三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题14概率与统计（选择题、填空题）理（含解析）.pdf

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1、1 专题 14 概率与统计（选择题、填空题）专题 14 概率与统计（选择题、填空题） 1 【2019 年高考全国卷理数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称 为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中 阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记 且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计 值为 A0.5B0.6 C0.7 D0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之

2、比为 70100=0.7故选 C 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化 归思想解题 2 【2019 年高考全国卷理数】演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 7 个有效评分与 9 个原始评分相比， 不变的数字特征是 A中位数B平均数 C方差D极差 【答案】A 【解析】设 9 位评委评分按从小到大排列为 123489 xxxxxx 则原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A 正确 ； 5 x 1 x 9 x 2348 x

3、xxx 5 x 原始平均数，后来平均数，平均数 123489 1 () 9 xxxxxxx 2348 1 () 7 xxxxx 受极端值影响较大，与不一定相同，B 不正确；x x ， 由 2222 11 1 ()()() 9 q Sxxxxxx 2222 238 1 ()()() 7 sxxxxxx 易知，C 不正确； 原极差，后来极差，显然极差变小，D 不正确故选 A 91 xx 82 xx 3 【2019 年高考浙江卷】设 0a1，则随机变量X的分布列是 2 X0a1 P 1 3 1 3 1 3 则当a在（0，1）内增大时， A增大B减小()D X()D X C先增大后减小D先减小后增大(

4、)D X()D X 【答案】D 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解. aa 本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题题目有一定综 a 合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查 【解析】方法 1：由分布列得， 1 () 3 a E X 则， 2222 111111211 ()(0)()(1)() 333333926 aaa D Xaa 则当在内增大时，先减小后增大故选 D a(0,1)()D X 方法 2：则， 222 22 1(1)222213 ()()()0() 3399924 aaaa D XE

5、XE Xa 则当在内增大时，先减小后增大故选 D a(0,1)()D X 【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计 算能力差，不能正确得到二次函数表达式 4 【2018 年高考全国卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如在不超过 30 的素数中，随30723 机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 AB 1 12 1 14 CD 1 15 1 18 【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共

6、 10 个， 随机选取两个不同的数，共有种方法，C 2 10 = 45 因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，72311 1913 1730 3 故所求概率为，故选 C 31 = 4515 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问 题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法 ； （3）列表 法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列 组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 5 【2018 年高考全国卷理数】某地区经过一年的

7、新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻 番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成 比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M， 而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农

8、村建设前其他收入 为 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收 入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确 ； 新农村建设后，养殖收入与第三产 业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确 ； 故选 A30% + 28% = 58% 50% 6 【2018 年高考全国卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互 p 独立， 设为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， 则X2.4DX (4)(6)P XP X p A0.7B0.6 C0.4D0.3

9、4 【答案】B 【解析】，或，()(1)D Xnpp0.4p 0.6p ， 446664 1010 (4)C(1)(6)C(1)P XppP Xpp ，可知，故故选 B 22 (1)pp0.5p 0.6p 7 【2018 年高考浙江卷】设，随机变量的分布列是01p 012 P 1 2 p1 22 p 则当p在（0，1）内增大时， AD（）减小BD（）增大 CD（）先减小后增大DD（）先增大后减小 【答案】D 【解析】， E() = 0 1 - p 2 + 1 1 2 + 2 p 2 = p + 1 2 D() = 1 - p 2 (0 - p - 1 2) 2 + 1 2 ，先增大后减小，故选

10、 D (1 - p - 1 2) 2 + p 2(2 - p - 1 2) 2 =-p2+ p + 1 4 1 2 (0，1)D() 8【2018 年高考全国卷理数】 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC， 直角边AB，AC的三边所围成的区域记为，ABC 黑色部分记为， 其余部分记为 在整个图形中随机取一点， 此点取自， ， 的概率分别记为p1，p2， p3，则 Ap1=p2Bp1=p3 Cp2=p3Dp1=p2+p3 【答案】A 【解析】设，则有，从而可以求得的面积为，黑色AC = b，AB = c，BC = a

11、b2+c2=a2ABCS1= 1 2bc 部分的面积为 222 2 1 ( ) ( ) ( ) 2222 cba Sbc 222222 1 () 44424 cbacba bc 5 ，其余部分的面积为，所以有， 11 22 bcbc 2 2 3 11 ( ) 2242 aa Sbcbc 12 SS 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选 Ap1= p2 9 【2017 年高考全国卷理数】 某城市为了解游客人数的变化规律， 提高旅游服务质量， 收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是

12、 A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】观察折线图，每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项 A 说法错误； 折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，选项 B 说法正确； 每年的接待游客量 7， 8 月份达到最高点， 即各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8 月， 选项 C 说法正确 ； 每年 1 月至 6 月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7 月至 12 月折线图不平稳，月接待游客量

13、波动性大，选项 D 说法正确 故选 A 【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来就得到一条折线，我们称这 条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半 个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律 10 【2017 年高考全国卷理数】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的 黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是 6 AB 1 4 8 CD 1 2 4 【答案】B 【解析】设正方形边长为，则圆的半径

14、为，正方形的面积为，圆的面积为由图形的对称 a 2 a 2 a 2 4 a 性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取 自黑色部分的概率是，故选 B 2 2 1 24 8 a a 【秒杀解】由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其 概率满足，故选 B p 11 42 p 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、 体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算( )P A 11【2017 年高考山东卷理数】 从分别标有1，2，9的9张卡片

15、中不放回地随机抽取 2 次， 每次抽取 1 张则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 【答案】C 【解析】标有的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的 2 张卡片上的数1,2,9954 奇偶性不同的概率是，故选 C 11 54 2C C5 9 89 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题 7 12 【2017 年高考浙江卷】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2若 0 1 ( )E 2 ()E 1 ( )D 2 ()D 1 ( )E 2 ()E 1 ( )D 2 (

16、)D C， 1 ( )E 2 ()E 1 ( )D 2 ()D 1 ( )E 2 ()E 1 ( )D 2 ()D 【答案】A 【解析】， 1122 ( ),()Ep Ep 12 ( )()EE ，故选 A 111222 ( )(1),()(1)DppDpp 121212 ( )()()(1)0DDpppp 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，X 组合与概率知识求出取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应X 用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已知 本题随机变量服从两点分布

17、，由两点分布数学期望与方差的公式可得 A 正确 i 13 【2017 年高考山东卷理数】为了研究某班学生的脚长（单位 ： 厘米）和身高（单位 ： 厘米）的关系， xy 从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直 yx 线方程为 ybxa已知 10 1 225 i i x ， 10 1 1600 i i y ， 4b 该班某学生的脚长为 24，据此估计 其身高为 A160B163 C166D170 【答案】C 【解析】由已知得则22.5,160,xy 1604 22.570,a 当时，故选 C24x 4 2470y 166 【名师点睛】判断两个变量

18、是否线性相关及相关程度通常有两种方法 ： （1）利用散点图直观判断 ； （2） 将相关数据代入相关系数r的公式求出r，然后根据r的大小进行判断求线性回归方程时，在严格按 照公式求解时，一定要注意计算的准确性 14 【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_ 【答案】 5 3 8 【解析】由题意，该组数据的平均数为， 67889 10 8 6 所以该组数据的方差是 222222 15 (68)(78)(88)(88)(98)(108) 63 15 【2019 年高考全国卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的

19、正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 【答案】0.98 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高10 0.9720 0.98 10 0.9939.2 铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为1020 1040 39.2 0.98 40 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难 度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正

20、点列车数量与 列车总数的比值 16 【2019 年高考全国卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该 队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” 设甲队主场 取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是 _ 【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求 解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查 【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是4:1 3 0.60.5 0.5

21、 20.108, 前四场中有一场主场输， 第五场赢时， 甲队以获胜的概率是综上所述，4:1 22 0.4 0.60.520.072, 甲队以获胜的概率是4:10.1080.0720.18.q 【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二 是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算4:1 17 【2018 年高考江苏卷】已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的 分数的平均数为_ 【答案】90 【解析】由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为，89，89，90，91，91 9 故

22、平均数为 89899091 91 90 5 18 【2018 年高考江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选 中 2 名女生的概率为_ 【答案】 3 10 【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种， 因此所求概率为 3 10 19 【2017 年高考全国卷理数】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地0.02 抽取次，表示抽到的二等品件数，则_100XDX 【答案】1.96 【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公(100,0.02)

23、XB 式可得(1)100 0.02 0.981.96DXnpp 【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为n次独立重复试验，在每次 试验中事件A发生的概率是否均为p；随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数， 且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率()C(1) kkn k n P Xkpp 20 【2017 年高考江苏卷】记函数的定义域为在区间上随机取一个数，则 2 ( )6f xxxD 4,5x 的概率是_xD 【答案】 5 9 【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得 2 60xx 2 60xx23x xD 的概率是 3( 2)5 5( 4)9 21 【2017 年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件 为检验产品的质量， 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验， 则应从丙种型号的 产品中抽取_件 【答案】18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为 18 300 6018 1000 10