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1、10.3 组 合（一） 组合与组合数,普通高级中学教科书（必修）第二册（下B） 第九章：直线、平面、简单几何体,（1）从1、2、3、4、5中任取出2个数作除法，有多少个不同的结果。,（2）从1、2、3、4、5中任取出2个数作乘法，有多少个不同的结果。,（3）北京、上海、成都之间需要修建几条铁路,（4）北京、上海、成都之间需要多少种火车票,（5）集合A=1,2,3,4含3的子集的个数,（6）从10位同学中选出两人进行乒乓球比赛,（7）从圆上8个点中选出2个点，可得多少条有向线段,（8）从圆上8个点中选出3个点，可得到多少个三角形,（2）从1、2、3、4、5中任取出2个数作乘法，有多少个不同的结果
2、。,（3）北京、上海、成都之间需要修建几条铁路,（5）集合A=1,2,3,4含3的子集的个数,（6）从10位同学中选出两人进行乒乓球比赛,（8）从圆上8个点中选出3个点，可得到多少个三角形,共同点：从n个不同元素中取出m个元素，取出的m个元素与顺序没有关系,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,二、组合定义:,定 义,计 数,区 别,取出的元素与顺序没有关系,取出的元素与顺序有关系,三、排列和组合的联系和区别:,想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,问题2 （1）从a、b
3、、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排列？,abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb,问题2 （2）从a、b、c、d这四个字母中，取出3个字母组成一组，共有多少种不同的组合？,组合,排列,abc bac cab acb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,问题2 （1）从a、b、c、d 这四个字母
4、中，取出3 个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排列？,“先选后排”,四、组合数公式,根据分步计数原理，得到：,上面的公式还可以写成,例1 计算：（1） （2）,四、组合数公式,例2 求证： ,分析：从a、b、c、d四个不同元素中，每次取出3个元素的组合与每次取出1个元素的组合为,一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数.,性质1,证明：,解：,2 、 解方程：,解：原方程为, 2xx4 或 2x21- x,解得：x
5、4 或 x7,经检验x4，x7都是原方程的根。,练习、1（1）从200人中选出198人参加升旗仪式； （2）从99人中选出96人或97人参加数学竞赛,再看下面的问题：,从 ；这nl个不同元素中，每次取出m个元素,（1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？,从n1元素中取出m个元素的组合有 个，,分 析：,第一类：其中含有a1的有 个，,第二类：不含a1的有 个,根据分类计数原理，得,证明：,例3: 求证：,证明：,例4: 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 （1）从口袋
6、内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？,说明：(2)+(3)=(1),解：,例5: 在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这 100件产品中任意抽出3件 （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？,解：,（3）按A、B的选取情况进行分类： A、B全不选的方法 数为 、选1人的方法数为 ,共有选法:,例7: 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ （1）
7、A、B必须当选； （2） A、B都不当选； （3） A、B不全当选； （4）至少有2名女生当选； （5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,解答 ：(4) 方法一：按女同学的选取情况分类：,选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学,所有选法数为：,(种),方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为：,(种),例8: 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ （1）A、B必须当选； （2） A、B都不当选； （3） A、B不全当选； （4）至少有2名女生当选； （5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,解：（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委,用分步计数原理可得到所有方法总数为：,（种）,例8: 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ （1）A、B必须当选； （2） A、B都不当选； （3） A、B不全当选； （4）至少有2名女生当选； （5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任,