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1、第三章 多维随机变量及其分布,一. 边缘分布 二.独立性 三. 条件分布,1 二维随机变量的分布,(p52) n个随机变量X1,X2,Xn构成的n维随机向量(X1,X2,Xn),称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标。 二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标。 n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标。,几何意义：分布函数F(x0,y0) 表示随机点(X,Y)落在区域 (x,y)|-xx0, -yy0 中的概率。如图阴影部分：,(p52)设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy 为(X, Y)的分布函数，或称为X, Y的联合
2、分布函数。,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1Yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),EX,G,已知随机变量(X,Y)的分布函数F (x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率.,答:,且,(1) 归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,分布函数F(x,y)具有如下性质：(p53),(2) 单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x
3、R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2).,(3) 右连续 对任意xR, yR,(4) 矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。,例1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1) 求常数A，B，C。 2) 求P0X2,0Y3,解:,二维离散型随机变量(p54),(P52) 若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值 (xi,yj), (i,
4、j1, 2, )，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。,(P54)若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称PXxi,Yyjpij,(i,j1,2,) ，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为X,Y的联合分布律.可记为： (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, ),X Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),x1 x2 xi,二维离散型随机变量的分布律也
5、可列表表示如下:,P54,例2 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次,令, 求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,二维连续型随机变量(p55),对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可积函数f (x, y)，使对(x, y)R2，其分布函数,则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合概率密度，可记为 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2,(1) 非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2) 归一性：,反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y),必是某个二维连续型随机变量的概率密度。
6、,(3) 若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有,联合密度f(x,y)的性质(p55),(4) 对于任意平面区域G R2,EX,设,求: PXY,G,1,1,x,y,求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3)(X,Y)落在三角形区域D:x0,y0,2x+3y6的概率.,例3 设,解：(1) 由归一性,(3) (X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2x+3y6 内的概率。,解:,x,易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布,对D内任意区域G，有,两个常用的二维连续型分布(p59),若二维随机变量(X, Y)的密度函数为,则称(X, Y)在区域D上(内) 服从二维均匀分布
7、。,例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求PY2X ； (3)求F(0.5,0.5),解:,二维正态分布(P59),求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,解: PX0=0,EX,FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。,2 边缘分布,一、边缘分布函数(p56),解：,若随机变量X与Y的联合分布律为
8、(X, Y) PXxi, Y yj pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；,PY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。,二、边缘分布律(p57),解： XY 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j,故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,2/5,3/5,2/5,3/5,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称,为(X, Y)关于X
9、的边缘密度函数； 同理，称,易知, 若(X,Y)N(1, 2, 12, 22, ), 则XN(1, 12)，YN(2, 22)，即二维正态分布的边缘分布也是正态分布。 P(59),三、边缘密度函数(p58),解:(1) 由归一性,例3 设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,x=y,x=-y,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度。,EX,3 随机变量的独立性,定义： 设F(x,y),FX(x), FY(y)分别是（X,Y)的联合分布函数，边缘分布函数。若对于任意x, y有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X与
10、Y相互独立。P(61),定理(p61) 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理(p61) 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=PiPj 。,EX：判断2中例1、例2、例3的X与Y是否相互独立。,例2 甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟,过时不候。求两人能见面的概率。,对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， (x1, x2, , xn) Rn F(x1, x2,
11、 , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) 称为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量(X1, X2, , Xn )的联合分布函数。,n维随机变量的边缘分布与独立性(p62),定义 设n维随机变量(X1 , X2,Xn)的分布函数为 F(x1,x2,xn), (X1 , X2,Xn)的 k（1kn)维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边缘分布函数为 FX1,X2(x1,x2 )=F(x1,x2,+,+,+) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk), k=1,2,n,则称X1,X2,Xn 相互独立。,定义. 若(X1,X2,.Xn)的全部可
12、能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.,Xn)为n维离散型的，称 PX1=x1,X2=x2,.,Xn=xn,(x1,x2,.,xn)Rn 为n维随机变量(X1,X2,，Xn)的联合分布律。,定义. 对于n维随机变量(X1,X2,Xn)，如果 存在非负的n元函数f(x1,x2,xn)使对任意 的n元立方体,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,Xn)的概率密度。,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, i2, , in及实数 有,则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。,设X1，X2，Xn为n 个连续型随机
13、变量，若对任意的(x1, x2, , xn)Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn) 则称X1，X2，Xn相互独立。,定义 设n维随机变量(X1 , X2,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,.xn)；m维随机变量(Y1 , Y2,Ym)的分布函数为FY(y1,y2,ym), X1,X2,Xn ,Y1,Y2,Ym 组成的n+m维随机变量（X1 , X2,Xn ,Y1 , Y2,Ym)的分布函数为 F(x1,x2,xn, y1 , y2,ym). 如果 F(x1,x2,xn, y1,y2,ym)= FX(x1,x2,xn) FY(y1,y2,ym) 则称
14、n维随机变量(X1,X2,Xn)与m维随机变量 (Y1,Y2,Ym)独立。,定理 设(X1,X2, Xn )与(Y1, Y2,Ym )相互独立，则Xi (i=1, 2, , n)与Yj (j=1, 2, , m)相互独立；又若h, g是连续函数，则 h(X1,X2, , Xn)与g(Y1, Y2, Ym )相互独立.,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )， 则，X和Y的边缘分布律分别为,4 条件分布,一、 离散型随机变量的条件分布律P(49),为Y yj的条件下，X的条件分布律;(P63),若对固定的j, p.j0, 则称,同理
15、，对固定的i, pi. 0, 称,为X xi的条件下，Y的条件分布律; (P63),例1 设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.,可证当 时,二、 连续型随机变量的条件概率密度P(65),给定y，设对任意固定的正数0，极限,存在，则称此极限为在Y=y条件下X的条件分布函数. 记作,若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则当 时，,类似定义，当 时,解: (1),当|x|1时,(2),5 两个随机变量函数的分布,一、二维离散型随机变量函数的分布律P(67),0,1,1,2,0,1,
16、1,1,0,0,0,1,V,W,0 1,0 1 2,0,0,0,二、多个连续型随机变量函数的密度函数P(69),1、一般的方法：分布函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布函数:,然后再求出Y的密度函数:,已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。,y x+y=z x+y z,若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数,2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 P(69),例2. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从 N(
17、0，2）分布。,p58,p58,一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则,例3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解: 设卡车装n袋水泥, Xi为第i袋水泥的重量. 则,由题意, 令,查表得,(2) 极大(小)值的分布,设X1, X2, , Xn相互独立，其分布函数分别 为F1(x1), F2(x2) , , Fn(xn)，记 MmaxX1, X2, , Xn , NminX1, X2, , Xn 则，M和N的分布函数分别为：,FM(z)F1(z) Fn(z),特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 进一步地，若X1, X2, , Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z).,例4 (P73) 设系统L由两个相互独立的子系统联结而成，联结的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1, L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为,其中0，0, 试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度,小结,