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1、5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 5.3 小结,第五章 大数定律与中心极限定理,5.1 大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.,常用的几个大数定律,大数定律一般形式：,若随机变量序列Xn满足：,则称Xn 服从大数定律.,切比雪夫大数定律,定理5.1.1,Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.,证明用到切比雪夫不等式.,依概率收敛,定义5.1.1 (依概率收敛),大数定律讨论的就是依概率收敛.,若对任意的 0，有,则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y, 记为,依
2、概率收敛的性质,定理5.1.2 若,则Xn与Yn的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.,依概率收敛（续）,推论5.1.3 (多变量函数),设,g(x,y)在点(a,b)连续，则,，,，又设函数,伯努利大数定律,定理5.1.4（伯努利大数定律）,设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有,马尔可夫大数定律,定理5.1.5,若随机变量序列Xn满足：,则 Xn服从大数定律.,(马尔可夫条件),辛钦大数定律,定理5.1.6,若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在，则 Xn服从大数定律.,(1) 伯努利大数定律是切比
3、雪夫大数定律的特例.,注 意 点,(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.,(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.,5.2 中心极限定理,讨论独立随机变量和的极限分布, 本节指出极限分布为正态分布.,5.2.1 独立随机变量和,设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为,5.2.2 独立同分布的中心极限定理,定理5.2.1 林德贝格勒维中心极限定理,设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 20，则当 n 充分大时，有,应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析,林德贝格勒维中心极限定理的推论,例5.2.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10
4、克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?,解:,设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心极限定理得，所求概率为：,= 0.0002,故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小),例5.2.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为,求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.,解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，,且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故,= 0.00021,5.2.3 二项分布的正态近似,定
5、理5.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有,是林德贝格勒维中心极限定理的特例.,二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：,注 意 点 (1),中心极限定理的应用有三大类：,注 意 点 (2),ii) 已知 n 和概率，求x ；,iii) 已知 x 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 x，求概率；,一、给定 n 和 x，求概率,例5.2.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示
6、第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、给定 n 和概率，求 x,例5.2.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?,解：用,设供电量为x, 则从,Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.,又记X=X1+X2+X200，则 E(X)=140，Var(X)=42.,中解得,三、给定 x 和概率，求 n,例5.2.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k
7、/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？,解：用,根据题意,Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则,从中解得,Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。,又由,可解得,n = 271,例5.2.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.,解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则,X b(500, 0.01),0.17635,(2) 应用正态逼近:,P(X=5) = P(4.5 X 5.5),= 0.1742,5.2.4 独立不同分布下的中心极限定理,定理5.2.3 林德贝格中心极限定理,设Xn 为独立随机变量序列，若任对 0，有
8、,林德贝格条件,则,李雅普诺夫中心极限定理,定理5.2.4 李雅普诺夫中心极限定理,设Xn 为独立随机变量序列，若存在 0，满足：,李雅普诺夫条件,则,林德贝格条件较难验证.,例5.2.7 设 X1, X2 , . , X99相互独立, 且服从不同的 0-1分布,试求,解: 设 X100, X101, .相互独立, 且与X99同分布,则可以验证Xn满足 =1的李雅普诺夫条件，且,由此得,5.3 小结,基本概念： 依概率收敛、契比雪夫大数定理、伯努利大数定理、辛钦大数定理、独立同分布的中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理； 基本概念： 中心极限定理的应用；,2, 5, 8,作 业,