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1、课后跟踪训练(三十) 基础巩固练 一、选择题 1已知菱形 ABCD 的边长为 6，ABD30，点 E，F 分别在 边 BC， DC 上， BC2BE， CDCF.若9， 则 的值为( ) AE BF A2 B3 C4 D5 解析 依题意得，因 AE AB BE 1 2BC BA BF BC 1 BA 此 22 ，于 AE BF ( 1 2BC BA ) ( BC 1 BA ) 1 2BC 1 BA ( 1 21)BC BA 是有6262cos609，由此解得 3，故选 B. ( 1 2 1 ) ( 1 21) 答案 B 2已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在
2、 CD 方向上的投影是( ) BA A3 B C3 D.5 3 2 2 5 3 2 2 解析 依题意得，(2，1)，(5,5)， BA CD BA CD 15，|，因此向量在方向上的投影是3 BA 5CD BA BA CD |BA | 15 5 ，故选 A.5 答案 A 3(2019山西太原一模)已知向量 a(1，cos)，b(sin，1)， 且 00，cos0，所以 ab0，故排除选 4 6 项 C， D， 再验证选项 A 或 B， 如 时， a， b， ab 3 4 ( 1， 2 2 )( 2 2 ，1) 0，故选 B. 答案 B 4(2018浙江台州中学期中)设向量 a，b 满足|a|1
3、，a 与 ab 的夹角为 150，则|b|的取值范围是( ) A. B. 1 2，1) 1 2，) C. D(1，) 3 2 ，) 解析 作OAB，设a，b，则ab. OA OB BA OA OB a 与 ab 的夹角为 150，即与的夹角为 150， OA BA 在OAB 中，OAB150. 由正弦定理得，0B30， |b| sin30 1 sinB 0sinB ，02sinB1， 1 2 |b|(1，)故选 D. sin30 sinB 1 2sinB 答案 D 5(2019福建高三质检)ABC 中，A90，AB2，AC1， 设点P， Q满足，(1).若2， 则( ) AP AB AQ AC
4、 BQ CP A. B. C. D2 1 3 2 3 4 3 解析 以点 A 为坐标原点， 以的方向为 x 轴的正方向， 以 AB AC 的方向为 y 轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知 B(2,0)， C(0,1)， P(2， 0)， Q(0,1)，(2,1)，(2， 1) BQ CP BQ 2，132，解得 ，故选 A. CP 1 3 答案 A 二、填空题 6 (2018天津一中月考)已知向量与的夹角为 120， 且| AB AC AB 3，|2.若，且，则实数 _. AC AP AB AC AP BC 解析 由题意可知， 因为， 所以0， BC AC AB AP BC AP BC
5、 所以()() 22 AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB 323222231270.解得 . ( 1 2) ( 1 2) 7 12 答案 7 12 7已知向量 a(cos，sin)，向量 b(，1)，则|2ab|的3 最大值与最小值的和为_ 解析 由题意可得 abcossin2cos， 则|2ab|3 ( 6) 0,4，所以|2ab| 2ab24|a|2|b|24ab88cos( 6) 的最大值与最小值的和为 4. 答案 4 8(2019湖南长沙长郡中学模拟)已知 AD 是ABC 的中线，AD (，R)，A120，2，则|的最小值 AB AC AB AC A
6、D 是_ 解析 由题意知 ()， 记|c， |b， 则 AD 1 2 AB AC AB AC AB AC bccos1202，所以 bc4. 2 (222 ) (c2b24)，显然 b2c22bc AD 1 4 AB AC AB AC 1 4 8(当且仅当 bc 时取等号)，所以 2 (84)1，即| |的最 AD 1 4 AD 小值为 1. 答案 1 三、解答题 9已知向量 a(1,2sin)，b，R. ( sin( 3)，1) (1)若 ab，求 tan 的值； (2)若 ab，且 ，求 的值 ( 0， 2) 解 (1)因为 ab，所以 ab0， 所以 2sinsin0，即 sincos0
7、. ( 3) 5 2 3 2 因为 cos0，所以 tan. 3 5 (2)由 ab，得 2sinsin1， ( 3) 即 2sin2cos 2sincossin 1，即 (1cos2)sin21， 3 3 1 2 3 2 整理得 sin ， ( 2 6) 1 2 又 ，所以 2 ， ( 0， 2) 6 ( 6， 5 6 ) 所以 2 ，即 . 6 6 6 10(2019山东枣庄一中一模)在ABC 中，设内角 A，B，C 的 对边分别为 a， b， c， 向量 m(cosA， sinA)， 向量 n(sinA， cosA)，2 若|mn|2. (1)求角 A 的大小； (2)若 b4，且 ca
8、，求ABC 的面积22 解 (1)mn(cosAsinA，cosAsinA)，2 |mn|2(cosAsinA)2(cosAsinA)222(cosA22 sinA)(cosAsinA)2(cosAsinA)222(cosAsinA)242 4sin4， ( A 4) sin0. ( A 4) 又0A， A ， 4 4 3 4 A 0，A . 4 4 (2)由余弦定理 a2b2c22bccosA， 及 b4，ca，A ，22 4 得 a2322a224a，22 2 2 即 a28a320，解得 a4，c8，22 SABC bcsinA 48sin 16. 1 2 1 2 2 4 能力提升练 1
9、1(2019山东德州一模)已知ABC 的三边分别是 a，b，c，设 向量 m(sinBsinA，ac)，n(sinC，ab)，且 mn，则 B 的3 大小是( ) A. B. C. D. 6 5 6 3 2 3 解析 mn，. sinBsinA sinC 3ac ab 由正弦定理得，整理， ba c 3ac ab 得 a2c2b2ac，3 cosB，B.故选 B. a2c2b2 2ac 3ac 2ac 3 2 5 6 答案 B 12(2018河北唐山二模)在ABC 中，C90，|6，点 P AB 满足|2，则的最大值为( ) CP PA PB A9 B16 C18 D25 解析 C90，|AB
10、|6， 0，|6， CA CB CA CB CA CB AB ()()|2(C) PA PB PC CA PC CB PC PC CA B CA CB 4()， 当与方向相同时，()取得 PC CA CB PC CA CB PC CA CB 最大值 2612， 的最大值为 16.故选 B. PA PB 答案 B 13(2018江西六校联考)如图，BC 是单位圆 A 的一条直径，F 是线段 AB 上的点，且，若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 转动的一 BF 1 2FA 条直径，则()的值是_ FA DA FE 解析 ()()()()( FA DA FE FA AD FA AE FA AE FA
11、)|2|2 21 . AE FA AE ( 2 3) 5 9 答案 5 9 14(2019江西上饶调研)已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，向量 m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin2C. (1)求角 C 的大小； (2)若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且()18，求 c CA AB AC 边的长 解 (1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)， 对于ABC，ABC,0C， sin(AB)sinC， mnsinC，又 mnsin2C， sin2CsinC，cosC ，C . 1 2 3 (2)由 sinA，sinC
12、，sinB 成等差数列，可得 2sinCsinAsinB， 由正弦定理得 2cab. ()18，18， CA AB AC CA CB 即 abcosC18，ab36. 由余弦定理得 c2a2b22abcosC(ab)23ab， c24c2336，c236， c6. 拓展延伸练 15(2018浙江卷)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量，若 非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24eb30，则|ab|的 3 最小值是( ) A.1 B.133 C2 D2 3 解析 因为 b24eb3(b3e)(be)0， 所以 b3e 和 b e 垂直，所以 b 的末端在图中的虚线圆上因
13、为 a 与 e 的夹角为 ，所 3 以 a 的末端在如图的射线上，所以 ab 是从圆上的点到射线上的点 形成的向量由对称性知，只考虑上半部分，则|ab|的最小值为圆 心到射线的距离减去半径，则|ab|min11.故选 A.22123 答案 A 16 (2019陕西师大附中模拟)如图， 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， 动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上， 则的取值范 PC PD 围是_ 解析 设 CD 的中点为 M，连接 PM，则 PC PD ( PM 1 2CD ) ( PM 1 2CD ) |2 |2|24.易知|2,2，故的取值范 PM 1 4 CD PM PM 5PC PD 围是0,16 答案 0,16