《第七章非线性系统的分析.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第七章非线性系统的分析.ppt(39页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、自 动 控 制 理 论,方 炜,安徽工业大学 电气信息学院,第七章 非线性系统的分析,安徽工业大学电气信息学院,本章的主要内容,1,2,描述函数法,3,典型非线性特性的描述函数,4,非线性系统的基本概念,二阶线性和非线性系统的相平面分析,非线性系统的谐波平衡法分析,5,安徽工业大学电气信息学院,7-1 非线性系统的基本概念,一、非线性系统基本概念,系统的非线性程度比较严重,无法用小范围线性化方法化为线性系统,称为非线性系统。有两种情况 (1)系统中存在非线性元件;(2)为了某种控制目的,人为引进的非线性。 非线性系统与线性系统的区别 1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的结构、参
2、数,而和系统的初始状态无关。 非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数,而且与系统的初始状态有关。,安徽工业大学电气信息学院,2、线性系统只有两种基本运动形式:发散(不稳定)和收 敛(稳定)。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外,即使无外 界作用,也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下,线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下,输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。 4、线性系统分析可用迭加原理,在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理,没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。,安徽工业大学电气信息
3、学院,线性控制系统: 由线性元件组成,输入输出间具有叠加性,由线性微分方程描述。,非线性控制系统: 系统中有非线性元件,输入输出间不具有叠加性,由非线性微分方程描述。,非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。,本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。,安徽工业大学电气信息学院,二、典型非线性特性,特征:当输入信号超出其线性范围后,输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。,放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。,1、饱和特性,饱和特性对系统性能的影响 (1)使系统在大信号作用下开环增益下降,对动态响应的平稳性有利。 (2)使系统的快速性和稳态跟踪
4、精度下降,安徽工业大学电气信息学院,2、死区特性,(不灵敏区特性),特征:当输入信号在零位附近变化时,系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出,且与输入呈线性关系。,测量变送装置的不灵敏区;调节器和执行机构的死区等等。,死区特性对系统性能的影响: (1)增大了系统的稳态误差,降低了定位精度。 (2)减小了系统的开环增益,提高了系统的平稳 性,减弱动态响应的振荡倾向,安徽工业大学电气信息学院,3、间隙特性,输入输出之间具有多值关系,齿轮传动中的齿隙,液压传动中的油隙,间隙特性对系统性能的影响: 间隙输出相位滞后,减小稳定性裕量,动态特性变坏,安徽工业大学电气信息学院,4、继电器特性,理想继
5、电器,具有饱和死区的 单值继电器,具有滞环的继电器,具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性,安徽工业大学电气信息学院,具有死区和滞环的继电器的数学表达式,安徽工业大学电气信息学院,继电器特性对系统性能的影响 带死区的继电特性,将会增加系统的定位误差,对其他动态性能的影响,类似于死区、饱和非线性特性的综合效果,安徽工业大学电气信息学院,三、非线性系统的特点,、系统的稳定性,、系统的自持振荡,、频率响应畸变,、系统共振,系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关,而且与初始状态有关。,产生某一固定振幅和频率的振荡,输入为正弦函数时,输出为包含一定数量的高次谐波的非正弦周期函数,还可能出现跳跃
6、振荡、倍频和分频振荡等。,不会产生线性系统那样的共振现象,安徽工业大学电气信息学院,四、非线性系统的分析方法,1、相平面法 时域方法 2、描述函数法 频域方法,安徽工业大学电气信息学院,7-2 相平面分析法,相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。,相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所示,其中N表示非线性环节,G(S)是线性部分的传递函数。,用相平面法分析非线性系统,线性部分传递函数G(S)必须是二阶。,安徽工业大学电气信息学院,描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方程描述:,以x1为横轴,以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。,当 t 变化时,x1(t)对
7、于x2(t)在相平面上形成的运动轨迹称为相平面轨迹,简称相轨迹。,相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是平衡点。,安徽工业大学电气信息学院,线性二阶系统的齐次微分方程为: 相平面图是在 平面中,绘制 随时间t 变化的轨迹,称为相轨迹。相轨迹的起点是 。 奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征,奇点 有不同名称,据此可判断系统运动的性质。,一、线性二阶系统奇点的类型,安徽工业大学电气信息学院,1、无阻尼运动 二阶系统的极点分布和相平面图如下 无阻尼运动时,二阶系统的相平面图是一族同心椭圆,每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。,安徽工业大学电气信息学院,2、欠阻尼运动 系统的
8、自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线,收敛于原点。奇点称为稳定焦点。,安徽工业大学电气信息学院,3、过阻尼运动 系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点的抛物线,原点是奇点,称为稳定节点。,安徽工业大学电气信息学院,4、 系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线,原点处的奇点称为不稳定焦点。,安徽工业大学电气信息学院,5、 系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。,安徽工业大学电气信息学院,6、 是对称于原点的实轴 系统的自由运动是发散运动,原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点,类似的奇点在非线性系统中也常见到。,安徽
9、工业大学电气信息学院,二、非线性系统的相平面分析 借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。 例1:有死区继电器非线性的系统框图如下,系统线性部分的传递函数 ,该二阶系统的无 阻尼自然振荡角频率 ,阻尼比 ,根 据前面对奇点的分类,可知为稳定焦点。,安徽工业大学电气信息学院,继电器的输入输出关系为 在 平面,根据继电器的 非线性特性,可分为三个区域, 设初始状态 , , 绘制相轨迹如图所示,(设r=3) 根据系统的相轨迹,可对 系统的性能分析如下:,安徽工业大学电气信息学院,2、相轨迹最后没有到达原 点,即 ,说明 系统在阶跃信号输入下,存在稳态误差,引起稳态误差的原因是死
10、区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表明,系统是型系统,对阶跃响应的稳态误差应为0,可见死区继电器非线性对稳态精度的影响。,1、系统的相轨迹收敛于A点,是稳定的,奇点为稳定焦点。e是单调衰减的。,安徽工业大学电气信息学院,例2:非线性系统框图如下,其中继电器回环特性的参数M=0.2,a=0.2。 系统的线性部分是欠阻尼情况,奇点是稳定焦点。非线性环节的输入输出关系为,安徽工业大学电气信息学院,根据上述关系,可将 平面分为二个区域。分别绘制初始状态分别为 和 的两条相轨迹。,从图知,无论从哪一组初始条件出发,相轨迹均收敛于极限环,这是一个稳定的极限环,意味着系统产生自持振荡。 一般不希望系统有
11、自持振荡。当振荡难以消除时,应尽量将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上,对于此系统,通过减少继电器回环的宽度a,可减小振荡。,安徽工业大学电气信息学院,描述函数是非线性特性的一种线性近似表示。用描述函数后,非线性系统可近似视为线性系统,用线性系统理论去分析,甚至设计。,7-3 非线性特性的一种线性近似表示描述函数,考虑一非线性环节N,其输入为x(t),输出为n(t)。描述函数法:找出一个线性函数 y(t)去逼近n(t),并且要求按照均方误差最小的准则衡量,这种逼近是最佳的。,一、描述函数的基本概念,安徽工业大学电气信息学院,针对一任意非线性系统,设输入 x =Xsint ,输出为n
12、(t) ,则可以将n(t)表示为傅立叶级数形式:,如果非线性环节N 的特性是对称的,则A0=0。,安徽工业大学电气信息学院,非线性特性的线性化表示方法:以输出n(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波,将输出表示为,一般高次谐波的振幅小于基波的振幅,因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。,安徽工业大学电气信息学院,描述函数: 输入为正弦函数时,输出的基波分量与输入正弦量的复数比。,输入: x(t) =Xsint,输出的基波分量:,描述函数:,描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时,输出基波分量与X在幅值和相位上的关系。,安徽工业大学电气信息学院,二、典型非线性特性的描述函数
13、 1、死区非线性的描述函数,安徽工业大学电气信息学院,2、理想继电器非线性的描述函数,安徽工业大学电气信息学院,系统开环部分可分离为: 非线性环节N(A) 线性部分G(s),非线性特性的描述函数表示了正弦输入信号作用下,输出信号的基波分量与输入信号之间在幅值和相位上的相互关系,也就是包含有等效增益及等效相移两方面的信息。,7-4 分析非线性系统的谐波平衡分析法,谐波平衡法:应用描述函数所提供的信息去分析非线性系统的性能。,安徽工业大学电气信息学院,和相平面法不同,谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理,允许线性部分是任意阶次。,安徽工业大学电气信息学院,如果满足上式,表示 与 有交点,此时非线性系统将出现自持振荡,这相当于线性系统的极坐标图 在复平面中穿过(1,j 0)点。,将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中,根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。,安徽工业大学电气信息学院,一、非线性系统稳定,安徽工业大学电气信息学院,三、非线性系统产生自持振荡,图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。,二、非线性系统不稳定,安徽工业大学电气信息学院,结论:该非线性系统存在自持振荡,振荡频率为 ,振幅为2.1。,例:,,是与负实轴重合的直线。,