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1、第二章,随机变量及其分布,一、随机变量的一般概念,2.1 随机变量及其分布函数,定义1:,二、随机变量的分布函数,定义2:,例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球， 求取出的三个球中的白球数的分布函数,解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。而且由古典概率可算得,于是，X的分布函数为：,例2: 考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到0，1上任一点的可能性相同。求X的分布函数。,当x0时,解 ： 由几何概率的计算不难求出X的分布函数,所以：,证明：略。,2.2 离散型随机变量及其分布,一、离散型随机
2、变量及其分布律,分布律常用表格形式表示如下：,设X是一随机变量，如果X所有 的可能取值为 有限个或可列个，则称X为离散型随机变量， 这时X所有取值可写成 一列：x1，x2 ，xi ，,定义,定义,分布律的两条 基本性质：,（）确定常数a的值 （）求的分布函数,因此,解：（）由分布律的性质知,（2）由分布函数计算公式易得的分布函数为：,二 、 几种重要的离散型分布,其中0p1，则称X服从两点分布，亦称X服从（01）分布。简记为X(0-1)分布。,若离散型随机变量X的分布律为,定义,定义,其中0p1,q=1-p, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n,p)。,当n=1时，二项分布化为： P
3、X=k=pkq1-k (k=0,1 q=1p),假设A在每次试验中出现的概率为p，将试验独立 重复做n次, 称为n重贝努里试验。若以X表示n次试验 中A出现的次数。那么X的分布律为：,即X服从二项分布。,（01）分布可用B(1，p)表示。,即为（01）分布。,例4 一位射手连续射击4次，且每次击中目标的概率 p=0.75，且各次射击相互独立。以X表示击中目标的 次数，求（1）X的分布律；（2）恰好击中3次的概率； （3）至少击中2次的概率。,在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，可以采用近似计算。下面给出近似公式：,3、泊松(Poisson)分布,上式给出的概率满足：pk=PX=k 0
4、, 且,定义7,泊松分布：描述稀有事件发生的概率。,例5 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫 的次数X服从参数为（1/2)t的泊松分布，而与时间 间隔的起点无关（时间以小时计）。 （1）求某天中午12时至下午3时没有收到紧急呼叫的 概率； （2）求某天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼叫的 概率。,（泊松逼近定理）设XB(n, p)，又设np= （0是常数），则有,证明,定理,定理的条件np=，意味着n很大时候 p必定很小。 因此当n很大，p很小时有近似公式,其中=np。,在实际计算中，当 时用 （=np） 作为 的近似值效果很好。 而当 时效果更佳。,的值有表可查。,例： 有同
5、类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？,查表可知，满足上式最小的N是8。 至少需配备8个工人才能满足要求。,解： 设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知 XB(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：PXN0.01 （=np=3）,2.3 连续随机变量及其分布,一、连续型随机变量及其概率密度,（4）若x为f(x)的连续点，则有,概率密度f(x)具有以下 性质：,定义1,由性质（2）知： 介于曲线y=f(x
6、)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。,由性质（3）知： X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。,由性质（4）知： 若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。,(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有,如果x0为f(x)的连续点，有,f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。,（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点
7、a的概率 为零，事实上,两点说明,在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有,事件X=a 并非不可能事件,求：（1）常数a；（2） （3）X的分布函数 F(x),（1）由概率密度的性质可知,所以 a1/2,例1：设随机变量X具有概率密度,解：,则称X服从区间a,b上的均匀分布，记为XU(a,b)，,定义2,二、几种重要的连续型分布,1、 均匀分布,若连续型随机变量X的概率密度函数为,X的分布函数为 ：,概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示,若连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为的指数分布。,2 、指数分布,定义3
8、,X的分布函数为,f(x)和F(x)可用图形表示,利用 可以证明 ，,3 、正态分布,X的分布函数为,则称X服从参数为 的正态分布， 记为XN（ ）,定义4,（1） 最大值在 x=处，最大值为 ;,（3）曲线 y=f(x)在 处有拐点；,正态分布的密度函数f(x)的几何特征：,（2） 曲线 y=f(x)关于直线 x= 对称，于是对于任意 h0，有 ；,（4）当 时，曲线 y=f(x)以 x 轴为渐近线 。,当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故 又称为位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。,越小，X落在附近的概率越大。,参数 =0，=
9、1的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用 和 表示，即,和 的图形如图所示。,由正态密度函数的几何特性易知,因此，对于任意的实数a,b(ab)，有,函数 写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。,一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布的分布函数表达。若X , X的分布函数F(x)有,性质 若 ，则 。,证明：令 ，则要证明,由分布函数定义，有,故， ,例3：设， ，求（1）PX3.5 ; (2) PX- 4; (3) PX3。,例4：某工厂生产的某种元件寿命X（小时）服从参数 为 的正态分布。若要求 P120X200 0.80
10、， 允许 最大为多少？,2.4 随机变量函数的分布,设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么Y也是离散型随机变量。,一、离散型随机变量函数的分布,定义： 设X是一个随机变量，y=g(x)为一个连续函数， 令Y=g(X)，则称Y为随机变量X的函数，它也是一个随机变量。,定义1,由上表易得Y的 分布律,设X为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为了求出Y的概率密度fY(y)，有两个步骤：,二、连续型随机变量函数的分布,这种方法称之为分布函数法。,（1）可以先求出Y的分布函数FY(y)和X的分布函数 FX(x)的关系式；,（2）两边求导，可以得到Y的密度函数fY(y)和X的密度 函数fX(x)的关系式；,（3）将X的密度函数fX(x)代入，就得到Y的密度函数 fX(x)。,例1：设 ，求 的概率密度 。,例2：设随机变量 在区间 服从均匀分布，求 的概率密度 。,Thank you!,