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1、一、随机变量的数学期望,二、随机变量的方差,2.2 随机变量的数字特征,三、随机变量的矩与切比雪夫不等式,数字特征-反映r.v.分布的某些特征的数值，它更能集中、明显的反映r.v.统计规律性的某些层面。,分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的这些特征.,判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;,又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度,例如：,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小., r.v.的平均取值 数学期望 r.v.取值平均偏离均
2、值的情况 方差,一、随机变量的数学期望,引例,此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率为权重的加权平均，称为r.v.X的数学期望。,关于定义的几点说明,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,(3)如果D.r.v.只取有限多个值，EX一定存在。,试问哪个射手技术较好?,例 谁的技术比较好?,解,平均起来甲射
3、手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些.,2.连续型随机变量的数学期望,定义,设顾客在某银行窗口等待服务的时间为 X(以分计),其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,解,因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.,例 顾客平均等待多长时间?,例 均匀分布,则有,结论: 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,例,3、随机变量函数的数学期望,定义,(2) r.v.函数的期望,解,4、数学期望的性质,(3) 如果EX,EY存在，则E(X+Y)存在， 且E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) ；,1. 方差的定义,二、随机变量的方差,-离差,-绝对离差
4、,定义：,注：（1）DX是一个确定的非负常数，它的大小反映了r.v.X对于EX的分散程度。,（2）若EX不存在，则DX一定不存在； 若EX存在，则DX不一定存在。,2. 随机变量方差的计算,3. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(3) 设 X 是一个随机变量, a是常数, 则有,解,练习：,（1）原点矩,定义：,（2）性质,注：DX为二阶中心矩。,2、切比雪夫不等式,-r.v.X取值越集中在EX附近,-r.v.X取值越分散,得,证明,对连续型随机变量的情况来证明.,注：可用此不等式对r.v.X的概率分布进行 粗略 的估计。,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia,契比雪夫资料,