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1、1,概率论与数理统计,(复习一)开始,2,2.样本空间S,1.随机试验E、三个特点,3.随机事件A,第一章 概率论的基本概念（知识点）,运算及原理：交换 结合 分配 对偶,4.概率函数P(A)的定义及性质：,*5.概率空间,5.1等可能概型即古典概型,5.2几何概型,3,7.条件概率定义,8.乘法定理,6.加法公式,样本空间的划分,9.全概率公式,10.贝叶斯公式,11.“A与B相互独立”的定义,*12.n个事件的互相独立与两两独立的区别,4,事件的关系与运算一览,包含关系， 相等关系，,并事件， 交事件， 补事件。 （差事件）,相交关系， 互斥关系， 对立关系。,5,运算原理：,交换 结合
2、分配 对偶,6,概率的性质：,1。P( )=0;,2。有穷可加;,4。,3。,5。,6。,2.P()=1; 完全性,3.可列可加性（加法公式）,1.P(A) 0 ; 非负性,概率的定义:,加法公式,7,(S,A ,P)为概率空间。A, B为两个事件，且P(A)0。则称 P(B|A)=P(AB)/P(A) 为“ 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ”。,条件概率定义:,乘法定理:,设P(AB)0，则有 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),设P(A1A(n-1)0， 则有 P(A1An)= P(An|A1A(n-1)P(A(n-1)|A1A(n-2).P(A2|A1)P(A1
3、),设P(A)0，则有 P(AB)=P(B|A)P(A),又设P(B)0，还有 P(AB)=P(A|B)P(B),8,定义；随机试验E的样本空间为 。 B1，B2，,Bn为E的一组事件。 若(1)两两不相容且,(2)它们的和集为,则称B1，B2，,Bn为的一个划分。,定理；随机试验E的样本空间为 。 B1，B2，,Bn为的一个划分。 且P(Bi)0, i=1,n。A为E的一个事件,则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn),称为全概率公式。,9,定理；随机试验E的样本空间为 。(,A,P) AA 为E的一个事件, P(A)0。B1，B2，,Bn为S的一个划分。 且P(Bi
4、)0, i=1,n。则 P(Bi|A)= P(A|Bi)P(Bi)/P(A)= P(A|Bi)P(Bi)/P(A|B1)P(B1) +P(A|Bn)P(Bn),称为贝叶斯公式。,10,1.随机变量X=X(e) 之定义。,第二章 随机变量及其分布（知识点）,2.何谓随机变量的分布函数,3.分布函数F(x ) 的性质:,11,4.何谓离散随机变量的定义及分布律，4个分布律。 5.离散随机变量分布函数的特点,6.何谓连续型随机变量 7.连续型随机变量的概率密度及其性质，3个分布。 8.连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系,9.1离散随机变量函数的分布律之求法,9. 随机变量函数的分布,9.2连续
5、型随机变量函数的概率密度的求法， 一维正态分布的线性变换。,12,定义:随机试验E,样本空间 =e,对于中的每个 e,都有一个实数X(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实函数 X=X(e) ，称为随机变量。,为概率空间。,13,* 随机变量的分布函数,F(x )=PX x 称为X的分布函数。,X的分布函数F(x ) 的性质:,10 F(x )是一个不减函数。,20 0 F(x ) 1。 且左无穷远点为0, 右无穷远点为1。,30 F(x+0 )= F(x )，即F(x )是右连续的。,定义: X为一个随机变量 , x 是任意实数, 函数,14,* 离散随机变量的分布函数,设：离散随机
6、变量可能取的值为 xk (k=1,2,),X 取可能值的概率为 pk =P(X=xk) (k=1,2,),F(x )=PX x 为阶梯函数,跳跃点在xk处,跃度为 pk 。,4个离散随机变量的分布律: 二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布。,15,* 连续型随机变量的概率密度,则 称 X 为连续型随机变量, 其中 f(x) 称为X的概率密度函数,简称概率密度。,定义: 随机变量X分布函数F(x ),存在非负函数 f(x) ,对于任意实数x有，F(x)为 f(x) 在区间(- x上的积分,注意: 1. 这时 F(x) 为连续函数。,2. 这时 PX=a = 0 。,16,概率密度f(x )
7、的性质:,10 f(x )是一个非负函数。,30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间(x1 x2上的积分为,40 若f(x)在点x处连续，则F(x )=f(x) 。,x1 x2,20 f(x)在全区间上的积分为1。,3个连续随机变量的分布 : 均匀分布、指数分布、正态分布。,17,一、离散随机变量函数的分布,设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,),X 取可能值的概率为 pk =P(X=xk) (k=1,2,),* 随机变量函数的分布,Y=g(X ) 的可能取值也是离散的。 记为 yj(j=1,2,). 取相应可能值的概率为 rj = Pg(xk)=yj对k=1
8、,2,求和 , (j=1,2,).,18,1：随机变量X具有概率密度fX(x) ,-x; 求Y=g(X)的概率密度 fY(y).,解: g (x), 取值在区间 a b上; 分段考虑：FY(y)=0,y a; FY(y)=1,b y; 而对 bya FY(y)=PY y=Pg(X) y =PX L(y),关键是解出L(y)来，再求导。,二、 连续型随机变量函数的分布,19,1.n维随机向量或n维随机变量的定义。,第三章 多维随机变量及其分布（知识点）,2.何谓随机变量 X1 ,Xn的联合分布函数。,3.分布函数 F(x1 , , xn) 的性质:,20,4.何谓n维离散随机变量的定义及分布律
9、5. n维离散随机变量分布函数的特点,6.何谓n维连续型随机变量，二维正态分布。 7. n维连续型随机变量的概率密度及其性质 8.n维连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系,9.1 n个离散随机变量函数的分布律之求法,9. n个随机变量函数的分布,9.2 n个连续型随机变量函数的概率密度的求法,21,11.何谓n维随机变量 (X1 ,Xn) 的边缘分布函数， 例如：n维随机变量 (X1 ,Xn)关于X1 和关于(X1,X2) 的边缘分布函数是什么？,边缘分布,12.联合分布律与边缘分布律的关系,13.联合概率密度函数与边缘概率密度的关系,22,*14.(X,Y)是离散型二维随机变量, 对于固
10、定的j,若PY=yj0,什么是,在 Y=yj 条件下随机变量X的条件分布律。,同样，对于固定的i,若PX=xi0,什么是,在 X=xi 条件下随机变量Y的条件分布律。,* 条件分布,23,*15.连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 概率密度函数为f(x,y) ,若在点(x,y)处f(x,y)连续,且边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)0,则,在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数FX|Y(x|y)和条件概率密度fX|Y(x|y)是什么?,在条件 X=x 下 Y 的条件分布函数FY|X(y|x)和条件概率密度fY|X(y|x)是什么?,且边缘概率密度fX(x)连续,且fX
11、(x)0,则,24,随机变量的相互独立性,16.何时称随机变量X1 ,Xn是相互独立的？,何时称随机变量(X1 ,Xm)与(Y1 ,Yk )是相互独立的？,随机变量的相互独立性定理的内容？,*17.n个随机变量函数的分布(分布律、密度）的一般求法思路。 二维正态分布的性质。,25,1。随机试验E,样本空间 =e, (,A,P) 为概率空间。,定义在上的单值实向量 (X1 ,Xn)=(X1(e),. Xn(e) ， 称为n维随机向量或n维随机变量。,推广成 多维随机变量及其分布,26,F(x1 , , xn) = P (X1 x1 ) .(Xn xn ) = P(X1 x1 , , Xn xn
12、) 称为n维随机变量 (X1 ,Xn)的分布函数。 或称为随机变量 X1 ,Xn的联合分布函数。,2。(X1 ,Xn)为一个n维随机变量 , 对任意实数 x1 , ,xn, n元 函数,27,分布函数 F(x1 , , xn) 的性质:,10 F(x1 , , xn)是各变量 的不减函数。,20 0 F(x1 , , xn) 1,且 F(,- , .) =0, F(, ,.) = 1。,30 F(x1 , , xn) 是右连续的。,40 落在任意长方体内的概率均非负。,28,则称该随机变量为连续型的n维随机变量。 其中 f(x1, , xn) 称为 n维随机变量(X1 ,Xn)的概率密度, 或
13、称n个随机变量 X1 ,Xn的联合概率密度。,3。n维随机变量(X1 ,Xn)分布函数为F(x1, , xn), 若存在非负函数 f(x1, , xn) , 对于任意实数 x1, , xn有,29,概率密度 f(x1, , xn) 的性质:,10 f(x1, , xn)是一个非负函数。,40 设 G 是 n维空间上的一个区域,点落在 G 内的概率为,30 若f(x1, , xn)在点 x1, , xn处连续，则有,20 f(x1, , xn)在全空间上的积分为1。,30,n维随机变量 (X1 ,Xn) 的分布函数为F(x1, , xn).则X1 ,Xn的1 k n的边缘分布函数也就确定.例如n
14、维随机变量 (X1 ,Xn)关于X1 和关于(X1,X2)的边缘分布函数为,4。边缘分布,31,* 对二维离散型随机变量有:,于是, (X,Y)关于X 的边缘分布律为:,(X,Y)关于Y的边缘分布律为:,32,连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y) ,由,知, X 是连续型随机变量,其概率密度函数fX(x)为,同样, Y 是连续型随机变量,其概率密度函数fY(y)为,fX(x), fY(y)依次称为 (X,Y)关于X 和关于Y的 边缘概率密度。,33,一般: f(x1, , xn)为(X1 ,Xn)的概率密度函数, 则 (X1 ,Xn)关于X1 和关于(X1,X2)的边缘概率
15、密度为,34,(一)离散型二维随机变量的(X,Y)条件分布,其分布律为: (X,Y)取可能值(xi yj )的概率为 pij =P(X=xi Y=yj) ,(i,j=1,2,),(X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布律为:,5.条件分布,35,(X,Y)是离散型二维随机变量,对于固定的j,若 PY=yj0,则称,定义(一) :,为在 Y=yj 条件下随机变量X的条件分布律。,同样，对于固定的i,若PX=xi0,为在 X=xi 条件下随机变量Y的条件分布律。,36,在条件 Y=y 下 X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)则为,在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数 FX|Y(x|y) 为,(一)
16、对连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 概率密度函数为f(x,y) ,若在点(x,y)处f(x,y)连续, 边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)0,则有,37,类似地可以定义, 在条件 X=x 下 Y 的条件分布函数FY|X(y|x)和条件概率密度fY|X(y|x)为,38,6。随机变量的相互独立性,若对于所有x1, , xn有,则称随机变量X1 ,Xn是相互独立的。,若对于所有x1, , xm ; y1, , yk有,则称随机变量(X1 ,Xm)与(Y1 ,Yk )是相互独立的。,39,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率密度及
17、边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价于“几乎处处成立”,40,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互独立 的条件等价于,对所有可能的取值(xi yj )有 P(X=xi ,Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj) ,(i,j=1,2,),即:,41,7。随机变量的相互独立性定理,设 (X1 ,Xm)与(Y1 ,Yk )是相互独立的。 则1.Xi与Yj相互独立,i=1,m;j=1,k。,2.又若g,h是连续函数, 则g(X1, , Xm )与h(Y1, , Yk)是相互独立的。,42,8。 (两个)随机变量函数的分布,与一个随机变量的函数的分布求法类似，已知二维随机变量(X,Y)的分布，可以求出其函数 Z=g(X,Y)的分布：记 G 为不等式g(x,y)z所确定的x和y的范围，则,于是，如果(X,Y)为连续型的且概率密度为 ，则,又若Z=g(X,Y)也是连续型的，则,43,如果 (X,Y) 是离散型的且分布律为,此时，Z=g(X,Y) 也是离散型的，设其可能值为,则其分布律,44,概率论与数理统计,(复习一)结束,