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1、用向量方法处理立体几何,北京市第二中学数学组 赵中华,内容编排,空间的直线和平面 主要学习空间的直线、平面间的平行和垂直关系。 空间向量 主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用。 夹角和距离 掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离。了解异面直线的距离的概念和计算。,(A)和(B)对定理处理不一致的地方,P13连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线P14 P18推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行. P44公式 cos=cos1cos2
2、。 P49:任意两条异面直线有且只有一条公垂线.P14 P57:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. 二面角的平面的定义。,cos=cos1cos2,公式的应用,例题：PA,PB,PC是从P引出的3条射线，每两条的夹角都是60度，则直线PA与平面PBC所成角的余弦是？,A,C,B,P,二面角的平面角的定义,A: B:一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA,OB,O为垂足，则AOB叫做二面角-l-的平面角。(P45),引进向量的意义,几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的需要。 实验几何、综合推理几何、三角学、解析几何 有效的研究几
3、何的代数方法。 面积和体积的计算、质点组几何、笛卡尔时代的坐标几何，向量几何等。 降低立体几何的教学难度。 传统方法：形到形。 向量方法：运算体系相似。用代数方法进行推理，掌握空间图形的性质。,引进向量的意义,扩充学生的运算体系。 向量是一个运算对象。 矩阵、微积分。 向量的广泛应用。 科技，经济以及日常生活各个领域都有着广泛的应用。 对物理学习的帮助,地位和作用,用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率 。 向量知识的引进，使
4、我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度。,空间 向量,空间 向量 的运 算,空间 向量 基本 定理,空间 向量 的坐 标运 算,夹角 与 距离,加减 和数 乘运 算,共线 向量 共面 向量,空间 向量 的数 量积,知识结构,夹角和距离 公式,空间 向量,空间 向量 的运 算,空间 向量 基本 定理,空间 向量 的坐 标运 算,夹角 与 距离,加减 和数 乘运 算,共线 向量 共面 向量,空间 向量 的数 量积,课时安排,夹角和距离 公式,1,1,2,2,2,1,教学建议,用类比法教学
5、： 空间向量是平面向量的推广。 空间向量和平面向量的联系和区别。 不必追求理论上的严谨性 重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重于掌握向量这一工具的性质和用途。 多采用教具 空间观念薄弱 使学生直观地掌握本节内容 需辨证地利用向量方法来解决实际问题。,9.5 空间向量及其运算,空间向量及其线性运算 共线向量和共面向量 空间向量的分解定理 两个向量的数量积,空间向量及其线性运算,空间向量的概念、表示、相同或相等关系。 空间向量的加法、减法、数乘向量 加法交换律 加法结合律 数乘分配律,共线向量和共面向量,空间向量共线或平行的定义和表示 空间共线向量定理及其推论 空间向量的向量参数方程及线段中
6、点的向量公式 空间向量共面的概念及其表示 共面向量定理及其推论(空间向量参数方程) 简单应用,空间向量基本定理,空间向量基本定理 空间向量的基底 空间向量基本定理的推论。,两个向量的数量积,空间向量的夹角、向量长度的概念和表示方法。 空间向量的数量积的概念和计算方法、性质、运算律 向量解决立体几何问题中线面垂直、线线垂直。两点间距离的基本方法步骤,教学要求,理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。 了解空间向量基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式。 理解直
7、线的方向向量，平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。,教学要求#,前后不一致的地方,投影与射影,记号的的不一致,法向量,法向量的用途 线面所成角 二面角(12题) 点到平面的距离,法向量的求法,法向量例题, 已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的单位法向量,法向量应用,法向量应用：线面垂直,二面角,法向量的应用：点到面的距离,空间向量处理的问题,共面问题。 平行 利用P28共线向量定理a/ b a=b(b 0, 是实数) 垂直 利用P33数量积的性质： a b ab=0 角 利用P33数量积的定义cos= 距离 利用P34数量积的性质：|a|2=aa,利
8、用向量解决几何题的一般方法,P35 把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算和证明 如何恰当地建立空间直角坐标系 正方体、长方体、长方体的1/2,1/6 如何选择基底,异面直线所成的角,异面直线所成的角,直线和平面垂直,线线垂直,线线垂直,7 在空间四边形ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点，求证：2MN=AB+DC,且MN,AB,CD平行于同一平面。,证明,共面问题, P是ABC所在平面外的一点，PD、PE、PF分别是APB、 APC,BPC 的平分线，且PD PE，求证：PE PF,PF PD。,所以 PF PE ；同理 PF PD 。,证明,直线和
9、直线垂直,B,8 在平行六面体AC中，E,F,G分别是AD,DD,DC的中点，求证：平面EFG/平面ABC。,证明,面面平行,13在平行六面体AC中，AB=AD, AAD=AAB= DAB=60. (1)求证：AA BD; (2)当 的值为多少时，才能使AC平面ABD.请证明。,证明,线线线面垂直,13(2)在平行六面体AC中，AB=AD,AAD=AAB=DAB=60. (2)当 的值为多少时，才能使AC平面ABD.请证明。,解：,线线线面垂直2,对比表1,对比表2,对比表3,对比表4,向量与直线的区别,平行直线和平行向量 共面直线和共面向量,总体的建议,重视空间向量的概念、运算方法及其应用，而不必过多追求理论上的严谨性，侧重于掌握向量这一工具的性质和用途。 空间向量是平面向量的推广，内容和结构都与平面向量基本一致。因此，宜用类比法。 由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握本节内容。 需辨证地利用向量方法来解决实际问题。,法向量应用,E,F,G,返回,