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1、- 1 - 课后限时集训(二十二) 三角恒等变换课后限时集训(二十二) 三角恒等变换 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1(2018南宁二模)已知 cos 2 ，则 tan2( ) 1 3 A. B2 2 3 C. D. 3 4 1 2 D cos 2cos2sin2 ， 1 3 ， cos2sin2 cos2sin2 1 3 即 ，tan2 . 1tan2 1tan2 1 3 1 2 2(2019湖北模拟)已知，cos ，则 sin 的值等于( ) (0， 2)( 6 ) 1 3 A. B. 2 2 3 6 2 2 3 6 C. D 2 61 6 2 61 6 C 由题
2、可知 sin，则 sin cossin ( 6 )1cos2( 6 ) 2 2 3( 6 ) 3 sin coscos ，故选 C. ( 6 ) 3( 6 ) 3 2 2 3 3 2 1 3 1 2 2 61 6 3已知，均为锐角，且 sin 22sin 2，则( ) Atan()3tan() Btan()2tan() C3tan()tan() D3tan()2tan() A 法一 ： 因为 2()()，2()()，sin 22sin 2， 所以 sin()()2sin()()， 展开，可得 sin()cos()cos()sin()2sin()cos( )cos()sin()， 整理得 sin
3、()cos()3cos()sin()， 两边同时除以 cos()cos()，得 tan()3tan()，故选 A. 法二：因为 sin 22sin 2， 所以 tan tan sincos cossin - 2 - 3，即 tan()3tan()，故选 A. 1 2sin 2sin 2 1 2sin 2sin 2 3sin 2 sin 2 4已知 sin cos ，且，则的值为( ) 1 3(0， 2) cos 2 sin( 4) A B. 2 3 2 3 C D. 1 3 1 3 A 因 为 sin cos ， 即 sin cos ， 所 以 1 3 1 3 cos 2 sin( 4) co
4、s2sin2 sin cos 4 cos sin 4 ，故选 A. cos sin cos sin 2 2 sin cos 1 3 2 2 2 3 5设acos 50cos 127cos 40sin 127，b(sin 56cos 56)，c 2 2 ，则a，b，c的大小关系是( ) 1tan239 1tan239 Aabc Bbac Ccab Dacb D acos 50cos 127sin 50sin 127cos(12750)cos 77sin 13， b(sin 56cos 56)sin(5645)sin 11， 2 2 ccos 78sin 12， 1tan239 1tan239 c
5、os239sin239 sin239cos239 又 sin x在上单调递增， (0， 2) sin 11sin 12sin 13 即bca，故选 D. 二、填空题 6已知 cos() ，cos() ，则 tan tan 的值为_ 1 6 1 3 因为 cos() ， 1 3 1 6 - 3 - 所以 cos cos sin sin 1 6 因为 cos() ， 1 3 所以 cos cos sin sin 1 3 得 cos cos . 1 4 得 sin sin . 1 12 所以 tan tan . sin sin cos cos 1 3 7已知 sin ，cos()，若，是锐角，则_.
6、 4 3 7 11 14 sin ，cos()，是锐角， 3 4 3 7 11 14 则 cos ，sin()， 1 7 5 3 14 所以 cos cos()cos()cos sin()sin ， 1 2 所以. 3 8(2019长春质检)函数f(x)sinsin x的最大值为_ (x 3) 函数f(x)sinsin x3 (x 3) sin xcos xsin x 1 2 3 2 sin xcos x 3 2 3 2 3 ( 3 2 sin x1 2cos x) sin.3 (x 6) 3 故最大值为.3 三、解答题 9(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合
7、，它的终 边过点P. ( 3 5， 4 5) (1)求 sin()的值； (2)若角满足 sin()，求 cos 的值 5 13 解 (1)由角的终边过点P，得 sin ， ( 3 5， 4 5) 4 5 - 4 - 所以 sin()sin . 4 5 (2)由角的终边过点P，得 cos ， ( 3 5， 4 5) 3 5 由 sin()，得 cos(). 5 13 12 13 由()，得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 或 cos . 56 65 16 65 10(2019温州模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x.3 (1)求函数f(x)的最小正
8、周期； (2)若0，f() ，求 sin 2的值 2 5 6 解 (1)函数f(x)sin xcos xcos2x3 sin 2x 3 2 1cos 2x 2 sin ， (2x 6) 1 2 函数f(x)的最小正周期为. 2 2 (2)若0， 2 则 2， 6( 5 6 ， 6) f()sin ， (2 6) 1 2 5 6 sin ， (2 6) 1 3 2， 6(0， 6) cos(2 6) ，1sin2(2 6) 2 2 3 sin 2sinsincos cossin (2 6 6)(2 6) 6(2 6) 6 1 3 3 2 2 2 3 1 2 . 32 2 6 B 组 能力提升 1
9、已知函数f(x)sin xcos x在x时取得最大值，则 cos( )3 (2 4) - 5 - A B 2 6 4 1 2 C. D. 2 6 4 3 2 C 法一 ： f(x)sin xcos x2sin， 又f(x)在x时取得最大值， 3 (x 3) 2k(kZ)，即2k(kZ)，于是 coscoscos 3 2 6(2 4)( 3 4 4k) ，故选 C. ( 3 4) 1 2 2 2 3 2 2 2 2 6 4 法二：f(x)sin xcos x，3 f(x)cos xsin x.3 又f(x)在x时取得最大值，f()cos sin 0，即 tan ，则 cos3 3 3 (cos
10、2sin 2)，故选 C. (2 4) 2 2 2 2 1tan22tan 1tan2 2 6 4 24cos 50tan 40( ) A. B.2 2 3 2 C. D2132 C 借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解 4cos 50tan 404sin 40sin 40 cos 40 4sin 40cos 40sin 40 cos 40 2sin 80sin 40 cos 40 sin 80sin6020sin6020 cos 40 sin 802cos 60sin 20 cos 40 sin 80sin 20 cos 40 sin5030sin5030 cos 40 . 2sin 5
11、0cos 30 cos 40 3 cos 40 cos 40 3 3(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_ 因为f(x)2sin xsin 2x， 3 3 2 所以f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x24(cos 1)， (cos x 1 2) x 由f(x)0 得 cos x1，即 2kx2k，kZ， 1 2 3 3 由f(x)0 得1cos x ，2kx2k 或 2kx2k，kZ， 1 2 3 3 - 6 - 所以当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值， 3 且f(x)minf2sinsin 2. (2k 3)(2k 3)(
12、2k 3) 3 3 2 4已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的3 3 图象的一条对称轴 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再 向左平移个单位长度得到的，若g ，求 sin 的值 2 3(2 3) 6 5(0， 2) 解 (1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，3 (2x 6) 由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴， 3(2x 6) 所以k(kZ)， 2 3 6 2 解得k (kZ)， 3 2 1 2 又 01，所以 ， 1 2 所以
13、f(x)2sin. (x 6) 由 2kx2k(kZ)， 2 6 2 得 2kx2k(kZ)， 2 3 3 所以函数f(x)的单调递增区间为 (kZ) 2k 2 3 ，2k 3 (2)由题意可得g(x)2sin， 1 2(x 2 3) 6 即g(x)2cos ， x 2 由g2cos2cos ，得 cos ， (2 3) 1 2(2 3)( 6) 6 5( 6) 3 5 又，故， (0， 2) 6 6 2 3 所以 sin ， ( 6) 4 5 所以 sin sin( 6) 6 - 7 - sincos cossin . ( ( 6) ) 6 ( ( 6) ) 6 4 5 3 2 3 5 1 2 4 33 10