2020届高考数学一轮课件：11.5　二项分布与正态分布 .pdf

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1、11.5 二项分布与正态分布 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 20102019年高考全国卷考情一览表 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 考点118条件概率、相互独立事件的概率 1.(2018全国3,理8,5分,难度)某群体中的每位成员使用移动支 付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位 成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)(1-p)2, p0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118

2、考点119考点120 2.(2018全国3,文5,5分,难度)若某群体中的成员只用现金支付的 概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现 金支付的概率为( B ) A.0.3B.0.4 C.0.6D.0.7 解析设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4. 3.(2014全国2,理5,5分,难度)某地区空气质量监测资料表明,一 天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率 是( A ) A.0.8B.0.75 C.0.6D.0.45 解析设某天空气质量为优良为事件A,

3、随后一天空气质量为优良为 事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 若题目中出现“已知”“在前提下”等字眼,一般为条件 概率.条件概率的求解有两种常用方法: (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= . 注意:事件A与事件B有时是相互独立事件,有时不是相互独立事件, 要弄清P(AB)的求法. (2)当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式, 先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件 B包含的基本事件数,即n(AB),得P(

4、B|A)= . 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 4.(2019全国1,理15,5分,难度)甲、乙两队进行篮球决赛,采取 七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期 比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场 取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立, 则甲队以41获胜的概率是 0.18 . 解析前五场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是 0.630.50.52=0.108; 前五场中有一场主场输时,甲队以41获胜的概率是 0.40.620.520.6=0.072. 综上所述

5、,甲队以41获胜的概率是0.108+0.072=0.18. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 5.(2016山东,理19,12分,难度)甲、乙两人组成“星队”参加猜成 语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人 都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两 人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮 猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果 亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期

6、望EX. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件 C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至 少猜对3个成语”. 由题意, 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 (2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 可得随机变量X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点1

7、18考点119考点120 6.(2014安徽,理17,12分,难度)甲、乙两人进行围棋比赛,约定 先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜 局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率 为 ,各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率; (2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A

8、1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) (2)X的可能取值为2,3,4,5. P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 故X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 7.(2014山东,理18,12分,难度)乒乓球台面被球网分隔成甲、 乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相 交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点

9、在甲上的来球后向乙回 球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对 落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为 (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3), 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1

10、+A0B3, 由事件的独立性和互斥性, P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 (2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得 可得随机变量的分布列为: 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 8.(2014大纲,理20,12分,难度)设每个工作日甲、乙、丙、丁4

11、 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设 备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2, B表示事件:甲需使用设备, C表示事件:丁需使用设备, D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 =0.60.

12、52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4) =0.25, P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06 =0.38, 数学期望 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4) =0.25+20.38+30.25+40.06 =2. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点11

13、9考点120 9.(2013陕西,理19,12分,难度)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌 手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各 位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的 歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列 及数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手

14、”,B表示事件“观众乙选中 事件A与B相互独立, 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 10.(2013大纲全国,理20,12分,难度)甲、乙、丙三人进行羽毛 球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方 在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结 果相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率; (2)X表

15、示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”, A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲 当裁判”. 则A=A1A2. (2)X的可能取值为0,1,2. 记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第 1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜 甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 考点119二项分布

16、及其应用 1.(2015全国1,理4,5分,难度)投篮测试中,每人投3次,至少投中2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投 篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A ) A.0.648 B.0.432 C.0.36D.0.312 解析由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 2.(2010全国,理6,5分,难度)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现 播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种 子数记为X,则X的数学期望为( B ) A.1

17、00B.200 C.300D.400 解析EX=1 0000.90+1 0000.12=200. 3.(2017全国2,理13,5分,难度)一批产品的二等品率为0.02,从这 批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等 品件数,则DX= 1.96 . 解析由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即 XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则DX=np(1- p)=1000.020.98=1.96. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 4.(2015广东,理13,5分,难度)已知随机变量X服从二项分布 B(n,p

18、).若E(X)=30,D(X)=20,则p= . 解析根据二项分布的均值、方差公式, 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 5.(2019天津,理16,13分,难度)设甲、乙两位同学上学期间,每 天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不 影响,且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机 变量X的分布列和数学期望; (2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数 比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率. 考情概览考情概览试题类编试

19、题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30 所以,随机变量X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥 事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知 识解决简单实际问题的能力. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 6.(2015湖南,理18,12分,难度)某商场举行有奖促销活动,顾客 购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6 个白球的

20、甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个 球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获 二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次 数为X,求X的分布列和数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸 出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等奖,B2=顾客抽奖1次 获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意,A1与A2相互独 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类

21、编试题类编 考点118考点119考点120 (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次 故X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 7.(2014辽宁,理18,12分,难度)一家面包房根据以往某种面包 的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独 立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1 天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量 X的分布列,期望E(X)及方

22、差D(X). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量 低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低 于100个且另一天销售量低于50个”. 因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 分布列为 因为XB(3,0.6),

23、所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1- 0.6)=0.72. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 8.(2013福建,理16,12分,难度)某联欢晚会举行抽奖活动,举办 方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获 得2分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每 人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束 后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得 分为X,求X3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:

24、他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大? 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人 中奖与否互不影响. 记“这2人的累计得分X3”的事件为A, 则事件A的对立事件为“X=5”, (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽 奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 因为E(2X1)E(3X2), 所以

25、他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 9.(2013辽宁,理19,12分,难度)现有10道题,其中6道甲类题,4道 乙类题,张同学从中任取3道题解答. (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率; (2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每 否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期 望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有 (2)X所有的可能取值为0,

26、1,2,3. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 所以X的分布列为: 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 10.(2013山东,理19,12分,难度)甲、乙两支排球队进行比赛,约 定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的 相互独立. (1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率; (2)若比赛结果为30或31,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛 结果为32,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分布列及 数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点

27、119考点120 解(1)记“甲队以30胜利”为事件A1,“甲队以31胜利”为事件 A2,“甲队以32胜利”为事件A3, 由题意,各局比赛结果相互独立, (2)设“乙队以32胜利”为事件A4, 由题意,各局比赛结果相互独立, 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 故X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 考点120正态分布及其应用 态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( C ) A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2

28、)P(X1) C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt) D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt) 解析由曲线X的对称轴为x=1,曲线Y的对称轴为x=2,可知21. P(Y2)P(X1),故B错; 对任意正数t,由题中图象知,P(Xt)P(Yt),故C正确,D错. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 2.(2015山东,理8,5分,难度)已知某批零件的长度误差(单位:毫 米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6) 内的概率为( B ) (附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(- +)=68.26%,P(-2+2)=

29、95.44%.) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74% 解析由正态分布N(0,32)可知,落在(3,6)内的概率为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 3.(2012全国,理15,5分,难度)某一部件由三个电子元件按下图 方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正 常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使 用寿命超过1 000小时的概率为 . 解析设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,

30、B,C, 显然P(A)=P(B)=P(C)= , 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 4.(2017全国1,理19,12分,难度)为了监控某种零件的一条生产 线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测 量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 (-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件, 就认为这条生产线在这一天的生

31、产过程可能出现了异常情况,需对 当天的生产过程进行检查. ()试说明上述监控生产过程方法的合理性; ()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 解(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 4,从 而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8. X的数学期望为EX=160.002 6=0.04

32、1 6. (2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率 只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外 的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情 况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常 情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方 法是合理的. 外,因此需对当天的生产过程进行检查. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 因此的估计值为10.02. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 5.(2014全国1,理18,12分,难度)从某企业生产的某种产品中抽 取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率 分布直方图: 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120 利用该正态分布,求P(187.8Z212.2); 某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中 质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求 E(X). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点118考点119考点120