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1、2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之一第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，
2、分别表示有理数集和正实数集。定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。定义6 差集，。定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1） （2）；（3） （4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。（1）若，则，且或，所以或，即；反之，则或，即且或，即且，即（3）若，
3、则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则证明（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。2利用子集的定义证明集合相
4、等，先证，再证，则A=B。例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足，求集合M（用A，B表示）。【解】先证，若，因为，所以，所以； 再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，3分类讨论思想的应用。例3 ，若，求【解】依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。4计数原理的应用。例4 集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310
5、种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。5配对方法。例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集
6、中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。6竞赛常用方法与例问题。定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即定义8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】 记，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的数有个。例7 S是集合1，2，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4
7、或7，问S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=18211+2，所以S一共至多含有1825+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。例8 求所有自然数，使得存在实数满足：【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考虑，有或，即，设，
8、则，导致矛盾，故只有考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。（）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。例9 设A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。【解】 设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合1，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所
9、以20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n
10、可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数【解】 设其中第个三元集为则1+2+所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为5。三、基础训练题1给定三元集合，则实数的取值范围是_。2若集合中只有一个元素，则=_。3集合的非空真子集有_个。4已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=_。5已知，且，则常数的取值范围是_。6若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有_个。7集合之间的关系是_。8若集合，其中，且，若，则A中元素之和是_。9集合，且，则满足条件的值
11、构成的集合为_。10集合，则_。11已知S是由实数构成的集合，且满足1）若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。12已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。四、高考水平训练题1已知集合，且A=B，则_，_。2，则_。3已知集合，当时，实数的取值范围是_。4若实数为常数，且_。5集合，若，则_。6集合，则中的最小元素是_。7集合，且A=B，则_。8已知集合，且，则的取值范围是_。9设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。10集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。11判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，
12、若对任何，都有，则必有，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1已知集合，则实数的取值范围是_。2集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，则实数_。4已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则_。5集合，集合，则集合M与N的关系是_。6设集合，集合A满足：，且当时，则A中元素最多有_个。7非空集合，则使成立的所有的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是_。9已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素
13、乘积等于B的元素和。11S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，则。求证：中必有两个相等。2求证：集合1，2，1989可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不
14、同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。5设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7设集合S=1，2，50，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。8集合，试作出X的三元子集族&，满足：（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。9设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十八第十八章 组合一、方法与
15、例题1抽屉原理。例1 设整数n4,a1,a2,an是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合a1,a2,an的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。证明 （1）若na1,a2,an,则n个不同的数属于n-1个集合1,2n-1，2,2n-2,n-1,n+1。由抽屉原理知其中必存在两个数ai,aj(ij)属于同一集合，从而ai+aj=2n被2n整除；（2）若na1,a2,an，不妨设an=n，从a1,a2,an-1(n-13)中任意取3个数ai, aj, ak(ai,aj0)不被n整除，考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+an-1。）若这n个数中有一个被n整除
16、，设此数等于kn，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上an=n知结论成立。）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为ai, aj, ak-1中若干个数之和，同）可知结论成立。2极端原理。例2 在nn的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。证明：表中所有数之和不小于。证明 计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k
17、个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k23.不变量原理。俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。例3 设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。证明 设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。例4 数a1, a2,
18、an中每一个是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+ana1a2a3=0. 证明：4|n.证明 如果把a1, a2,an中任意一个ai换成-ai，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S=0，即S0，即S0(mod4)。经有限次变号可将每个ai都变成1，而始终有S0(mod4)，从而有n0(mod4)，所以4|n。4构造法。例5 是否存在一个无穷正整数数列a1,a2a3，使得对任意整数A，数列中仅有有限个素数。证明 存在。取an=(n!)3即可。当A=0时，an中没有素数；当|A|2时，若n|A|，则an+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A
19、=1时，an1=(n!1)(n!)2n!+1，当3时均为合数。从而当A为整数时，(n!)3+A中只有有限个素数。例6 一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。证明 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数
20、变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。5染色法。例7 能否在55方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？解 不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。例8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。证明 五边形的凸五包
21、是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。7赋值方法。例9 由22的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖57的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。解 将57方格板的每一个小方格内填写数-2和1。如图18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为12(-2)+231=-1，当被覆盖K层时，盖住的数字
22、之和等于-K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。-21-21-21-21111111-21-21-21-21111111-21-21-21-28图论方法。例10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。证明 用点A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）。因为每个顶点的次数3，所以可以找到两条边不相邻，设为A1A2，A3A4。（1）若
23、A5与A6连有一条边，则A1A2，A3A4，A5A6对应的三种双色布满足要求。（2）若A5与A6之间没有边相连，不妨设A5和A1相连，A2与A3相连，若A4和A6相连，则A1A2，A3A4，A5A6对应的双色布满足要求；若A4与A6不相连，则A6与A1相连，A2与A3相连，A1A5，A2A6，A3A4对应的双色布满足要求。综上，命题得证。二、习题精选1药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？（证明或否定）221个女孩和21个男
24、孩参加一次数学竞赛，（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。3求证：存在无穷多个正整数n，使得可将3n个数1, 2, 3n排成数表a1, a2anb1, b2bnc1, c2cn满足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2= an+bn+cn=，且为6的倍数。（2）a1+a2+an= b1+b2+bn= c1+c2+cn=，且为6的倍数。4给定正整数n，已知克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。5空间中有1989个点，其中任何3
25、点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？6在平面给定点A0和n个向量a1，a2，an，且使a1+a2+an =0。这组向量的每一个排列都定义一个点集：A1，A2，An=A0，使得求证：存在一个排列，使由它定义的所有点A1，A2，An-1都在以A0为角顶的某个600角的内部和边上。7设m, n, kN，有4个酒杯，容量分别为m,n,k和m+n+k升，允许进行如下操作：将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时，大杯中装满酒而另3个杯子却空着，问：为使对任何SN，Sm+n+k，都可经过若干次操作，使得某个杯子中恰有S升酒的关于m,n,k的充分必要条件是什么？8设有30个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人。对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白痴既可能回答正确，也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过F，求总可以指出一位聪明人的最大的F。9某班共有30名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分出优劣，没有相同的。问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？