；求弦所在直线的方程时遗漏一解。 5 若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切， 则常数a _。 解析 两圆的圆心距 d， 由两圆相切(外切或内 42a2 切)，得51 或51，解得 a2 42a242a25 或 a0。 答案 2
5、或 05 6已知圆 C：x2y29，过点 P(3,1)作圆 C 的切线，则切 线方程为_。 解析 由题意知 P 在圆外， 当切线斜率不存在时， 切线方程 为 x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为 k，所以切线 方 程 为 y 1 k(x 3)， 所 以 kx y 1 3k 0， 所 以 3， 所以 k ， 所以切线方程为 4x3y |k 0013k| k212 4 3 150。综上，切线方程为 x3 或 4x3y150。 答案 x3 或 4x3y150 7若直线过点 P且被圆 x2y225 截得的弦长 ( 3，3 2) 是 8，则该直线的方程为_。 解析 当直线的斜率不存在时，该直线的方
6、程为 x3， 代入圆的方程得 y4，故该直线被圆截得的弦长为 8，满足题 意。当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y k(x3)， 3 2 即 kxy3k 0，则圆心到直线的距离 d，则 2 3 2 |6k3| 2 k 21 8， 解得 k ， 所以直线方程为 3x4y15 52 ( |6k3| 2 k 21) 2 3 4 0。综上所述，所求直线方程为 x3 或 3x4y150。 答案 x3 或 3x4y150 考点一 直线与圆的位置关系 【例 1】 (2019西安八校联考)若过点 A(3,0)的直线 l 与曲 线(x1)2y21 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为( ) A(，) B
7、，3333 C D ( 3 3 ， 3 3 ) 3 3 ， 3 3 解析 数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 为 yk(x3)，则圆心(1,0)到直线 yk(x3)的距离应小于等于 半径 1，即1，解得k。故选 D。 |2k| 1k2 3 3 3 3 解析：数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设为 k，当 k1 时，直线 l 的方程为 xy30，圆心(1,0)到直线 l 的距离为 1，直线与圆相离，故排除 A，B； 当 k时， |103| 1212 2 3 3 直线 l 的方程为 xy30，圆心(1,0)到直线 l 的距离为3 1，直线与圆相切，排除 C。故选 D。 |1
8、3 03| 12r(3)2 答案 D 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1几何法：利用 d 与 r 的关系。 2代数法：联立方程之后利用 判断。 3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内， 可判断直线与圆相交。 【变式训练】 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外， 则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 (2)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位 置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 解析 (1)因为 M(a， b)在圆 O： x2y21 外， 所以 a2b21， 而圆心O到直线axby1的距
9、离d0)与圆 O：x2y25 交于相异两点 A，B，若|2|，则实数 m 的取值范围是( ) A(，2) B(2,2)555 C(2，5) D(2，)55 解析 因为直线 x2ym0 与圆 O：x2y25 交于相异 两点 A，B，所以 O 点到直线 x2ym0 的距离 d2|， 所以|2|2|， 所以|4。所以 40， 1 4 m2 5 所以 2m5。故选 C。5 答案 C 4 (配合例 4 使用)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A(0， 3)， 若圆 C： (xa)2(ya2)21 上存在一点 M 满足|MA|2|MO|， 则实数 a 的取值范围是_。 解析 设满足|MA|2|MO|的点的坐标为 M(x，y)，由题意有 2，整理可得 x2(y1)24，即所有满足 x2y32x2y2 题意的点 M 组成的轨迹方程是一个圆， 原问题转化为圆 x2(y 1)24 与圆 C： (xa)2(ya2)21 有交点，据此可得关于实 数 a 的不等式组：Error!Error!解得Error!Error!综上可得，实数 a 的取值范围 是0,3。 答案 0,3