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1、指派问题,指派问题是一种特殊的整数规划问题 一、问题的提出 设有m个工人，能做n件事，但效率不同，并规定每个工人做且只能做一件事，每件事有且只能有一个工人做，问应该如何安排他们的工作，使花费的总时间（成本）最少或效率最高？,二、指派问题的数学模型,设第i个工人做第j件事的时间是 ，决策变量是 则数学模型如下,举例说明 1）表上作业法 2）匈牙利法,例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示，问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？,获得初始解：圈零/划零操作,将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行和
2、每一列都含有零； 从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来，并划去它所在行和所在列的其它零； 反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。得到初始解。 判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。,确定调整行和列,在没有圈起的零所在行上打“”； 在打“”行中所有零所在的列打“”； 在打“”列中含有圈起零的行上打“”， 反复执行2）和3）两步，直到不能打“”为止； 用直线划去打“”的列和不打“”的行，没有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整列。,调整可行解的方法,在调整行中寻找最小的元素，将它作为调整量； 将调整行各元素减去调整量，对调整列中各元素加上调整量。 再次执行“圈零”和“划零”的操作，并
3、循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n为止。,匈牙利法解例3.3,时间矩阵 各行各列减去最小元素后得,圈零划零,得最优解,将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得最优解如下 最小总时间为22。,再看一例,请求解如下矩阵表达的指派问题,减去最小元素,圈零划零,打勾划线确定调整行和列,调整可行解,再圈零划零,得最优解,另一最优解,最小时间（成本）min z=32,匈牙利算法示例,（二）、解题步骤：,指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系
4、数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。,第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。,第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作 。然后划去 所在列(行)的其它0元素，记作 ；
5、这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作 (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。,(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 （5）若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m n, 则转入下一步。
6、第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有的行打号； (2)对已打号的行中所有含元素的列打号； (3)再对打有号的列中含 元素的行打号；,(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止； (5)对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 lm n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打各行都减去这最小元素；打各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出
7、现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。,例一：,2,4,9,7,4,2,有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,例二、,求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：,5,第二步，试指派：,找到 3 个独立零元素 但 m = 3 n = 4,第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：,15,练习：,11,5,7,6,4,戊,6,9,6,3,7,丁,8,6,4,5,8,丙,9,11,7,12,9,乙,11,8,9,5,7,甲,E,D,C,B,A,费 工作 用 人员,-1,-2,l =m=4 n=5,l =m=4 n=5,此问题有多个最优解,28,用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：,