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1、- 1 - 课后限时集训(四十二) 立体几何中的向量方法课后限时集训(四十二) 立体几何中的向量方法 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成 角的余弦值为( ) A. B. 10 10 30 10 C. D. 2 15 10 3 10 10 B 建立空间直角坐标系如图 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(BC1 AE 1,2,1)， cos，.BC1 AE BC1 AE |BC1 |AE | 30 10 所以异面直线B
2、C1与AE所成角的余弦值为. 30 10 2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等边三角形，侧棱垂直于底面，AB4，AA16， 若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BEB1E，C1FCC1，则异面直线A1E与AF所成角的 1 3 余弦值为( ) A. B. 3 6 2 6 C. D. 3 10 2 10 D 以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中作AC的垂线为y轴，CC1 为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 由题意知A1(4,0,6)，E(2,2，3)，F(0,0,4)，A(4,0,0)，3 (2,2，3)，A1E 3 (4,0,4)AF 设异面直线A1E与AF所成的角为， 则
3、cos . |A1E AF | |A1E |AF | 4 20 2 2 10 异面直线A1E与AF所成角的余弦值为.故选 D. 2 10 3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直3 - 2 - 线DE与平面BB1C1C所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 A 由已知AB2BC2AC2， 得ABBC.以B为原点， 分别以BC，BA，BB1所 在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA12a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，3 ( 3 2 ，1 2，a) E(0,0，a)，所以 ， 平面BB1C1C的一个法
4、向量为n(0,1,0)，ED ( 3 2 ，1 2，0) cos，n ，n 60， 所以直线DE与平面BB1C1CED ED n |ED |n| 1 2 ( 3 2) 2(1 2) 202 1 1 2 ED 所成的角为 30.故选 A. 4.如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD为平行四边形， 且BC平面PAB， PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值 为( ) A. B. 6 6 3 6 C. D. 2 6 1 6 A 因为BC平面PAB，PA平面PAB，所以PABC，又PAAB，且BCABB， 所以PA平面ABCD. 以点A为坐标原点， 分别以AB
5、，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立 空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，M， ( 1 2，0，1) 所以(1,2,0)，AC AM ( 1 2，0，1) 求得平面AMC的一个法向量为n(2,1,1)， 又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，AP 所以 cosn， .AP nAP |n|AP | 2 411 2 1 6 6 6 所以二面角BACM的余弦值为. 6 6 5 在直三棱柱ABCA1B1C1中， ACB90， 2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60， 则AD的长为( ) A. B.23 - 3 -
6、 C2 D. 2 2 A 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系， 则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)， (1,0，a)， CD CB1 (0,2,2)设平面B1CD的法向量为m(x，y，z) 由Error! 得Error!令z1，则m(a,1，1) 又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)， 则由 cos 60，得 ，解得a， |mn| |m|n| 1 a22 1 2 2 所以AD.故选 A.2 二、填空题 6.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底
7、面ABC，ABBCAA1， ABC 90， 点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_ 60 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBC AA12， 则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， 则(0，1,1)，(2,0,2)，EF BC1 2，EF BC1 cos， ，EF BC1 2 2 2 2 1 2 EF和BC1所成的角为 60. 7 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB， 则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_ 以D为坐标原点， 建立空间直角坐标系， 如图， 设AA12AB2， 则D(0,0,0)， 2
8、 3 C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)DC DB DC1 设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)， 则Error!所以有Error! 令y2，得平面BDC1的一个法向量n(2，2,1) 设CD与平面BDC1所成的角为，则 sin |cosn， | .DC | nDC |n|DC | 2 3 8(2019 汕头模拟 )在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，ADBC，SA平面ABCD，SAABBC - 4 - 1，AD ， 则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是_ 1 2 如图所示，建立空间直角坐标系，则
9、依题意可知， 6 3 D，C(1,1,0)，S(0,0,1)， ( 1 2，0，0) 可知是平面SAB的一个法向量AD ( 1 2，0，0) 设平面SCD的一个法向量n(x，y，z)， 因为，SD ( 1 2，0，1) ，DC ( 1 2，1，0) 所以n0，n0，SD DC 即 z0， y0. x 2 x 2 令x2，则有y1，z1， 所以n(2，1,1) 设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为， 则 cos |AD n| |AD |n| . 1 2 20 10 1 ( 1 2) 2 221212 6 3 三、解答题 9.(2019陕西模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAB，
10、 ABC90，侧面A1ABB1底面ABC. (1)求证：AB1平面A1BC； (2)若AC5，BC3，A1AB60，求二面角BA1CC1的余弦 值 解 (1)证明：在侧面A1ABB1中，A1AAB， 四边形A1ABB1为菱形，AB1A1B. 侧面A1ABB1底面ABC，ABC90， 平面A1ABB1平面ABCAB， CB侧面A1ABB1. AB1平面A1ABB1，CBAB1. 又A1BBCB，AB1平面A1BC. - 5 - (2)在 RtABC中，AC5，BC3，AB4， 在菱形A1ABB1中， A1AB60， A1AB为正三角形 如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点，OA1所在
11、直线为x轴，OA所在直线为y轴， 过点O且与BC平行的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A1(2,0,0)，B(2,0,0)，C(2,0,3)，B1(0，2，0)，C1(0，2，3)，33 (2,2，0)，(2,2，3)C1C 3C1A1 3 设n(x，y，z)为平面A1CC1的法向量，则Error! Error! 令x3，得n(3， ，4)为平面A1CC1的一个法向量3 又(0，2，0)为平面A1BC的一个法向量，OB1 3 cosn，.OB1 nOB1 |n|OB1 | 6 2 7 2 3 21 14 由直观图知，二面角BA1CC1的平面角为钝角， 二面角BA1CC1的余弦值为.
12、21 14 10.(2018天津高考)如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG 平面ABCD，DADCDG2. (1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE； (2)求二面角EBCF的正弦值； (3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求 线段DP的长 解 依题意，可以建立以D为原点，分别以， ，的方向DA DC DG 为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,1,2)， G(0,0,2)，M0，
13、1，N(1,0,2) 3 2 (1)证明：依题意(0,2,0)，(2,0,2) 设n0(x，y，z)为平DC DE - 6 - 面CDE的法向量，则Error!即Error!不妨令z1，可得n0(1,0，1)又，可得n00，又MN (1， 3 2，1) MN 因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE. (2)依题意，可得(1,0,0)，(1，2,2)，(0，1,2)BC BE CF 设n(x，y，z)为平面BCE的法向量，则Error!即Error!不妨令z1，可得n(0,1,1) 设m(x，y，z)为平面BCF的法向量，则Error!即Error!不妨令z1，可得m(0,2,1) 因此有
14、cosm，n， mn |m|n| 3 10 10 于是 sinm，n. 10 10 所以，二面角EBCF的正弦值为. 10 10 (3)设线段DP的长为h(h0,2)，则点P的坐标为(0,0，h)，可得(1，2，h)易知， (0,2,0)BP DC 为平面ADGE的一个法向量，故 |cos， |，BP DC |BP DC | |BP |DC | 2 h25 由题意，可得sin 60，解得h0,2 2 h25 3 2 3 3 所以，线段DP的长为. 3 3 B 组 能力提升 1设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则点D1到平面A1BD的距离是( ) A. B. 3 2 2 2 C. D
15、. 2 2 3 2 3 3 D 如图建立坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)， (2,0,0)，(2,2,0)，D1A1 DB (2,0,2)DA1 设平面A1BD的法向量为 n(x，y，z)，则Error! Error!令z1，得n(1,1,1) D1到平面A1BD的距离d. |D1A1 n| |n| 2 3 2 3 3 2已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为 2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1 - 7 - 平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( ) A. B. 3 4 13 4 C. D. 39 13 39 3 C
16、 取AD中点O，连接OA1，易证A1O平面ABCD.建立如图所 示的空间直角坐标系， 得B(2， 1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)， 平面ABCD的3BD1 3 一个法向量为n(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为，sin ， |BD1 n| |BD1 |n| 3 4 tan . 39 13 3如图所示， 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的 两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_17 60 ，CD CA AB BD |CD CA AB BD 2 3616642CA BD 2.1162CA BD 17 |c
17、os， 24.CA BD CA BD CA BD cos， .CA BD 1 2 又所求二面角与， 互补，CA BD 所求的二面角为 60. 4等边三角形ABC的边长为 3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足 ，如图 1. AD DB CE EA 1 2 将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB为直二面角，连接A1B，A1C，如图 2. 图 1 图 2 - 8 - (1)求证：A1D平面BCED； (2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为 60？若存在，求出PB的 长；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：因为等边三角形ABC的边长为 3，且 ，
18、 AD DB CE EA 1 2 所以AD1，AE2. 在ADE中，DAE60， 由余弦定理得 DE.12222 1 2 cos 603 从而AD2DE2AE2，所以ADDE. 折起后有A1DDE，因为二面角A1DEB是直二面角， 所以平面A1DE平面BCED， 又平面A1DE平面BCEDDE， A1DDE，所以A1D平面BCED. (2)存在理由：由(1)可知EDDB，A1D平面BCED. 以D为坐标原点，分别以DB，DE，DA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设PB2a(02a3)， 作PHBD于点H， 连接A1H，A1P， 则BHa，PHa，DH2a.3 所以A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0， ，0)所以(a2，a,1)33PA1 3 因为ED平面A1BD， 所以平面A1BD的一个法向量为(0， ， 0) 要使直线PA1与平面A1BD所成的角为 60，DE 3 则 sin 60 |PA1 DE | |PA1 |DE | ， 3a 4a24a 5 3 3 2 解得a ，此时 2a ，满足 02a3，符合题意 5 4 5 2 所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为 60，此时PB . 5 2