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1、1,机械优化设计总复习,2,第一章 机械优化设计的基本概念和理论,机械优化设计过程包括： (1) 将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2) 选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。,3,建立最优化问题数学模型的三要素： （1）设计变量和参数。 设计变量是由数学模型的解确定的未知数。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。,4,1、设计变量,设计变量的数目确定了优化设计的维数，如n个
2、设计变量，则称为n维设计问题,2 约束条件的分类 （1）根据约束的性质分 边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即,i 1,2, ，n,性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。,5,（2）根据约束条件的形式分 不等式约束,u=1,2, ，m,等式约束,v = 1，2， ，p n,可行域 :在设计空间中满足所有约束条件的设计点的集合,6,六 优化设计的数学模型 （一）优化设计的标准数学模型,必要时对数学模型进行规范化，,7,8,1. 等值线（面）：是表征目标函数的特性，在每一条曲线（面）的各点上，目标函数值相等。,2. 优化设计问题的基本解法包括： 解析解法 图解法
3、数值解法,9,第二章 优化设计的数学基础,多元函数的梯度,10,解：,11,2、二元函数,二元函数 在 点处的泰勒展开式为：,12,用泰勒展开将函数 在点 展开为二次函数。 解：函数在点 的函数值、梯度和二阶导数矩阵：,13,14,3、无约束优化问题取得极值的条件,即在极值点处函数的梯度为n维零向量。,1）.F(x)在 处取得极值，其必要条件是:,15,2. 处取得极值充分条件,海色（Hessian）矩阵 正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。,16,4、凸规划,对于约束优化问题,若,都为凸函数， 则称此问题为凸规划。,17,六、不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件,对于多元函数不
4、等式的约束优化取得极值的条件：,18,K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。,对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。,19,优化问题的几何描述,起作用约束。,20,第三章 一维搜索,1、确定搜索区间的外推法/进退法,在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极小点）的函数称为单谷函数，其区间称为单谷区间。,在a，x1， x2， b 如何消去子区间？ f (x1) f (x2) ，消去a， x1，保留x1， b,2.黄金分割法 要求
5、插入点 的位置相对于区间,两端点具有对称性。,x2,x1=a+(1-)(b-a),21,例 用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，设初始区间为 （0,2），计算精度为0.8,解： 第一轮计算：区间(a,b)=(0,2) x1=0+0.382X(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72 f10.8,22,极小点与极小值分别为： x*=0.5X(0.472+1.236)=0.854 f(x*)=0.4525,第二轮计算： 令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382X(1.236-0)=
6、0.472, f1=0.317 f1f2, 故新区间a,b=x1,b=0.472, 1.236 b-a=1.236-0.472=0.7640.8, 满足控制精度。,23,用阻尼,第四章 无约束优化设计方法,d (0),24,d,25,例 用基本的鲍威尔法求目标函数 迭代一轮后的的最优解。已知初始点1,1T，迭代精度,解：（1）第1轮迭代计算,取单位向量e1， e2为搜索方向组,26,得,沿e1方向搜索,沿e2方向搜索,27,28,沿 d1方向一维搜索得极小点和极小值,下一轮计算的新方向组为e2, d1,一轮迭代后的最优点和最优值为,29,1、数学模型,求解上式的方法称为约束优化方法,第五章 约
7、束优化设计方法,30,2、求解方法,（1）直接解法：将迭代点限制在可行域内（可行性），步步降低目标函数值（下降性），直至到达最优点。如随机方向法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法。,根据求解方式不同，约束优化设计问题可分为直接解法和间接解法。,（2）间接解法：通过变换，将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。如惩罚函数法、增广乘子法等。,可行性：,下降性：,31,（1）内点惩罚函数法（内点法）,转化后的惩罚函数形式为,或,对于只具有不等式约束的优化问题,是惩罚因子，它是由大到小，且趋近于0的数列，即,32,二 外点 惩罚函数法,外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,外点惩罚函数的形式为：,r是惩罚因子 ,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x 不可行时，惩罚项的值大于0。,