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1、- 1 - 课时跟踪检测(四十七) 两条直线的位置关系课时跟踪检测(四十七) 两条直线的位置关系 一、题点全面练 1若直线l1:yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点( ) A(0,4) B(0,2) C(2,4)D(4,2) 解析:选 B 由题知直线l1过定点(4,0),则由条件可知,直线l2所过定点关于(2,1)对 称的点为(4,0),故可知直线l2所过定点为(0,2),故选 B. 2若点P在直线 3xy50 上,且P到直线xy10 的距离为,则点P的坐标为2 ( ) A(1,2)B.(2,1) C(1,2)或(2,1)D(2,1)或(1,2) 解析 : 选C 设P(
2、x,53x), 则d, 化简得|4x6|2, 即4x62, |x53x1| 1212 2 解得x1 或x2,故P(1,2)或(2,1) 3已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)和B(a,1),且直线l与l1平行, 3 4 则实数a的值为( ) A0B.1 C6D0 或 6 解析:选 C 由直线l的倾斜角为得l的斜率为1, 3 4 因为直线l与l1平行,所以l1的斜率为1. 又直线l1经过点A(3,2)和B(a,1), 所以l1的斜率为,故1,解得a6. 3 3a 3 3a 4(2018北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a1,a1),B(a,a)关于 直线l对称,那么直线l
3、的方程为( ) Axy10B.xy10 Cxy10Dxy10 解析:选 A 因为直线AB的斜率为1,所以直线l的斜率为 1.设直线l的方 a1a a1a 程为yxb,由题意知直线l过点,所以b,解得b1,所 ( 2a1 2 ,2a1 2) 2a1 2 2a1 2 以直线l的方程为yx1,即xy10.故选 A. 5已知点P(2,0)和直线l:(13)x(12)y(25)0(R),则点P到 直线l的距离d的最大值为( ) - 2 - A2B.310 C.D21415 解析 : 选 B 由(13)x(12)y(25)0, 得(xy2) (3x2y5)0, 此方程是过直线xy20 和 3x2y50 交
4、点 的直线系方程 解方程组Error!可知两直线的交点为 Q(1,1), 故直线l恒 过定点 Q(1,1),如图所示,可知d|PH|PQ|,即d的最大值为.1010 6已知直线l1:axy10,直线l2:xy30,若直线l1的倾斜角为,则a 4 _;若l1l2,则a_;若l1l2,则两平行直线间的距离为_ 解析:若直线l1的倾斜角为,则aktan1,故a1;若l1l2,则a1 4 4 1(1)0,故a1;若l1l2,则a1,l1:xy10,两平行直线间的距离d 2. |13| 2 2 答案:1 1 2 2 7 将一张坐标纸折叠一次, 使得点(0,2)与点(4,0)重合, 点(7,3)与点(m,
5、n)重合, 则mn _. 解析:由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y2x3, 它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是Error!解得Error! 故mn. 34 5 答案:34 5 8以点A(4,1),B(1,5),C(3,2),D(0,2)为顶点的四边形ABCD的面积为_ 解析:因为kAB ,kDC . 51 14 4 3 22 30 4 3 kAD ,kBC . 21 04 3 4 25 31 3 4 则kABkDC,kADkBC,所以四边形ABCD为平行四边形 又kADkAB1,即ADAB, 故四边形ABCD为矩形 故S四边形ABCD|AB
6、|AD|25.142512042212 答案:25 9正方形的中心为点C(1,0),一条边所在的直线方程是x3y50,求其他三边所 在直线的方程 解:点C到直线x3y50 的距离d. |15| 19 3 10 5 - 3 - 设与x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym0(m5), 则点C到直线x3ym0 的距离 d, |1m| 19 3 10 5 解得m5(舍去)或m7, 所以与x3y50 平行的边所在直线的方程是 x3y70. 设与x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0, 则点C到直线 3xyn0 的距离 d,解得n3 或n9, |3n| 91 3 10 5 所以与x3y
7、50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90. 10已知点P(2,1) (1)求过点P且与原点的距离为 2 的直线l的方程; (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,并求出最大距离; (3)是否存在过点P且与原点的距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由 解 : (1)过点P的直线l与原点的距离为 2, 而点P的坐标为(2, 1), 显然, 过点P(2, 1) 且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x2. 若斜率存在,设l的方程为y1k(x2), 即kxy2k10. 由已知得2,解得k . |2k1| k21 3 4 此时直线l
8、的方程为 3x4y100. 综上可得直线l的方程为x2 或 3x4y100. (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂 直的直线,如图 由lOP,得klkOP1, 因为kOP , 1 2 所以kl2. 1 kOP 由直线方程的点斜式得y12(x2), 即 2xy50. - 4 - 所以直线 2xy50 是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为. |5| 5 5 (3)由(2)可知, 过点P不存在到原点的距离超过的直线, 因此不存在过点P且到原点的5 距离为 6 的直线 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1(2019青岛模拟)直线xa2y60 和(a2)x3a
9、y2a0 无公共点,则a的值为 ( ) A3 或1B.0 或 3 C0 或1D1 或 0 或 3 解析:选 C 两直线无公共点,即两直线平行当a0 时,这两条直线分别为x60 和x0,无公共点;当a0 时,由,解得a3 或a1.若a3,这两条直 1 a2 a2 3a 线分别为x9y60,x9y60,两直线重合,有无数个公共点,不符合题意,舍去; 若a1, 这两条直线分别为xy60和3x3y20, 两直线平行, 无公共点 综上,a0 或a1. 2已知A(1,2),B(3,1)两点到直线l的距离分别是,则满足条件的直线l共252 有( ) A1 条B.2 条 C3 条D4 条 解析:选 C 当A,
10、B两点位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两 条 又|AB|, 而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为31212252 ,所以当A,B两点位于直线l的两侧时,存在一条满足条件的直线综上可知满525 足条件的直线共有 3 条故选 C. 3l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时, 直线l1的方程是_ 解析 : 当两条平行直线与A,B两点连线垂直时, 两条平行直线间的距离最大 因为A(1,1), B(0,1),所以kAB2,所以当l1,l2间的距离最大时,直线l1的斜率为k , 11 01 1 2 此时,直线l1的方程是y1 (x1
11、),即x2y30. 1 2 答案:x2y30 4若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等,则直线l的方程为 _ 解析:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y2k(x1),即kxyk20. - 5 - 由题意知, |2k3k2| k21 |4k5k2| k21 即|3k1|3k3|,k . 1 3 直线l的方程为y2 (x1),即x3y50. 1 3 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1,也符合题意 答案:x3y50 或x1 5在平面直角坐标系中,已知点P(2,2),直线l:a(x1)b(y2)0(a,bR 且 不同时为零),若点P到直线l的距离为d,则d的取
12、值范围是_ 解 析 : 易 知 直 线l经 过 定 点 (1, 2), 则 点P到 直 线l的 最 大 距 离 为 5,最小距离为 0,所以d的取值范围是0,5212222 答案:0,5 (二)交汇专练融会巧迁移 6与导数交汇若点P是曲线yx2ln x上任意一点,则点P到直线yx2 的最小 距离为( ) A.B.1 2 2 C.D22 解析 : 选 C 因为点P是曲线yx2ln x上任意一点, 所以当点P处的切线和直线yx2 平行时, 点P到直线yx2的距离最小 因为直线yx2的斜率等于1, 曲线yx2ln x的 导数y2x ,令y1,可得x1或x (舍去),所以在曲线yx2ln x上与直线y
13、x 1 x 1 2 2 平行的切线经过的切点坐标为(1,1), 所以点P到直线yx2 的最小距离为, 故选 C.2 7.与不等式交汇如图,已知直线l1l2, 点A是l1,l2之间的定点, 点A到l1,l2之间的距离分别为3和2, 点B是l2上的一动点,作ACAB,且AC 与l1交于点C,则ABC的面积的最小值为_ 解析 : 以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,建立如图所示的平面直角 坐标系,设B(a,2),C(b,3) ACAB,ab60,ab6,b . 6 a RtABC的面积S 1 2 a24b29 1 2 a24 36 a29 1 2 729a2144 a2 6(当且仅当a24 时取等号) 1 2 7272 - 6 - 答案:6 8 与物理知识交汇如图, 已知A(2,0),B(2,0),C(0,2),E(1,0), F(1,0), 一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC 反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为 _ 解析:从特殊位置考虑如图所示,点A(2,0)关于直线BC: xy2的对称点为A1(2,4),4.又点E(1,0)关于直线AC:y x2的对称点为E1(2,1), 点E1(2,1)关于直线BC:xy2 的对称 点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,kFD,即kFD(4, ) 答案:(4,)