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1、4.2 平面向量的坐标运算 基础知识 自主学习 要点梳理 1.两个向量的夹角 （1）定义 已知两个 向量a和b,作OA=a，OB=b，则 AOB= 叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向 时，夹角= ;a与b反向时，夹角= . 非零 0180 0180 (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直，记 作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理 定理：如果e1,e2是同一平面内两个 的 向 量，那么对于这一平面内的任一向量a, 一对实数1,2,使a= . 其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组 . 90 ab 不
2、共线 有且只有 1e1+2e2 基底 (2)平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2 e2的形式，我们称它为向量a的分解. 当e1,e2所在直 线 时，就称为向量a的正交分解. (3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面上的 向量a,有且只有一对有序实数x,y,使a=xi+yj, 把有 序数对 称为向量a的（直角）坐标，记作a= ，其中 叫a在x轴上的坐标， 叫a在y轴上 的坐标. 互相垂直 (x,y) (x,y)yx 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是终 点A的坐标，即若OA
3、= ，则A点坐标为 ,反之亦成立.（O是坐标原点） 3.平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算 （2）向量坐标的求法 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=(x2- x1, y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐 标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1), b=(x2, y2), 其中b0,则a与b共线 a= . (x,y) (x,y) 终点 始点 b x1y2-x2y1 =0 基础自测 1.（2010镇江调研）若向量a=(1,1)， b=(1,-1),c=(-2,1),则c= （用a,b表 示）. 解析 设c=xa+yb,则 （-2，1）
4、=x（1，1）+y（1,-1）=(x+y,x-y), c= . 2.（2008安徽理）在平行四边形ABCD中，AC为 一条对角线，若AB=（2，4）,AC=（1，3）,则 BD= . 解析 如图所示，AD=BC=AC-AB=(-1,-1)， 所以BD=AD-AB=（-3，-5）. （-3，-5） 3.设a= b= 且ab，则锐角 x 为 . 解析 a= b= 且ab, sin xcos x- =0,即 sin 2x- =0, sin 2x=1.又x为锐角，2x= ,x= . 4.（2009湖北改编）若向量a=(1,1),b=(-1,1), c= （4，2），则c= . 解析 设c=a+b=（-
5、,+）=(4,2) -=4, =3 +=2, =-1 c=3a-b. 3a-b 典型例题 深度剖析 【例1】如图，P是ABC内一点，且满 足条件AP+2BP+3CP=0，设Q为CP 的延长线与AB的交点，令CP=p，试 用p表示CQ. 选选取BQ，QP两不共线线向量作基底， 运 用化归归思想，最终变终变 成xe1+ye2=0的形式求解 ， 其中把题题中向量用基底表示是关键键. 解 AP=AQ+QP，BP=BQ+QP， （AQ+QP）+2（BQ+QP）+3CP=0， AQ+3QP+2BQ+3CP=0， 分析 又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， AQ=BQ，CP=QP， BQ+3QP+2B
6、Q+3QP=0， （+2）BQ+(3+3)QP=0. 而BQ，QP为不共线向量， +2=0, 3+3=0, =-2,=-1. CP=-QP=PQ. 故CQ=CP+PQ=2CP=2p. 跟踪练习1 设两个非零向量e1和e2不共线. 如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2， 求证：A、C、D三点共线； 证明 AB=e1-e2，BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, AC=AB+BC=4e1+e2=- （-8e1-2e2） =- CD, AC与CD共线， 又AC与CD有公共点C，A、C、D三点共 线. 【例2】（2009广东改编）已知平面向量a= （x,1）,b=
7、（-x,x2），则向量a+b平行于 . 解析 a=(x,1),b=(-x,x2),a+b=(0,x2+1). 由1+x20及向量的性质知a+b平行于y轴. y轴 跟踪练习2 （2009宁夏海南改编）已知a=(-3, 2),b=(-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数 的值为 . 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3-1,2), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（a+b）(a-2b),知4+3+1=0. =- 【例3】已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a -b, 且uv，求实数x的值. 两个向量共线线的充要条件在解题
8、题中具 有 重要的应应用，一般地，如果已知两向量共线线， 求某些参数的值值，则则利用“若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0”比较简较简 捷. 解 因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因为uv，所以3(2x+1)-4(2-x)=0, 即10x=5,解得x= . 分析 跟踪练习3 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1, 2),c=(4,1).回答下列问题： （1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k; (2
9、)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求 d. 解 （1）（a+kc）（2b-a）， 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, k=- . （2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)(a+b)且|d-c|=1, 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1, 【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、 C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四 边形的第四个顶点D的坐标. “以A、B、C为顶为顶 点的平行四边边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）
10、ADBC； （3）ABDC. 解题示范 解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y), 分析 D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.4分 （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2）， 即(x-1,y)=(1,4). 解得x=2,y=4. D点坐标为（2，4）（如图中的D2）. 8分 （3）若是ABDC，则由AB=CD得 （0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2). 解得x=-2,y=0
11、. D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）. 12 分 综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第 四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或 （-2，0）. 14分 跟踪练习4 已知点A（-1，2），B（2，8）以 及AC= AB，DA=- BA，求点C、D的坐标 和向量CD的坐标. 解 设点C、D的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2), 由题意得AC=（x1+1,y1-2）,AB=(3,6), DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). 因为AC= AB,DA=- BA, 所以点C、D的坐标分别是（0,4）,（-2,0）, 因此CD=（-2，-4）. 思想方法 感悟提
12、高 高考动态展望 平面向量的坐标运算法则是运算的关键，也是历 年高考考查的一个重点内容.平面向量的坐标运算 可将几何问题转化为代数问题，运用它可以解决 平面几何（如解三角形）、三角函数和解析几何 中的一些问题，突出对数形结合思想的考查. 方法规律总结 1.坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形 结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系. 2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题. 在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内 分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有 ： AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P1（x1,y
13、1）,P2(x2,y2),则P1P2的 中点P的坐标为 ABC中,若A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）, 则 ABC的重心G的坐标为 定时检测 一、填空题 1.（2009天津汉沽一中模拟）已知平面向量a= （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= . 解析 (-1,2) 2.(2010湖南衡阳四校联考)已知向量a=(2,3), b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则 . 解析 ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n, 3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 由于ma+nb与a-2b共线，则有 n-2m=12m+8n
14、， 3.(2009宁夏、海南改编)已知a=(-3,2),b= (-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数的值 为 . 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3-1,2), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（a+b）(a-2b) 知4+3+1=0. = 4.（2009湖北理改编）已知P=a|a=(1,0)+ m(0,1),mR，Q=b|b=(1,1)+n(- 1,1),nR 是两个向量集合，则PQ= . 解析 P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR =a|a=(1,m),Q=b|b=(1-n,1+n),nR, a=b=(1,1), PQ=(1,
15、1). (1,1) 5.（2009山东潍坊一模）已知向量a= b=（x，1）,其中x0,若（a-2b）（2a+b）, 则x的值为 . 解析 a-2b=(8-2x, x- 2),2a+b=(16+x,x+1), 由已知（a-2b）(2a+b),显然2a+b0， 故有（8-2x, x-2）=(16+x,x+1) 8-2x=(16+x) x-2=(x+1)， 解得x=4(x0). 4 即 6.（2010泰州模拟）已知向量 a=(2,4),b=(1,1), 若向量b(a+b)，则实数的值是 . 解析 a+b=(2,4)+(1,1)=(2+,4+). b(a+b),b(a+b)=0, 即(1,1)（2+
16、,4+）=2+4+=6+2=0, =-3. -3 7.（2008辽宁文）已知四边形ABCD的顶点 A （0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且 BC= 2AD，则顶点D的坐标为 . 解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),AD=(x,y-2),BC=2AD, (4,3)=(2x,2y-4).x=2,y= . 8.（2009辽宁改编）在平面直角坐标系xOy中， 四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知A（ -2, 0）,B（6,8）,C（8,6）则D点的坐标为 . 解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC=
17、 AD, 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2, D(0,-2). (0,-2) 9.（2009浙江改编）已知向量a=（1，2）， b=(2,-3).若向量c满足（c+a）b,c(a+b), 则c= . 解析 设c=（x,y）,则c+a=(x+1,y+2), 又（c+a）b,2(y+2)+3(x+1)=0. 又c（a+b）,(x,y)（3，-1）=3x- y=0. 解得x= ,y= 二、解答题 10.（2009江苏金陵中学三模）已知A（-2，4）、 B（3,-1）、C（-3,-4）且CM=3CA,CN=2CB, 求点M、N及MN的坐标. 解 A（-2,4）、B（3,-1）、C（
18、-3,-4）, CA=（1，8），CB=（6，3）， CM=3CA=（3，24），CN=2CB=（12，6). 设M（x，y），则有CM=（x+3，y+4）， x+3=3 x=0 y+4=24， y=20, M点的坐标为（0，20）. 同理可求得N点坐标为（9，2），因此 MN=（9，-18）， 故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、 （9，2）， MN的坐标为（9，-18）. 11.（2010江苏丹阳高级中学一模）已知A （-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）. 设 AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=-2b， （1）求3a+b-3c； （2）求满足a=mb+nc的实
19、数m，n. 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). （2）mb+nc=（-6m+n，-3m+8n）， -6m+n=5 m=-1 -3m+8n=-5 n=-1 ，解得 . 12.（2010山东济宁模拟）在ABCD中， A（1，1），AB=（6，0），点M是线段AB的 中 点，线段CM与BD交于点P. （1）若AD=（3，5），求点C的坐标； （2）当|AB|=|AD|时，求点P的轨迹. 解 （1）设点C的坐标为（x0，y0）, 又AC=AD+AB
20、=（3，5）+（6，0）=（9，5）, 即（x0-1,y0-1）=（9，5）， x0=10，y0=6，即点C（10，6）. （2）由三角形相似，不难得出PC=2MP 设P（x,y），则 BP=AP-AB=（x-1，y-1）-（6，0） =（x-7，y-1）, AC=AM+MC= AB+3MP= AB+3（AP- AB ） =3AP-AB=（3（x-1），3（y-1）-（6，0） =（3x-9，3y-3）， |AB|=|AD|，ABCD为菱形，ACBD. ACBP，即（x-7，y-1）（3x-9，3y-3） =0. 即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0， x2+y2-10x-2y+22=0（y1）. （x-5）2+（y-1）2=4（y1）. 故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆 去掉与直线y=1的两个交点. 返回