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1、一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 4.3协方差与相关系数 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的 概率特性外, 相互之间还有某种联系,问题是用 一个怎样的数去反映这种联系. 问题的提出 协方差 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 1. 定义 一 .协方差和相关系数的定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 若称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量 2. 说明 3. 协方差的计算公式 法1.若 ( X ,Y ) 为离散型，已知pij 若 ( X ,Y ) 为连续型，已知f(x,y) 法2. 4. 性质 求cov (X
2、,Y ) XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 解 例2 设 ( X ,Y ) ，求XY 结论 即X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 解 例3 1. 问题的提出 二、相关系数的意义 解得 2. 相关系数的意义 例4 解 (1) 不相关与相互独立的关系 3. 注意 相互独立 不相关 (2) 不相关的充要条件 4. 相关系数的性质 (1)证： 由柯西一许瓦兹不等式知 所以|XY|1。 意义 |XY|=1当且仅当Y跟X几乎有线性关系。这
3、 说明了相关系数的概率意义。 XY是刻画X，Y之间线性相关程度。 (2)证： 由柯西一许瓦兹不等式中等号成立（ ） 充要条件知 练习 设 ( X ,Y ) N ( 1,1; 4,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ 解 写为矩阵的形式： 称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵。 (1)二维随机向量的协方差矩阵 二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩(设他们存在) ，分别记为 三.协方差矩阵 (2)推广 定义 设X=(X1,X2,Xn) 为n维随机向量,并记 i=E(Xi)， 则称=(1,2,n)为向量X的数学期望 或均值，称矩阵 为向量X的协方差矩阵。 例6: 设(X,Y)
4、N(1, 2,12,22,),求向量(X，Y) 的均值与协方差矩阵。 解: E(X)=1，E(Y)=2， 所以(X，Y)的均值为=(1,2) (X，Y)协方差矩阵为 3. 协方差矩阵的性质 (1)协方差矩阵对角线上的元素Cii为Xi的方差即Cii=D(Xi) i=1，2，n； (2)协方差矩阵C为对称矩阵,即Cij=Cji ,i，j=1，2，n ； (3)C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=(t1，t2， tn),有tCt0；证：性质(1)，(2)显然，只证(3) 4多维正态分布及其性质 二维正态随机向量X=(X1，X2) 的概率密度为 引入下面记号 经运算可得 于是X=(X1，X2) 的概率
5、密度可写成 上式推广至n维正态分布的情况，于是有以下定义： (1)定义 若n维随机向量X=(X1，Xn)的概率密度为 其中X=(X1，Xn),=(1，2，n) 为n维实向量，C为n阶正定对称矩阵，则称向量 X=(X1，Xn)服从n维正态分布，记为XN(,C) . 对于n维正态分布XN(,C) ，X的期望为，X的协方差矩阵 为C。 (2) 性质 （P179页） n维正态分布具有下述性质： 1)n维随机向量(X1，Xn)服从n维正态分布充要条件是X1 ，Xn的任意线性组合l1X1+l2X2+lnXn(l1,l2,ln是不 全为0的数)服从一维正态分布。 2)若X=(X1,Xn)N(,C)，设Y=(
6、Y1,Y2,Ym)=AX,即Yi 为Xj (j=1，2，n)的线性函数,i=1，2，m，则Y N(A，ACA)，其中A为m行n列且秩为m的矩阵。 3)设(X1，Xn)服从n维正态分布，则“X1，Xn相 互独立”与“X1，Xn两两不相关”是等价的。 例7: 设XN（0，1），YN(0，1 ),若X与Y相互独立， 求E(|X-Y|)。 于是 解: 令Z=X-Y，问题化为求E(|Z|)，为求E(|Z|),我们先 求出Z的概率密度. 由于(X，Y)服从二维正态分布，由性质1)知Z服从一维正态分布 ， 而E(Z)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0，D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=2 ，故
7、ZN（0，2），即Z的概率密度为 例8: 设 ,问X与Z是 否独立? 解: 由于 由性质2)知(X，Z)服从二维正态分布，再由性质3)知 判断X与Z是否独立等价于判断X与Z是否不相关。 D(X)=32， D(Y)=42，XY=-1/2, 于是XZ=0所以X与Z不相关，由此可得X与Z相互独立。 小结： 1.结论1：X与Y相互独立 XY=0 X与Y不相关； 反之，XY=0 不能推出X与Y相互独立。 结论2：对任意X与Y，以下结论等价 XY=0 Cov(X，Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 结论3：若(X，Y)N(1, 2 ,12, 22,)，则X与Y 相互独立 XY=0 X与Y不相关。 2.由于正态分布在概率论中有其特殊地位，因此 对多维正态分布的性质及其应用要较好地掌握。