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1、Chapter14 Statically Indeterminate Structure,第十四章 静不定结构,2019/8/27,材料力学课件,第十四章 静不定结构(Chapter 14 Statically Indeterminate Structure),14-3 对称及反对称性质的应用 (Application about symmetrical and antisymmetrical properties ),14-1 静不定结构概述(Instruction about statically indeterminate structure),14-2 用力法解静不定结构(Solvin
2、g statically indeterminate structure by force method),2019/8/27,材料力学课件,一、静不定结构（Statically indeterminate structure）,在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的静不定次数（degree of statically indeterminate）.,14-1 静不定结构概述 （Instruction about Statically indeterminate structure）,用静力学平衡方程无法确定全部
3、约束力和内力的结构,统称为静不定结构或系统（statically indeterminate structure）,也称为超静定结构或系统.,2019/8/27,材料力学课件,第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力是静不定的,也称联合静不定结构.,二、静不定问题分类 （Classification for statically indeterminate）,第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,可称为外力静不定系统;,第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称为内力静不定系统;,2019/8/27,材料力学课件,判断下列结构属于哪类超静定,外力超静
4、定,外力超静定,（d）,（a）,（b）,（c）,（e）,（f）,混合超静定,混合超静定,内力超静定,内力超静定,2019/8/27,材料力学课件,三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）,在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提高构件的承载能力 .,塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?,2019/8/27,材料力学课件,辅助支撑,跟刀架,顶尖,在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑
5、构成系统,用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。,2019/8/27,材料力学课件,2019/8/27,材料力学课件,五、分析方法（Analytical method）,1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方法; 2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知量的求解方法.,（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差即为结构的超静定次数；,（2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力超静定;平面桁架
6、的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍的节点数.,四、超静定次数的判定 （Determine the degree of statically indeterminacy）,2019/8/27,材料力学课件,14-2 用力法解静不定结构 （Solving statically indeterminate structure by force method）,一、力法的求解过程（Basic procedure for force method）,1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3代替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”
7、;,2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程;,3.由补充方程求出多余约束力;,4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.,2019/8/27,材料力学课件,A,B,l,（1）去掉多余约束代之约束反力,得基本静定系,把 B 支座作为多余约束,X1 为多余反力,AB 悬臂梁为基本静定系,例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力.,2019/8/27,材料力学课件,变形协调条件： B点的 挠度为,（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件,1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿X1方向的位移.,1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用 B
8、点沿X1方向的位移.,2019/8/27,材料力学课件,若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移.,由于X1作用,B点的沿X1方向位移是11的X1倍,利用上式解出 X1,2019/8/27,材料力学课件,（3） 用莫尔定理求1F,2019/8/27,材料力学课件,（4） 用莫尔定理求 11,2019/8/27,材料力学课件,代入,解得,2019/8/27,材料力学课件,二、力法正则方程 (Generalized equations in the force method),上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式,X1 多余未知量；,变形协调方程的标准形式,即所谓
9、的力法正则方程.,d11 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方向的位移;,D1F 在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移;,2019/8/27,材料力学课件,这是三次超静定问题,对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：,2019/8/27,材料力学课件,在静定基上,由 F,X1,X2,X3单独作用在点引起的水平位移分别记作 1F, 1X1, 1X2, 1X3,1表示B点的水平位移方向,B点的水平位移等于零,2019/8/27,材料力学课件,2019/8/27,材料力学课件,B点的铅垂位移等于零,2表示B点的铅垂位移方向,2019/8/27,材
10、料力学课件,2019/8/27,材料力学课件,三次超静定系统的正则方程,2019/8/27,材料力学课件,正则方程的推广:,由位移互等定理知:,2019/8/27,材料力学课件,例题2 刚架的两杆抗弯刚度都是EI,解此刚架.,F,A,B,C,D,l,l/2,l/2,2019/8/27,材料力学课件,解:取固定端处的反力偶为多余约束.,变形协调条件是:A点的转角等于零.,2019/8/27,材料力学课件,11 是在A点作用单位力偶时,在A截面引起的转角., 1F 是力F在A截面引起的转角.,2019/8/27,材料力学课件,BC:,AC:,（1）求11,2019/8/27,材料力学课件,2019
11、/8/27,材料力学课件,BC:,CD:,AD:,（2）求 1F,F,2019/8/27,材料力学课件,解得,代入,2019/8/27,材料力学课件,Me,A,B,C,D,a=50mm,例题 3 已知两杆抗弯刚度均为EI.不计剪力和轴力对刚架变形的影响,求支座反力q=10kN/m, Me=50kNm.,2019/8/27,材料力学课件,（1） 用单位力法求 1F,BD:,DC:,CA:,2019/8/27,材料力学课件,BD:,DC:,CA:,（2）用单位力法求 11,2019/8/27,材料力学课件,代入,解得,2019/8/27,材料力学课件,例题4 试求图示刚架的全部约束反力,刚架EI为
12、常数.,解：（1） 刚架有两个多余约束,为二次 静不定结构;,（2）选取并去除多余约束,代以多余约束反力;,（3）建立力法正则方程,（4）计算系数dij和自由项DiF,用莫尔定理求得,2019/8/27,材料力学课件,2019/8/27,材料力学课件,（5）求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,（6） 求其它支反力,由平衡方程得其它支反力,全部表示于图中.,2019/8/27,材料力学课件,例题5 求解静不定结构刚架,设两杆的EI 相等.,a,a,2019/8/27,材料力学课件,（1）用单位荷载法求 1F, 2F, 3F,2019/8/27,材料力学课件,（2）求 ii,2019/
13、8/27,材料力学课件,（3）求 ij,2019/8/27,材料力学课件,（4）求 X1,X2 ,X3,代入正则方程：,2019/8/27,材料力学课件,化简得:,求出:,2019/8/27,材料力学课件,例题6 计算图（a）中所示桁架各杆的内力. 设各杆的材料相同,横截面面积相等.,解：桁架内部有一个多余约束,所以各杆的内力确是超静定的. 以杆件4为多余约束,假想的把它切开,并代之以多余约束力X1,得到图（b）所示的相当系统.,(a),2019/8/27,材料力学课件,1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位移;11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移（图d）
14、.,力法正则方程,2019/8/27,材料力学课件,由图（c）求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi,2019/8/27,材料力学课件,应用莫尔定理,代入方程后求得,由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力,2019/8/27,材料力学课件,例题7 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定,B端铰支（图a）. 在F作用下,试求曲杆的弯矩图. 设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径,可以借用计算直杆变形的公式.,/4,/4,F,解:曲杆为一次超静定,解除多与支座B,得到A端固定,B端为自由端的基本静定系,多余约束力为X1（图b）.,(a),2019/8/27,材料力学课件,当基本静定系上只作用外载荷F时（图c）
15、, 弯矩为,当在B点沿X1方向作用一单位力时（图d）, 弯矩方程为,a,2019/8/27,材料力学课件,应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,将1F和11代入,解得,2019/8/27,材料力学课件,曲杆任一横截面上的弯矩,2019/8/27,材料力学课件,一、对称结构的对称变形与反对称变形 （Symmetrical and antisymmetrical deformation in symmetrical structure）,结构几何尺寸,形状,构件材料及约束条件均对称于某一轴, 则称此结构为对称结构.,14-3 对称及反对称性质的应用( Application about symmet
16、rical and antisymmetrical properties ),2019/8/27,材料力学课件,当对称结构受力也对称于结构对称轴,则此结构将产生对称变形;,若外力反对称于结构对称轴,则结构将产生反对称变形.,2019/8/27,材料力学课件,二、结构对称性的利用 （Application of symmetrical structure）,对称结构（symmetrical structure）:若将结构绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的部分将完全重合.,2019/8/27,材料力学课件,对称载荷（symmetrical load）:绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的载荷的作用点
17、和作用方向将重合,而且每对力数值相等.,2019/8/27,材料力学课件,反对称载荷（Antisymmetrical load）:绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等,作用点重合而作用方向相反.,2019/8/27,材料力学课件,2019/8/27,材料力学课件,例如：,2019/8/27,材料力学课件,例题8 试求图示刚架的全部约束反力,并作弯矩图,刚架EI为常数.,解:图示刚架有三个多余未知力. 但由于结构是对称的,而载荷反对称,故对称轴横截面上轴力,弯矩为零,只有一个多余未知力（剪力）,只需列出一个正则方程求解.,用莫尔定理求D1F和d11.,B,2019/8/27,材料力学
18、课件,则,由平衡方程求得:,代入正则方程,2019/8/27,材料力学课件,例题9 在等截面圆环直径AB的两端,沿直径作用方向相反的一对F力（图a）.试求AB直径的长度变化.,解:沿水平直径将圆环切开（图b）,由载荷的对称性,截面C和D上的剪力等于零,只有轴力FN和弯矩M0.,利用平衡条件求出FN=F/2,只有 M0 为多余约束力.,(a),2019/8/27,材料力学课件,由图（d）和图（e）求出,根据对称性,只研究圆环的四分之一（图c）,变形协调条件为,2019/8/27,材料力学课件,将1F和11代入变形协调方程中,解得,任意截面上的弯矩,2019/8/27,材料力学课件,在A,B两点作用单位力（图f）,则单位力作用 下圆环内的弯矩为,使用莫尔积分求A,B两点的相对位移,2019/8/27,材料力学课件,例题10 求图a 所示钢架的反力.,解:钢架有4个反力,是一次超静定结构.,基本静定系如图b.,结构上的载荷是反对称的,C截面只有剪力不为零.,钢架的左半部分简化成图（c）所示情况,由平衡方程得到:,q,A,B,C,q,a,a,(a),第十四章结束,