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1、课后限时集训(十二) 函数模型及其应用课后限时集训(十二) 函数模型及其应用 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1某新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间 关系的是( ) Ay100x By50x250x100 Cy502x Dy100log2 x100 C C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型故选 C. 2某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该 市这两年生产总值的年平均增
2、长率为( ) A. B pq 2 p1q11 2 C. D1pqp1q1 D D 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1p)(1q)a(1x)2，解得x 1，故选D1p1q 3(2017北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3361，而可观测 宇宙中普通物质的原子总数N约为 1080.则下列各数中与 最接近的是(参考数据：lg M N 30.48)( ) A1033 B1053 C1073 D1093 D D 由题意，lg lg lg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.48801 M N 3361 1080 93.28. 又 lg 103333
3、，lg 105353，lg 107373，lg 109393， 故与 最接近的是 1093. M N 故选 D 4血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度药物在人体内 发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间已知成人单 次服用 1 单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是( ) A首次服用该药物 1 单位约 10 分钟后，药物发挥治疗作用 B每次服用该药物 1 单位，两次服药间隔小于 2 小时，一定会产生药物中毒 C每间隔 5.5 小时服用该药物 1 单位，可
4、使药物持续发挥治疗作用 D首次服用该药物 1 单位 3 小时后，再次服用该药物 1 单位，不会发生药物中毒 D D 结合图像易知 A，B，C 均正确，D 选项中的描述会中毒，故选D 5 某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)Error!已知某家庭2018 年前三个月的煤气费如下表： 月份用气量煤气费 一月份4 m34 元 二月份25 m314 元 三月份35 m319 元 若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为( ) A11.5 元 B11 元 C10.5 元 D10 元 A A 根据题意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB
5、(35A)19， 解得A5，B ，C4，所以f(x)Error!所以f(20)4 (205)11.5，故选 A. 1 2 1 2 二、填空题 6拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其 中m0， m是不超过m的最大整数(如33， 3.73， 3.13)， 则甲、 乙两地通话 6. 5 分钟的电话费为_元 424 m6.5， 6.56， f(6.5)1.06(0.561)4.24. 7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接 矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m. 20 设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得 x 40 ，解得y
6、40x，所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)， 40y 40 当x20 时，Smax400. 8已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P ；投资x万元经销乙商品所获得的 x 4 利润为Q (a0) a 2 x 若投资 20 万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品， 使所获得的利润不少于 5 万 元，则a的最小值为_ 设投资乙商品x万元(0x20)，则投资甲商品(20x)万元5 利润分别为Q (a0)，P， a 2 x 20x 4 因为PQ5,0x20 时恒成立， 则化简得a ，0x20 时恒成立x x 2 (1)x0 时，a为一切实数； (2)0x20 时，分离参
7、数a，0x20 时恒成立， x 2 所以a，a的最小值为.55 三、解答题 9网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展 方向某品牌行车记录仪支架销售公司从 2018 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合 的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销售x万件与投入实体店体验安装的费用t万 元之间满足x3函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 2 t1 万件进货价格为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体 店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润是多少万元 解 由题知t1，(1x3)， 2
8、 3x 所以月利润：yx32x3t16x 316x 345.5 (48 t 2x) t 2 1 3x 1 2 45.5237.5， 163x 1 3x 16 当且仅当x时取等号，即月最大利润为 37.5 万元 11 4 10某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是 10,100(单位：万元)现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投 资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过 5 万元，同时资金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数模型yf(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的 条件； (2)现有两个奖励函数模型：()
9、yx1； 1 20 ()ylog2x2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求 解 (1)设奖励函数模型为yf(x)， 则该函数模型满足的条件是： 当x10,100时，f(x)是增函数； 当x10,100时，f(x)5 恒成立 当x10,100时，f(x) 恒成立 x 5 (2)(a)对于函数模型()yx1， 1 20 它在10,100上是增函数，满足条件； 但当x80 时，y5，因此，当x80 时，y5，不满足条件； 故该函数模型不符合公司要求 (b)对于函数模型()ylog2x2，它在10,100上是增函数，满足条件， x100 时，ymaxlog2 10022log2 55，即f(x)5
10、恒成立满足条件， 设h(x)log2x2x，则h(x) ， 1 5 log2e x 1 5 又x10,100，所以 ， 1 100 1 x 1 10 所以h(x) 0， log2e 10 1 5 2 10 1 5 所以h(x)在10,100上是递减的， 因此h(x)h(10)log21040， 即f(x) 恒成立，满足条件， x 5 故该函数模型符合公司要求 综上所述，函数模型()ylog2x2 符合公司要求 B B 组 能力提升 1(2019武汉检测)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销 售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2
11、2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 ( ) A10.5 万元 B11 万元 C43 万元 D43.025 万元 C C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以 可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32 2 32.因 1 10(x 21 2) 1 10 212 4 为x0,16且xN N，所以当x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元 2.(2018山西一模)如图， RtABC中，ABBC， |AB|， |BC|6 .若其顶点A在x轴上运动，顶点B在y轴的非负
12、半轴上运动设顶2 点C的横坐标非负，纵坐标为y， 且直线AB的倾斜角为， 则函数y f()的图像大致是( ) A B C D A A 当 时，y， 排除 B 和 C； 当0 时，y取得最小值， 排除 D， 故选 A. 22 3某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司 2018 年全年投入的研发 资金为 300 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入的 研发资金开始超过 600 万元的年份是_(参考数据：lg 1.10.041，lg 20.301) 2026 设从 2018 年后，第x年该公司全年投入的研发资金为y万元，则y300(1 10%)x，
13、 依题意得， 300(110%)x600， 即 1.1x2， 两边取对数可得x7.3， lg 2 lg 1.1 0.301 0.041 则x8，即该公司全年投入的研发资金开始超过 600 万元的年份是 2026 年 4(2019湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是 4 万元，每生产一件产品成本增加 100 元， 工厂每件产品的出厂价定为a元时， 生产x(x0)件产品的销售收入是R(x)x2 1 4 500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润) 销售商从工厂以每件a 总利润 总产量 元进货后，又以每件b元销售，且ba(ca)，其中c为最高限价(abc)，为销 售乐观系数，据
14、市场调查，由当ba是cb，ca的比例中项时来确定 (1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值； (2)求乐观系数的值； (3)若c600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值 解 (1)依题意设总利润为L(x)， 则L(x)x2500x100x40 000x2 1 4 1 4 400x40 000(x0)， P(x)x400200400200， 当且仅当x 1 4x 2400x40 000 x 1 4 40 000 x 1 4 ，即x400 时等号成立 40 000 x 故当每天生产量为 400 件时，平均利润最大，最大值为 200 元 (2)由ba(ca)，得. ba ca ba是cb，ca的比例中项， (ba)2(cb)(ca)， 两边同时除以(ba)2，得 1， caba ba ca ba( ca ba1) ca ba 1，解得或(舍去) ( 1 1) 1 51 2 51 2 故乐观系数的值为. 51 2 (3)厂家平均利润最大，a100P(x)100200400. 40 000 x 40 000 400 由ba(ca)，结合(2)可得ba(ca)100(1)，5 b100(3)5 故a与b的值分别为 400,100(3)5