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1、第六章 定积分在几何学上的应用,一、 平面图形的面积,二、已知平行截面面积函数的立体体积,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右图所示图形面积为,例 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,一、平面图形的面积,例 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,一、平面图形的面积,例 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,一、平面图形的面积,2. 极坐标情形,求由曲
2、线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,一、平面图形的面积,对应 从 0 变,例 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,一、平面图形的面积,例 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),一、平面图形的面积,例 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求面积为,一、平面图形的面积,二、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑
3、连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,二、已知平行截面面积函数的立体体积,例 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),二、已知平行截面面积函数的立体体积,例 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,二、已知平行截面面积函数的立体体积,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,二、已知平行截面面积函数的立体体积,例 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,解: 利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,二、已知平行截面面积函数的立体体积,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,例.,若选 y 为积分变量, 则,二、已知平行截面面积函数的立体体积,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,极坐标方程,直角坐标方程,2. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,