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1、一阶微分方程 总结,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、五种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,(3) 一阶线性微分方程,
2、齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(4) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,(5) 全微分方程,形如,其中,注意：,解法,应用曲线积分与路径无关.,通解为, 用直接凑全微分的方法.,可化为全微分方程,形如,公式法:,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,2。 各类方程的内在联系,三种基本类型,变量可分离,一阶线性,全微分方程,其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型,三种基本类型代表三种典型解法,分离变量法,
3、常数变易法,全微分法,变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程 非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,3、一阶方程解题程序,分离变量,Y,解方程,N,Y,解方程,N,积分因子,Y,N,齐次型,一阶线性,Bernoulli,二、典型例题,例1,求一微分方程使其通解为,解,由,求导得,再求导,再求导,例2,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,例3,解,原式可化为,伯努利方程,原式变为,一阶线性非齐方程,对应齐方通解为,利用常数变易法,代入非
4、齐方程得,原方程的通解为,例4,解,方程为全微分方程.,(1) 利用原函数法求解:,故方程的通解为,(2) 利用分项组合法求解:,原方程重新组合为,故方程的通解为,(3) 利用曲线积分求解:,故方程的通解为,例5,解,非全微分方程.,利用积分因子法:,原方程重新组合为,故方程的通解为,例6,解方程,分析,本题看起来简单,但具体求解时发现,不是变量可分离,也不是齐次型,不是一阶线性,也不是全微分方程,怎么办？,必须对方程进行变形,解一,分项组合,通解为,解二,变量代换,令,一阶非齐次线性微分方程,相应齐方程,令,解三,由,存在关于 x 的积分因子,为全微分方程,通解为,积分因子法,例7,设曲线积分,在右半平面内与路径无关,其中 f (x) 可导,且f(1)=1,求f (x),解,由曲线积分与路径无关的条件知,即,一阶线性微分方程,代入f(1)=1 得,故,例8,解方程,并求此曲线 y = y (x) 和直线 x = 0 ,x = 1 三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积,解,特解为,