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1、1,振动力学基础,人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电 学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。, 振动的一般概念:某物理量在某数值附近作周期性变化, 机械振动：物体位置在一确定位置附近作往返 运动称为机械振动。,特点：,有平衡点，且具有重复性。,机械振动分类,（原因）自由、受迫、阻尼振动。,（规律）简谐、非简谐、随机振动。,（位移）角振动、线振动。,其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。,复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,2,1 简谐振动动力学,一、简谐振动的特征,3,二、简谐运动的运动方程,4,3.简谐振动的 x-t,v-t,a-t图,5,三、简谐振动的能量,
2、我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。 设振动物体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是它所具 有的动能EK 和势能EP 分别为,6,2 简谐振动运动学,简谐运动的运动方程：,7,（2）频率与圆频率,8,3、相位和初相,9,例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸,长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的初速度。选X轴向下，求振动的表达式。,10,例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体,悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为4kg。待其静止后再把物体向下拉10cm，然后
3、无初速释放。问（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）若使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A须满足何条件？二者在何位置开始分离？,解：,11,4、简谐运动的旋转矢量表示法,为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。,（1）旋转矢量的长度等于,12,旋转矢量与谐振动的对应关系,A,谐振动,旋转矢量, t+,T,振幅,初相,相位,圆频率,谐振动周期,半径,初始角坐标,角坐标,角速度,园周运动周期,(4）比较两个谐振动的相位差,212k称同相,21（2k+1）称反相,210称2超前, 1 20称1超前,13,旋转矢量确定初位相,14,例题：
4、由谐振子能量推出振幅公式。,解：,结论：,例题：,1.A由系统能量决定； 2.t=0的含义； 3.x0、v0含义。,15,5、弹簧的串并联,思考1：等分n段，每段k0=?,思考2：n段串联，等效k0=?,K0=nk,K0=k/n,16,例题 一质点在X轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期,T=2s,其平衡位置取坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为 （A）1s （B）（2/3）s （C）（3/4）s （D）2s,例题 一长度为l 的倔强系数为k的轻弹簧分割成l1和l2的两部分，且l1=nl2则相应的倔强系数k1和k2为,1
5、7,3微振动的简谐近似,1.单摆,在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率,振动 的周期分别为：,单摆,结论,当 时,18,2.复摆（物理摆）,为m绕O点转动的转动惯量。,总结：复摆的谐振动方程：,当 时,振动的角频率、周期完全由振动 系统本身来决定。,19,4平行简谐振动的合成,一、同方向、同频率的简谐振动的合成,结论：,仍然是同频率 的简谐振动,20,讨论一：,合振幅最大。称为干涉相长,讨论二：,称为干涉相消。,讨论三：,一般情况：,A1=A2 时， A=0,21,例题 三个谐振动方程分别为,画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。,合振动方程X=
6、0,22,二、同方向的N个同频率简谐振动的合成,设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 其表达式为：,在OCP中：,23,所以，合振动的表达式,上两式相除得,24,讨论1：,即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。,当,讨论2：,这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。,以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉 和衍射规律时有重要的应用。,当 且,25,三、同方向、不同频率的简谐振动的合成,利用：,合成振动表达式：,当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分， 合成振动是以 为角频率的谐振动。,其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似
7、的谐振动。这种 合振动忽强忽弱的现象称为拍。,26,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍。,27,5 垂直简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即,上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。,质点的运动方向与 有关。当 时， 质点沿顺时针方向运动；当 时， 质点沿逆时针方向运动。,当 时，椭圆退化为圆。,一、同频率垂直简谐振动的合成,28,上式的推导：,X=A1cos(t+1) Y=A2cos(t+2),变换： Y=A2cos(t+2)= A2cos(t+ 1 +2-1) 令= t+1 = 2-1 则有：X=A1cos Y=
8、A2cos(） 得： Y=A2cos cos - sin sin ,改写为：,两边平方，利用 cos =X/A1,29,讨论1,所以是在 直线上的振动。,讨论2,所以是在 直线上的振动。,30,讨论3,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。,讨论4,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。,X和Y方向的相位差决定旋转方向。,质点的轨道是圆。,质点的轨道是圆。,31,讨论5,则为任一椭圆方程。,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）。,32,二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成
9、,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。,当 时是顺时针转； 时是逆时针转。,如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。P128图。,用李萨如图形在无线电技术 中可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,33,6 、7 阻尼振动、受迫振动、共振,一.阻尼振动,阻尼振动微分方程,令, 为阻尼因子,通解,34,1.欠阻尼振动-阻尼很小,通解,2.过阻尼振动-阻尼很大,通解,不能往复运动。,如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。,35,3.临界阻尼振动,通解,衰减函数,临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。,三种阻尼振动比较,36,二.受迫振动,在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力-策动力。,令,通解,37,第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。,第二项为策动力产生的周期振动。,开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作受迫振动，振动频率为策动力的频率。,振幅,初相,三.共振,