第五章概率和概率分布.ppt

《第五章概率和概率分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章概率和概率分布.ppt（105页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、统 计 学,第五章 概率和 概率分布,第五章 概率和概率分布,1 概率的问题 2 离散变量的概率分布 3 连续变量的概率分布 4 抽样分布,学习目标,1. 了解随机事件的概念、事件的关系和运算 2. 理解概率的定义，掌握概率的性质和运算法则 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概率,1 概率的问题,1.1 事件 1.2 概率 1.3 概率分布,随机事件的几个基本概念,随机事件的几个基本概念,试 验,在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验具有以下特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的

2、在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果,事件的概念,事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6,事件与样本空间,基本事件 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 样本空间 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面,1.1 事件,1.

3、1.2 事件的关系 事件的包含； 事件的互斥； 事件的并（或和）； 事件的交（或积）； 事件的差； 事件的逆。,1.1.2 事件的关系和运算 （事件的包含）, 若事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或 A B或 B A,1.1.2 事件的关系和运算 （事件的并或和）, 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合，记为AB或A+B,1.1.2 事件的关系和运算 （事件的交或积）, 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集

4、合，记为BA 或AB,1.1.2 事件的关系和运算 （互斥事件）, 事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点,1.1.2 事件的关系和运算 （事件的逆）, 一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A,1.1.2 事件的关系和运算 （事件的差）, 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B

5、,1.1.3 事件的性质,事件的性质 设A、B、C为三个事件，则有 交换律：AB=BA AB=BA 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),1.2 概率,1.2.1 事件的概率 事件A的概率是对事件A出现的可能性大小的一种度量，数学表示为 ，概率的数学性质有：,非负性 对任意事件A，有 0 P 1 规范性 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即 P ( ) = 1； P ( ) = 0 可加性 若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，

6、An，有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),事件的概率,事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,1.2.2 概率的古典定义, 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为,1

7、.2.2 概率的古典定义 （实例）,【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率,1.2.2 概率的古典定义 （计算结果）,解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则,(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则,1.2.2 概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐

8、渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为,1.2.2 概率的统计定义 （实例）,【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为 1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电 量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施， 试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有,1.2.2 概率的主观定义,对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为201

9、2年的中国股市是一个盘整年,概率的主观定义叫主观概率，也叫个人概率。, 法则一：加法的特殊定理 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，An两两互斥，则有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 特别的，若事件A与B互斥，并且事件A与B的和组成了整个样本空间，此时，事件A与B互为逆事件。 有 ，个式子还可以写成 或写作： 。上式也叫概率的补偿定理。,1.2.3 概率的加法,1.2.3 概率的加法 （实例）,【例】根据钢铁公司职工的例子，

10、随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率 解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为,1.2.3 概率的加法,法则二：加法的一般定理 有的事件并不是互斥的，有可能同时发生，存在交集。要计算两个事件之和的概率，要减去一次交集的概率，否则这部分就包括了两次，重复多算了一次。 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 对于两个互斥事件而言，有P (

11、AB) = P () =0 加法的特殊定理是一般定理的一个特例。,1.2.3 概率的加法 （实例）,【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则 P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28,1.2.4 概率的乘法-条件概率,1.条件概率 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件A的条件概率，记为 若 ，事件A的条件概率（事件B发生的

12、条件下），与事件A本身的概率相等，意味着事件B的信息对于事件A没有影响，说明这两个事件是独立的。,条件概率的图示,1.2.4 概率的乘法,2. 乘法的特殊定理 两个独立事件之积（同时发生）的概率，等于两个事件的概率之积。即若事件A与B独立，有 P(AB)=P(A)P(B) 推广到n个独立事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An),1.2.4 概率的乘法 （乘法的特殊定理实例）,【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求 （1）在30分钟内三台机床都不需要看管

13、的概率 （2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3) = 0.90.8(1-0.85)=0.108,1.2.4 概率的乘法,3.乘法的一般定理 更多的时候，事件并不是独立的，概率的计算是有条件的。一般意义上，两个事件之积（同时发生）的概率，为： 上式也可以写作,求两个以上事件之积（同时发生）的概率与之相似。 以

14、三个事件A、B、C为例。事件A、B、C同时发生的概率为：,1.2.4 概率的乘法 （实例）,【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2),1.2.5 全概公式和贝叶斯公式,1.全概公式 设n个事件 两两互斥，并有 ，说明n个事件两两互斥没有交集，并且组成了整个样本空间，满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组。 若 ，则对任意事件B，有： 我们把事件 看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率

15、就是上面的全概公式,全概公式 （实例）,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概公式有,1.2.5 全概公式和贝叶斯公式,2.贝叶斯公式 贝叶斯公式与全概率公式要解决的问题正好相反。 它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（或事件是在什么条件下发生的）。 贝叶斯公式也称作逆概公式。 设n个事件 两两互斥，并有 就是贝叶斯

16、公式（逆概公式），它是基于事件B已发生的结果，推导事件B是在 情况下发生的概率。,1.2.5 全概公式和贝叶斯公式,进一步有： 已知事件B发生了，未知（想去知道）的是事件B是在什么情况下发生，这可以通过计算逆概率来做出判断。,贝叶斯公式 （实例）,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝

17、叶斯公式有：,1.3 概率分布,概率分布指的是随机变量的概率分布。 对离散变量，列出其所有可能的取值以及随机变量取这些值的概率，便构成了离散变量的概率分布。 对连续变量，可计算某段（区间）取值的概率（或概率密度），相应地便构成了连续变量的概率分布。,随机变量的概念,一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,连续型随机变量,随机变量 X 取无限个值 所有

18、可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,2 离散变量的概率分布,首先看离散型随机变量的概率分布。 为得到离散型随机变量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值，以及X取这些值的概率。用下面的表格来表示：,2 离散变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0 0,离散型随机变量的概率分布 （实例）,【例】如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中

19、域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为,离散型随机变量的数学期望,在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 计算公式为,离散型随机变量的方差,随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为V(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为,离散型随机变量的方差 （实例）,【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差,解：数学期望为：,方差为：,2 离散变量的概率分布,几种主要的离散变量概率分布 2.1 均匀分布 2.2 0

20、-1分布 2.3 二项分布 2.4 泊松分布,2.1 均匀分布,当离散型随机变量X的所有可能取值的概率相同，即 都相同，则X服从均匀分布。 设所有可能的取值个数为n，则 对于服从均匀分布的离散型随机变量X，有：,均匀分布实例,【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为,伯努利试验 （ 0-1分布、二项分布）,0-1分布、二项分布与伯努利试验有关 伯努利试验具有如下属性 试验包含了n 个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败” 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 试验是相互独立的 试验“成功”

21、或“失败”可以计数,2.2 0-1分布,当离散型随机变量X的只有两个可能的取值，并且其中一个赋值为1，另一个赋值为0，则X服从0-1分布。 例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示 设取1的概率为 ，则取0的概率 对于服从0-1分布的离散型随机变量X，有：,2.2 01分布 (实例),【例】已知一批产品的次品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.5=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为,2.3 二项分布,二项分布研究的是类型变量，并且类型只能够表现为两种形式，这与0-1分布一致。 二项分布其

22、实是多个0-1分布的结合。0-1分布是一次实验，二项分布则是多次试验。 二项分布的多次试验中，每次试验都是独立于其他试验的，试验之间也不会互相影响。,2.3 二项分布,设成功的概率为p，则失败的概率为q=1-p。试验的总次数为n，则n次试验中成功的次数X服从二项分布。记作：,设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为,2.3 二项分布,显然， 对于PX=x 0， x =1,2,n，有 同样有 当 n = 1 时，二项分布化简为,2.3 二项分布,二项分布随机变量的期望和方差为：,2.3 二项分布 （实例）,【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次

23、。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有,2.4 泊松分布,n很大而p很小时二项分布的极限形式叫做泊松分布。 设参数 ，代表某结果出现次数的期望，若试验总次数为n，某结果每次出现的概率为p，当n很大而p很小时， 。 某结果出现的次数X在服从泊松分布的情况下，X的取值为 ,有, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,2.4 泊松分布,泊松分布随机变量的期望和方差为：,2.4 泊松分布 （实例）,【例】假定某企

24、业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求 （1）X 的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解：(1) E(X)=2.5；D(X) = 2.5=1.581 (2),2.4 泊松分布 （作为二项分布的近似）,当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用中，当 P0.25，n20，np5时，近似效果良好,3 连续变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数

25、学函数的形式和分布函数的形式来描述,概率密度函数,设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件,f(x)不是概率,概率密度函数, 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x),概率密度函数, 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 a b，P(a X b)是该曲线下从a 到 b的面积,概率是曲线下的面积,分布函数,连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示 分布函数定义为,根据分布函数，P(aXb)可以写为,分布函数与密度函数的关系,密度函数曲线下的面积等于1 分布函数是曲线下小于 x0 的面积,连续型随机变量的期望和方差

26、,连续型随机变量的数学期望为 方差为,3 连续变量的概率分布,几种主要的连续变量的概率分布 3.1 均匀分布 3.2 正态分布 3.3 正态分布衍生的几个重要分布,3.1 均匀分布,当连续型随机变量X的概率密度值为常数，即 都相同，则X服从均匀分布。 设所有可能的取值从a到b，由 ，得X的概率密度函数为： 称X服从在区间 的均匀分布。,3.1 均匀分布,分布函数为： 数学期望和方差为：,3.2 正态分布,正态（normal）分布是描述连续型随机变量最重要的分布。 服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为： 分布函数为： 其中， 为均值， 为标准差， ， 。,正态分布的重要性,1. 正态（no

27、rmal）分布:描述连续型随机变量的最重要的分布 2. 可用于近似离散型随机变量的分布 例如: 二项分布 3. 经典统计推断的基础,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ) = 总体均值,3.2 正态分布,若随机变量X服从期望为方差为的正态分布，记作： 只要有均值 与标准差 ，就可以构成一个正态分布。因此，每一对均值和标准差就有一个正态分布。并有：,3.2 正态分布特征,（1）每一对与都可以形成一条曲线，这意味着正态曲线可以看成是一族曲线，在编制曲线时需要并且只需要与2。 （2）曲线为钟形，

28、而且对称。 期望为变量取值的中间点和对称点。方差2反映了变量的离散程度，2越小曲线越尖，2越大曲线越扁平。 （3）在正态分布中，变量的均值、中位数Me和众数Mo都是相等的。 （4）概率密度值在对称点取到最大值，越往两边值越小，直至无限趋近于0，在理论上永不相交。 （5）正态分布的随机变量，大部分取值在中间点附近，极大极小值的个数都较少。实际上几乎所有的数值位于均值加减三个标准差之间，也就是说全距离为6。 （6）曲线下总面积为1。曲线从对称点往右或往左的面积都是0.5。, 和 对正态曲线的影响,正态分布的概率,概率是曲线下的面积!,标准正态分布的重要性,一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率

29、时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,3.2 正态分布,为了得到更加一般意义和标准的正态分布，我们可以采取标准化处理，把所有均值为 方差为 的正态分布，都转化为均值为0方差为1的正态分布，即通过线性变换的标准化处理，把正态分布转化为标准正态分布。 设 ，标准化处理为： 并有：,标准正态分布,一般正态分布,3.2 正态分布,便得到了服从标准正态分布的Z变量，有： Z变量的概率密度函数为： Z变量的分布函数为： 标准正态分布的概率密度函数和分布函数是唯一的。概率密度函数 一般用 表示，分布函数 一般用

30、 表示。,3.2 正态分布,对于一般的正态分布 ，有：,3.2 正态分布,标准正态分布表的注意事项有： （1）标准化处理为 （2）查标准正态分布表即得概率 。其中 ， （3）对于负的z，可由 得到。 （4） （5）,标准化的例子P(5 X 6.2),标准化的例子P(2.9 X 7.1),一般正态分布,正态分布 （实例）,【例】设XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-12)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1X 3)= P(X 3)- P(X -1) = (3)- (-1)= (3) 1-(1) = 0.9987-(1-0.8413

31、)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- 1-(2)=2 (2)- 1=0.9545,正态分布 （实例）,【例】设XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解： (1),(2),二项分布的正态近似*,当n 很大时，二项随机变量X近似服从正态分布Nnp , np(1-p) 对于一个二项随机变量X，当n很大时，求 P(x1Xx2)时可用正态分布近似为,为什么概率是近似的*,增加的部分与减少的部分不一定相等,3.3 正态分布衍生的几个重要分布 *,3.3.1 卡方分布 常应用于拟合优度检验

32、中。 设 个随机变量 相互独立，且都服从标准正态分布 ， 则它们的平方和服从自由度为 的卡方分布。 记作： 卡方分布的期望为： 卡方分布的方差为： 卡方分布具有可加性 即 若 ， ，且 与 独立，则：,3.3 正态分布衍生的几个重要分布*,3.3.2 t分布 t分布与正态分布相似，但适用于小样本中。 设随机变量 服从标准正态分布，即 ，随机变量 服从自 由度为 的卡方分布，即 ，且 与 独立，则随机变量 服从自由度为 的 分布。记作： t分布的自由度越大，则该t分布的曲线就越接近标准正态分布。 当自由度大于30时，很难看出t分布与标准正态分布的差别。 当自由度大于50时，两者几乎完全相同。,3

33、.3 正态分布衍生的几个重要分布*,当 时，t分布的期望为： 当 时，t分布的方差为： 关于t分布，还有一种较复杂的情况。设 个随机变量 相互独立，且都服从正态分布 ，得到 ， 则随机变量 服从自 由度为 的 分布。记作：,3.3 正态分布衍生的几个重要分布*,3.3.3 F分布 设随机变量 和 分别服从自由度为 和 的卡方分布， 且 与 独立，则随机变量 服从自由度为 的F分布。记作： F分布有两个自由度，第一自由度即为分子卡方分布的自由度，第二 自由度即为分母中卡方分布的自由度。 当 时，F分布的期望为： 当 时，F分布的方差为：,4 抽样分布,4.1 统计量 4.2 样本均值的抽样分布

34、4.3 中心极限定理,4.1 统计量,设 是从总体中抽取的容量 为的一个样本，根据样本构造一个函数 ，该函数便是一个统计量，也称为样本统计量。 当调查得到样本数据的值 时，代入 ，计算出 的数值，就得到了一个具体的统计量值。在这里，大写的 表示变量，小写的 表示变量的具体取值，相应的， 表示统计量，而 则表示统计量的一个具体结果。,4.1 统计量,设 是从总体中抽取得到一个样本，则： 样本均值为 样本方差为 样本均值和方差是最常见的统计量。,4.2 样本均值的抽样分布,设总体 服从正态分布 ， 为 个互相独立且与总体同分布的随机变量，则样本均值 服从期望为 ，方差为 的正态分布。记作： 上面的

35、结果表明，样本均值的期望与总体均值相同，而方差则变为原来的 ，这说明用样本均值去估计总体均值，平均来说没有偏差（因为期望相等），当样本量 增加时，样本均值的方差变小，即用样本均值 估计总体均值 会更加精确。,4.3 中心极限定理,设总体 的分布未知，但已知均值为 ，方差为 ，抽取得到一个容量为 的样本，当 足够大（我们通常要求 ）时，则样本均值 近似服从期望为 ，方差为 的正态分布。 中心极限定理告诉我们：不管总体服从什么样的分布，只要样本量足够大，样本均值都近似服从正态分布。,本章小结,定义试验、结果、事件、样本空间、概率 描述和使用概率的运算法则 定义和解释随机变量及其分布 计算随机变量的数学期望和方差 计算离散型随机变量的概率和概率分布 计算连续型随机变量的概率 用正态分布近似二项分布 抽样分布,结 束,