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1、豆丁网精品论文关于Lewy定理与Lewy反例的研究吴小庆(西南石油大学 成都 四川610500）E-mail:wuxiaoqing_摘 要：我们证明了当 f (t ) C1 (I ) , f (t ) H ( I ) 时，存在一个关于 ( x, y, t ) 的 C1函数 u 在原点的某个实心邻域 满足方程(1)。从而Lewy定理的结论“若存在一个关于( x, y, t ) 的 C1 函数 u 在原点的某个邻域满足方程 (1) ，那么 f (t ) 关于 t 在原点附近是解析 的”是不成立的。同时我们证明了Hans Lewy 1 对Lewy方程 (9) “构造 F C ，得到在任何一个邻域 N
2、= N ( p , q , y0 ) 中无 H 1 解”的结论也不成立。j j j 1关键词：Lewy方程；解析；连续开拓引言1957 年 H.Lewy 用反例试图来说明具有 C 系数也并非总是有解的甚至无广义解的例子Hans Lewy 给出的 Lewy 例子是一个著名的反例。这个例子打破了 Cauchy-Kovalevskaya 定理的推论在光滑类仍然成立的希望。而且 Harold Jacobowitz1,2,3找到了大量的相同性质的例子。这个陈述如下：在 R C ，存在一个复值函数 F(t, z) 使得微分方程在任何一个开集上无解。Lewy构造的函数 F 引用如下的结论：假设 u (t,
3、z) 是一个 R C C 函数，且在原点的邻域内满足方程uu= iz= (t )(c)zt其中 是一个一阶导数连续的函数,那么 一定是在某一邻域内是实解析的。当 仅仅是一个光滑函数(不解析)时，方程连广义解都不存在。Lewy 例子得出了方程uu= iz= F(t, z)(b)zt在 R C 上是不可解的结论。证明的方法用到了Baire category 的观点，认为在某一精确意义下，几乎所有这种形式的方程都是不可解的。豆丁网精品论文http:/Lewy 方程不可解的结论是基于 Lewy 定理的结论。我们仔细分析 Lewy 定理及定理的证明思想：H.Lewy的例子是定义在 R3 上的微分算子L
4、= x+ i y 2i( x + iy) t定理（Lewy）：设 f 是仅依赖于 t 的实值连续函数，若存在一个关于 ( x, y, t ) 的 C1 函数u 在原点的某个邻域满足方程Lu = u + i u 2i( x + iy) u = f (t )(1)xyt那么 f (t ) 关于 t 在原点附近是解析的。 我们简述4关于Lewy定理的证明：设u C 1 在集合( x, y, t ) | x2 + y2 2 ,| t | 0) 中满足方程 Lu = f , z = x + iy, ，也可以写成极坐标形式 rei，其中 s = r 2 = x2 + y 2 , = arctan y ，定
5、义xV (t, s) = |z|= ru( x, y, t )dz(2)应用Green公式得到了如下公式：V = i u + i u ( x, y, t )dxdy z r x y = i + i ( cos , sin , t ) d dr 2u u0 0 x y 于是V = i 20 u + i u (r cos , r sin , t )rdt xy = u + i u ( x, y, t)r dzz = r xy zV + i V= f (t ) (3)ts即豆丁网精品论文再令tF (t ) = f ( )d(4)0则U (t, s) 满足：U (t, s) = V (t, s) +
6、F (t )U + i U = 0(5)(6)ts又由U (t, 0) = F (t )(7)得到f (t ) = F (t ) (8)也是解析的。并利用上述结论，Hans Lewy 1 ,对方程( / x) i( / y) + 2i( x + iy)( / t )u = F( x, y, t )(9)构造 F( x, y, t ) C ，得到任何一个邻域 Nj = N ( p j , q j , t0) 中无 H 1 解的结论。构造F ( x, y, t) = c j (t + 2q x 2 p y)(10) j j j jj =1F( x, y, t ) = F ( x, y, t ) C
7、( / x) i( / y) + 2i( x + iy)( / t )u = (t + 2q j x 2 p j y)(11)j在 N 中没有 C 1 解。考虑变换：X = x p j ,其逆变换为：x = X + p j ,Y = y q j ,y = Y + q j ,T = t + 2q j x 2 p j yt = T 2q j X + 2 p jY即有 x = ( X ) + 2q j ( T ) ,将 (11) 式转化成 y = ( Y ) 2 p j ( T ) , t = TLu ( X ) i ( Y ) + 2i( X + iY ) ( T )u = (T )(12)如果
8、(11) 在 N j 中有 C 解，那么在将 N j 中心转化后的邻域 N j 中 (12) 有 C 解，1 1其中心为X = Y = 0,T = T0 = t0 (Pj )但这里表明对于 (T ) 而言，解应该在T0 处解析，这与关于 的假设是相反的。我们来讨论其结论是否成立。符号说明Rm 表示m维实向量的欧几里得空间 ，H () = u | u在解析, Rm 或 E m ,H * (B) = U | U (t, s)在 关于 t + is解析。实心邻域 : = ( x, y, t ) | x2 + y 2 2 , t I , I= t | t | 。去心邻域 * : * = ( x, y,
9、 t ) | 0 x2 + y2 2 , t I 。C (E n )表示E n上的无限次可微复函数全体，E n 表示n维复向量的欧几里得空间4。K 表示E n上的无限次可微且支集有界的复函数全体，K 表示 K 上的线性连续泛函全体4,L()表示上绝对可积的函数全体。D = ( x, y, t ) | ( x, y, t ) R3 , ( x, y, t ) (0, 0, t),D* = ( , , t ) | ( , , t ) E 2 R, ( , , t ) (0, 0, t )。 = (t, s) | s | 2 , | t | ,+ = (t, s) | 0 s 2 , | t | ,
10、 = (t, s) | 2 s 0, | t | ,Lewy方程的Cauchy问题A： u + i u 2i( x + iy) u = F( x, y, t ) xuyt= g ( x, y)（13） t =0主要结果对于Lewy方程的Cauchy问题A，我们由算子级数法获得了其解的表达式8 。下面引入 可逆变换证明如下结论：定理1 若 F C (E 2 R)且 g ( x, y) C (E 2 ) ，则Lewy方程的Cauchy问题A有解 u C (D) ， 且可表为u = g ( x + t, y +t ) +1 t t t F( x +, y +, )d（14）2iz2z 2iz 02i
11、z 2z证明 引入复变换D* D* ( , , t ) D* 6 ( , , t ) D* ) = + = +t2i( +ti )其逆变换t = t2( + i )（15） = = t = t即有t2i( + i )t2( + i )（16） = x + = y +t = t和 x = t2iz t2 zt（17） y = t = t即有2i( + i )t2( + i )（18）u( x, y, t ) = u( t , t , t) W ( , , t )（19）2i( + i ) 2( + i )其中* = ( x, y, t ) | ( x, y) R 2 , | t | I , 0
12、x2 + y 2 。u( x, y, 0) = u( , , 0) = W ( , , 0) = g ( , )（20）W = u (tx12i( + i ) + u (y12( + i ) + ut= (1 ) u + i u + u2i( + i ) xyt= (1 )2i( x + iy) u F( x, y, t ) + u2i( + i ) tt+= u1 F( x, y, t ) + ut2i( + i ) t=1 F( x, y, t )2i( + i )( + i = x + iy)F( x, y, t ) = F( t, t, t ) P( , , t )（21）2i( +
13、i ) 2( + i )W =t12i( + i )P( , , t )（22）Lewy方程的Cauchy问题A有解等价于 W方程（22）的Cauchy问题B t=12i( + i )P( , , t )（23）Wt =0= g ( , )有解。易知Cauchy问题B有解W C (D* ) ，且可表为W ( , , t ) =1tP( , , )d + g ( , )（24）2i( + i ) 0于是Lewy方程的Cauchy问题A有解 u C (D) ，且可表为u( x, y, t ) = W ( , , t ) =1tP( , , )d + g ( , )2i( + i ) 0= g (
14、x + t, y +t ) +1 t t t F( x +, y +, )d （25）2iz2z 2iz 02iz 2z附注1：Lewy方程（9）有解u C (D) ，且可表为u = g ( x + t, y +t ) +1 t t t F( x +, y +, )d ，其中 g ( x, y) 为 C (E 2 ) 中的2iz2z 2iz 02iz 2z任意函数。即我们得到了Lewy方程(9)在 C (D) 中的通解表达式。适当地选取 g ( x, y) 可以消去解 u 在 z = 0 处的奇性，而获得 C (R3 ) 中的解。推论1-1：若 f C (R),且 (s) H (E), s =
15、 x2 + y 2 , ，则Lewy方程(1)的Cauchy问题C Lu = u + i u 2i( x + iy) u =f (t )xyt（26）u t =0= 12iz (s), s = x2 + y2 ,有解 u C (D) , 且可表为u = u1 + u2（27）其中u1 ( x, y, t ) =12iz ( x2 + y 2 it )（28）u ( x, y, t ) = 1tF (t ), F (t ) = f ( )d（29）2 2iz 0定理2：若 F (t ) H (I ),则Lewy方程(1) 在原点的实心邻域 内存在解u C () C1 () ， 且可表为u = 1
16、 F (is + t ) F (t ), s = x2 + y 22iz（30）若 F (t ) H (R),则 u C (R3 ) C1 (R3 ) 。证明 由推论1-1, 任意 H (E),Lewy方程(1)的Cauchy问题C有解u C (D) C1 (D),且可表为 u = u+ u ,其中:k1 2u1 ( x, y, t ) =1 ( x2 + y2 it ) =1 Ak ( x2 + y 2 it )k , A= ( k ) (0)(31)2iz2iz k =0 k !u ( x, y, t ) =1 Ak ( x2 + y 2 it )k + A+ A ( x2 + y 2 i
17、t )12izk0 1k !k = 2= 1 AkC p ( x2 + y2 )k p (it ) p + A+ A ( x2 + y 2 it )2iz k 0 1k !k = 2 p =0= 1 Akkk !C p ( x2 + y2 )k p (it ) p + A+ A ( x2 + y 2 it )2iz k 0 1k = 2 p =01 A k 1p k p p k 2 2k k 0 1=2iz k (k = 2 k !Cp =0( x2 + y 2 )(it )+ (it ) + A+ A ( x + y it )1 A k 1p k p p 1 A k= k ( C( x2 +
18、 y 2 ) (it ) + k (it )2izk =1 k !p =02iz k =0 k != w( x, y, t) +1 Ak (it )k(32)2iz k =0 k !k1 Ak 1p k p pw( x, y, t ) = k ( C( x2 + y 2 ) (it ) (33)C p =2izk !k =1 k !p =0k p !( k p )!u = w( x, y, t ) +1 Ak (it )k 1F (t )2iz k =0 k ! 2iz= w( x, y, t ) +12iz Ak (it )k F (t )k =0 k !(34) F (t ) H (I),
19、 F (t ) = ak t k , t I ,令A = a ik ,即有k =0 k !Ak (it )k = F (t )，t I, 且u = w( x, y, t ) C（）;k !k k kk =01 Ak 1p k p pw( x, y, t) = k ( C( x2 + y 2 ) (it) 2izk =1 k !p =0= 1 ik a kk C p ( x2 + y 2 )k p (it ) p (it )k k2izk =1 k !p =0= 1 ak (i( x2 + y 2 ) + t )k t k 2izk =1 k != 1 ak (is + t )k ak t k
20、2izk =1 k !k =1 k != 1 F (is + t) F (t )2iz(35)推论2-1：若 F (t + is) (t, s) C 2 (+ ),lim F (t + is) = F (t ) ，+s 0lim F (t + is) = F (t), lim F (t + is) = F (t ) ，则Lewy方程(1) 在原点的实心邻域 内存在s 0+s 0+解 u C1 () ， 且可表为u = 1 F (is + t ) F (t ), s = x2 + y 22iz（36）证明：lim u =z 0lim u =z 0limz 012izF (is + t ) F (
21、t ) =0， u C()(37) u =t1 F (is + t ) F (t )2iz(38)lim u = lim zlim F (is + t ) F (t )z 0 tz 0 2i s 0 s= lim zlimF (is + t) F (t )z 0 2i s 0= 0, u C ();tu = 2xi F (is + t ) +1 F (is + t ) F (t )(39)x2iz2iz 2u = 2 yi F (is + t ) +i F (is + t ) F (t )(40)y2iz2iz 2 lim 2 xi F (is + t ) = F (t ),z 0 2izli
22、m 1 F (is + t ) F (t )z 0 z 2= lim z lim F (is + t ) F (t )z 0 z s 0 s= limF (is + t ) F (t )s 0= 0 u C ()x同理 u C ()。又yu + i u = F (is + t )(41)xy2iz u ( u + i u ) = F (t) = f (t )(42)txy即(36)中u C1 ()且满足Lewy方程(1)。定义 设 U (t, s) H * (+ ) ,若存在U * (t, s) C (), 使 U * (t, s) = U (t, s), (t, s) + ;则称U * (t
23、, s) 为U (t, s) 的连续开拓。引理3-1：设 U (t, s) H * (+ ) ,若存在U * (t, s) H * (), 使U * (t, s) = U (t, s), (t, s) + ; 则 k U k Ulim , lim , k = 1, 2, 3, 必存在。s 0+t ks 0+sk证明 若存在U * (t, s) H * () U * (t, s) C ( k U *) , k U *, k = 1, 2, 3, 必存在 k U k Ut ksk lim , lim , k = 1, 2, 3, 必存在。s 0+t ks 0+sk kU引理3-2：若U (t, 0
24、) = F (t ) ,则 lim= F ( k ) (t ), k = 1, 2, 3,s 0+t k当 F C (I), U * (t, s) H * ( ) 。引理3-3：存在 F (t ) : R 6 R的 实值连续函数,F (t ) C 2 (I) , F (t ) H (I ) ,有U (t , s),V (t , s), F (t ) 在 + = (t, s) | 0 s 2 ,| t | 同时满足(1)-(7), 且 Lewy方程（1）有解 u C1 () 。证明 Lewy方程(1)中 令7 4f (t ) =t 3 , t 0(56)tsV + i V= f (t ), s
25、0(57)t3Ulims= lim7 4 12 2 (t + is) 3 =28 t 3(58)s 0+t 3s 0+ 3 3 3 27由 lims 0+3Ut 33U=t 3(t, 0) =28 t27 23 , 即知3Ut 3(0, 0) 不存在。由引理3-2，任意U * H * () ，由U * (t, 0) = F (t ) 得不到 F (t ) 解析的结论。事实上F (t ) 不解析。引理3-4：由 u C1 () , 且 U (t , s),V (t , s), F (t ) 在+ = (t, s) | 0 s 2 ,| t | 0 ；U (t , s),V (t , s), F
26、(t ) 在 + = (t, s) | 0 s 2 ,| t | 0 。F (t + is) = exp(t + is)4 ), t + is 0, lim exp(t + is)4 ) = 0 ，t +is 0lim F (t + is) = F (t ) ，s 0u = 1 F (t + is) F (t )2iz= 1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 )2iz(59)lim u = lim1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 ) = 0(60)z 0z 0 2iz即有 u C ();u =t1 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 4t 5 exp
27、(t 4 )2iz(61)limu = lim z lim4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 4t 5 exp(t 4 )z 0 tz 0 2 s 0 is= lim z lim20(t + is)6 exp(t + is)4 ) + 16(t + is)10 exp(t + is)4 )z 0 2 s 0= 20t 6 exp(t 4 ) + 16t 10 exp(t 4 )lim z = 0z 0 2(62)u C (), 又tu = 2ix 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 )x2iz2iz 2(63)u = 2iy 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 )y2iz2 z 2(64)u + i u = 4(t + is)5 exp(t + is)4 )(65)xy同理可证 u C (), u C (), 则u C1 (),xy2iz u