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1、中学数学建模的理论与实践,合肥市教学研究室 许晓天,引言,随着我国高中课程改革的逐步深入，新的教育理念和教育方法在不断地冲击着传统教学，就高中数学而言，不能只停留在让学生掌握基本的数学知识和技能上，更重要的是运用数学知识解决实际问题，培养学生的创新意识与创新能力普通高中数学课程标准把数学建模纳入了其中同时，新课标也指出：“学生的数学学习活动不能局限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探究，,动手实践，合作交流，阅读自学等学习教学方式”中学开展数学建模有利于学生增强学习数学的兴趣，学会团结合作，提高分析和解决实际问题的能力，更好地掌握数学知识的发生过程，培养数学创造能力可见，以数学建模为重要途
2、径来促进数学素质教育的发展是大势所趋,目前，数学建模在大学已经如火如荼地开展着，许多高校都开设了数学建模课程，一年一度的全国大学生数学建模竞赛也进行了好多年反观中学阶段，除有个别省市和社会团体外如，除北京市（上海市）的“高中生（中学生）数学知识应用竞赛”；中国青少年发展服务中心的“全国中学生数理化能力学科竞赛”等绝大多数地方和学校并未有效地参与和实施分析原因：,一、中学数学建模的现状,1从教师的角度看，很多教师不愿意在这方面花费过多时间和精力，认为搞这样的活动与考试和教学无关，是浪费时间，担心由于它而造成学生成绩的下滑其次，受长期以来的传统观念和教学模式影响，教师的教学观念陈旧，数学教学的重心
3、放在让学生会解题，会计算，能在考试上拿高分上，忽视了对学生数学综合素质的培养同时，数学建模讲究各学科知识的交叉，这对教师的知识储备要求较高教师需要参加专门的培训，需要不断学习，无形中增加了负担,一、中学数学建模的现状,2从学生的角度看，我国中小学的课程难度大，学生的课业负担重，在高考指挥棒下，学生的压力很大，高中生既要天天完成每科的家庭作业，还要应对各种考试同时，教师也无法在教学上有更多的时间去让学生进行探索长此以往，导致学生自主意识缺乏，创造能力薄弱,一、中学数学建模的现状,3从学校和家长的角度看，虽然数学建模对学生的长远发展有利，但高考仍是评判学生、教师以及学校优劣的最重要标准，能否考上名
4、牌大学才是家长最关心的，这必然导致对数学建模的重视程度不够，部分学校即使在研究性学习中进行数学建模活动，也要么流于形式，要么人数很少，时间很短，无法形成规模，起不到应有的作用,一、中学数学建模的现状,4关于数学应用和数学建模的理论研究很多，但中学阶段的数学建模成果较少，没有成熟的案例和经验借鉴；且可操作性不强，也没有足够可供教师参考的资料 5教育资源分布不够均衡，地区差异、学校差异及生源质量对数学建模的开展产生影响,一、中学数学建模的现状,以上几点是中学数学建模不能大规模进行的原因，既有客观因素，也有主观原因，但这并不意味着应放弃事实证明，一些冲破阻力、克服困难结合教学，开展应用和建模活动的学
5、校有着共同的感受在中学数学教学过程中，加强数学知识应用的教学，有机地开展数学建模活动，培养了学生数学实践能力及创新精神，也促进了学校科研水平的提升，培养了拔尖创新人才因此， 开展这样的活动是十分有益的，也是可以施行的.那么如何开展呢?,一、中学数学建模的现状,二、中学数学建模的实施,1教师先行,首先，教师作为课题的策划者和引导者，要改变落后的观念，正确认识和对待数学建模，不断加强学习新知识要有让学生初步掌握数学建模的思想和方法，从而更积极主动地学习数学，使学生终生受益；其次，学校要为教师创造良好的环境和具体的一些帮助，从外部环境上来看，要给教师营造一个相对宽松和民主的氛围，为教师自主的开展活动
6、创造一个有利的外部条件。定期邀请专家到学校讲座，对教师进行系统的培训发挥学校教研室的作用，成立有专人负责的数学建模指导小组，做好各学科之间的协调和配 合从日常生活出发，结合本校实际，编写教材,二、中学数学建模的实施,2学生培养,数学建模对学生有一个逐步的学习和适应的过程，在开展数学建模活动时，特别应考虑学生实际能力和水平，分层次，循序渐进开始时，起点要低，要给学生留有充分思考的余地；形式应有利于更多的学生能参与数学教学中，教师可以在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景，在应用的重点环节有比较多的训练如，数学符号的表示、列方程和列不等式解应用题等，逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际
7、结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，再到独立地解决教师提供的数学应用问题和建,二、中学数学建模的实施,2学生培养,模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决这些问题总之，在数学建模中，我们应更多地关注学生将实际问题转化为数学模型，以及解决这一问题的方法和过程，不必过分追求结果的完美性和严谨性，激发他们参与的积极性,二、中学数学建模的实施,3与正常教学的融合,教师应在教授数学各个模块时，选择恰当的实际问题，引导学生进行建模活动比如：在学习函数模块中，可引入的实际问题有：银行存贷款，商品销售与利润，非线性组合和预测，人口或其他生物增减变化的规律
8、；渔场养鱼与资金分配，出租车计价等在学习数列模块中，可引入的实际问题有：银行的存贷款、证券、期货、保险、企业的产值、成本、仓储；社会问题中的人口增加、人口 质量、土地及资源的利用及配置；空气污染、森林覆盖等在概率统计模块中有：有奖促销，考试成,二、中学数学建模的实施,3与正常教学的融合,绩的评价等在三角函数模块中，有停车场最多停车设计问题，加工精度的间接测量，搬运家具问题，电流、声波、爆炸物爆炸后引起的振动，单摆运动等在解析几何模块中有：台风移动对城市的影响，货物运输等,三、中学数学建模例题的编制,1编制原则,导向性：选编的数学应用建模问题，应在思想内 容上富于时代信息，并将真实性、科学性、适
9、应性、挑 战性、趣味性和探索性作为其出发点，同时使问题具 有过程的完整性、方法的多样性、计算工具的先进 性，既有助于中学素质教育，又能培养分析问题、解决问题的能力 隐蔽性：建模条件应具有适度的隐蔽性，尽量是“原胚型”问题,三、中学数学建模例题的编制,1编制原则,原始性：所给材料应保持其原始性来自广播电 视、报刊杂志的信息，政府机关、企事业单位的报告、 计划、统计资料等等，都是数学建模问题原始资料的 重要来源；也可以引导学生亲自到一线调查研究，注意积累课题资料 模拟性：限于中学生知识水平和年龄特征，因此应对实际问题进行加工、处理和创造，省略若干次要 干扰因素，将问题转化为易于发现和建立数学模型
10、的“准实际问题”,三、中学数学建模例题的编制,1编制原则,综合性：应用与建模例题应具有：(1)社会交流层次上的综合性，包括生活知识、语言知识、相关学科知识等的综合；(2)素质层次上的综合性，包括基本知识、基本技能、基本数学思想方法和能力的“多位一体”的综合 创新性：编制应用与建模例题时，必须考虑培养学生的创新精神和创造能力为此应注重一题多模或多题一模、统计图表等例题的编拟，密切关注现代科学技术的发展，使学生创新和高技术密切结合，融入当代科学发展的主流,三、中学数学建模例题的编制,2编制途径,编制应用与建模的例题主要从以下几方面着 手：第一，改造课本例题和习题；第二，结合教学实践经验改编；第三，
11、从国内外相关教参和期刊中优选；第四，从大学建模“成品”中简化移植；第五，从教师自己生活实践中提炼和挖掘；第六，发动学生关注生活、体验生活，从中寻求问题,四、中学数学建模的典型案例,1函数问题建模,例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售50件.现在他采用提高售价，减少进货的办法增加利润，已知这种商品售价每提高1元，销售量就减少5件.问每件售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求出最大利润. 分析 因为每天所获利润等于每件的利润与销售量 之积，而销售量又随单价的提高而减少，所以不妨设每件提高x元，则每件所获利润为（2+x）元 ，每天销售量将减少到（50-5x）件，每
12、天所获利润为f(x)= (2+x) (50-5x) (0x10) .原题就转化为求二次函数f(x)在区间0,10内的最大值.,当且仅当2+x=10-x时，等号成立，即每件售价定为4元时， 每天的利润最大为180元.,四、中学数学建模的典型案例,2方程问题建模,例2 有一种商品，A、B两地均有售且两地价格相同，但某地区的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍已知A、B两地相距10公里，顾客购买这两种商品选择从A地买或从B地买的标准是包括运费在内的总费用比较便宜，求A、B两地的售货区域的分界线的轨迹图形，并指出轨迹图形上、图形内、图形外的居民如何选择从A地或B地购买最划算？ 分析
13、 首先建立坐标系， 取AB的中点为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，则A(-5,0),B(5,0).设 P(x,y)是分界线上任一点， 从B地往P地运货的单位,3a|PA|=a|PB|，9(x+5)2+y2=(x-5)2+y2，即,故A、B两地售货的区域分界线是以 为 圆心，以 为半径的圆，圆周内的居民从A地买 划算；圆周外的居民从B地买划算；圆周上的居民从A、B两地买的费用相同.,距离运费为a元.由题意得,四、中学数学建模的典型案例,3不等式问题建模,例3 在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油.现有5辆巡逻车， 同时从始地A出发， 完成任务后再沿原路返
14、回始地，为了让其中三辆车尽可能向更远的地方巡逻（ 然后再一起返回） ， 甲、 乙两辆车行至B处后， 仅留足自己返回始地必需的汽油， 将多余的汽油供给另外三辆车使用，问这三辆车能行驶的最远距离是多少？ 分析 在上面这个问题中，关键是考虑B点在何处比较合适，若B点离A点太近,其余三辆车无法装载甲、乙两车所供的汽油；若B点离A点太远，则不能保证其余三辆车返回的汽油.设甲、乙两车行,驶 x天到达B处， 留足自己返回的汽油后，向其余 三辆巡逻车供油.从巡逻车的载油容量考虑， 则应有,解得,为保证其他三辆车尽可能行进最远，甲、乙两车应使B点尽可能最远， 即x尽可能大，且 供油尽可能多，但必须又留足他们返回
15、始地的燃油，所以有,解得,于是，x=4.,从而，这三辆车从始地A出发，行进的最远距离为,另解：设甲、乙两车从驻地A行至B处需耗x天的汽油，则其他三辆车在AB路段也消耗了x天汽油，在B处甲、乙两车可向其他三辆车提供2（14-2x）天的汽油； 要使这三辆车行程最远，当且仅当甲、乙两车提供的汽油量等于另三辆车在AB路段消耗的汽油总量， 即2（14-2x）=3x， 解得x=4 则这三辆车从驻地出发，行进的最远距离为（14+4）/ 2 200=1800（千米） 答：其他三辆可行进的最远距离是1800千米,四、中学数学建模的典型案例,4数列问题建模,例4 某足球邀请赛有20个城市参加，每市派出甲、乙两队，
16、根据比赛规则， 每两队之间至多赛一场并且同一个城市的两队之间不进行比赛， 比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其余各队已比赛的场次各不相同， 问A市乙队已比赛过几场？ 分析 设有n个城市参加比赛，由于每队至多赛 2(n-1)场，根据题设，除A市甲队外的2n-1个队，他们赛过的场数分别是0,1,2,2(n-1).注意到A市乙队不可能赛2(n-1)场（否则没有A市以外的队赛过,0场）.不妨设B市甲队赛过2(n-1)场，这样B市乙队赛过的场数为0，记a1=0;其余各队都至少赛过1场.现将B市两队去掉考虑余下的(n-1)个城市，易得 a2=1,以此类推an=an-1+1（n2）.所以，an=0+（n-1）=n-1，a20 =19.即A市乙队赛过19场.,以上几类中学数学建模思想远非数学思想的全部， 但它们之间相互联系、 相辅相成，同时或交替采用几种思想方法才能解决问题.但建立数学模型并非唯一，我们应本着合理、适用、便于求解和检验校正的原则寻求多种方法解决实际问题.当然，中学数学建模并不局限于实际问题的解决，一些数学学科内的问题也可以通过建模转型达到轻松解决的目的.例如2014年高考天津理科数学第14题：,观点仅供参考 谢谢大家聆听！,