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1、免费查阅精品论文用 Hilbert-Huang 变换做时频分析的频率分辨率的实验研究1杨哂哂，李明 华东师范大学信息科学技术学院，上海 (200241) E-mail：，ming_摘要：时频分析是分析时变谱的有力工具。其频率分辨率是值得研究的关键问题之一。本 文作者对基于短时傅立叶变换、小波变换和 Hilbert-Huang 变换的三种时频分析方法的频率分辨率进行了实验比较研究。结果表明 Hilbert-Huang 变换法具有最高的频率分辨率，小波变换法其次，而短时傅立叶变换法再其次。关键词：Hilbert-Huang 变换；短时傅立叶变换；小波变换；时频分析；频率分辨率1. 引言Hilber
2、t-Huang 变换(HHT)是近年来提出的一种新的信号变换技术，其核心是经验模式分 解(EMD)方法和 Hilbert 变换。时频分析(TF)的基本思想是设计时间和频率的联合函数，用 它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，是分析非平稳信号的有力工具。TF 在工程中的应用很广泛，文献6-7描述了 TF 在处理爆炸、振动信号时的应用；文献8-9描 述了 TF 在处理雷达信号上的应用；10-11描述了 TF 在正交频分复用(OFDM)技术中的应用， 等等。我们可以看出信号特征的提取与 TF 分布的频率分辨率有很大关系。在频率分辨率的 研究中，取两频率分量正弦叠加信号是较简便的常用做法3。
3、用两频率分量正弦叠加信号 作为待分析信号，本文把基于 HHT 的时频分布和两种常用时频分布方法（STFT 和 WT）作 分析比较，展现三者在频率分辨率上的差异。2. 算法原理2.1 短时傅立叶变换(STFT)短时 Fourier 变换4是研究非平稳信号最广泛使用的方法，其基本做法是把信号划分成 许多小的时间间隔，并假设在这个小的时间间隔内信号是平稳的，用 Fourier 变换分析每一 个时间间隔，以便确定在那个时间间隔存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上 是怎样变化的。因此，它的 Fourier 变换反映的是在时刻 t 的一个小的时间间隔内的频率分 布，即-5- j 2 ftSTFT
4、 (t, f ) = x (t ) (t t ) edt(1)x 正是由于窗函数 (t ) 的存在，使得STFT具有了局域特性，它既是时间的函数，也是频率的函数。对于给定的时间t， STFTx (t, f ) 可看作是该时刻的频谱13。2.2 小波变换(WT)小波的一般定义如下WTx (a, b) =1a Rx(t )h( t b )dt a(2)1 本课题得到国家自然科学基金(项目批准号 60573125)的资助。其中， h(t ) 为小波基函数，a 为尺度因子，b 表示小波基函数沿时间轴的平移量。在本文,我们使用 Morlet 小波计算信号 x(t)的时频分布。其计算表达式如下：SC (t
5、, a; h ) = T (t, a; h ) 2 = 12x ( s )h* s t ds(3)x x a a 其中 a = v , v 是母小波函数 h(t)的中心频率12。v2.3 Hilbert-Huang 变换文献1提出了内蕴模式函数感念和 EMD 筛选算法。固有模态函数(IMF)必须满足两个 条件：1.信号极值点的数量与过零点的数量必须相等，或最多相差一个；2.在任一时间点上， 信号极大值定义的上包络和极小值定义的下包络的局部均值为零。EMD 算法通过不断剔除 信号的极大值和极小值连接的上下包络曲线的均值，将原始信号 x(t)分解成如下形式：nx (t ) = ci + rni =
6、1(4)式(3)将原始数据分解成 n 个 IMF 函数 ci，及一个趋势分量 rn。先对信号 x(t)的 IMF 分 量 c(t)作 Hilbert 变换得解析信号5：z (t ) = c (t ) + jH c (t )幅值函数 a(t)和相位函数 (t ) 分别为：= a (t ) e j(t )(5)a (t ) =c2 (t ) + H 2 c (t )(6)瞬时频率定义：H c (t )1 (t ) = tanc (t ) (7) (t ) = d (t )d (t )(8)每一个 IMF 分量进行 Hilbert 变换之后，则可把 x(t)表示成 Hilbert 谱形式n j tH
7、 (, t ) = Rea (t ) ei ( )(9) ii =1这里省略了残余函数 r(t)，Re 表示取实部。(9)式使得我们能够在一个三维图中把振幅和瞬 时频率表示成时间的函数，在该三维图中，振幅为时频平面的轮廓线。振幅的这种时频分布 被定义为 Hilbert 振幅谱，或简称为 Hilbert 谱。3. 实验结果STFT方法中当窗口函数选定之后，时频窗的窗口形状就固定了。因为根据Heisenberg 不确定性原理，时间分辨率与频率分辨率不能同时任意小，它们的乘积受到一定值的限制。 要提高频率分辨率就要降低时间分辨率，反之亦然。但在实际应用中为了在时间域更好的局 部化一个事件，窗口的宽度
8、必须很窄，但是另一方面，要获得好的频域分辨率又要求宽的时 窗。这一矛盾限制了这种方法的使用。WT(采用Morlet小波)较STFT在频域上有了较好的局部化能力，通过调节小波基中的参数 a可以改变时频分辨率。当a增大，则时窗伸展，频宽收缩，频率分辨率增高；相反地，a减 小则频率分辨率降低。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间长 的自然规律。但是，一旦选择了进行分析的小波，该小波的频谱结构便完全确定。针对一个具体信号，究竟用哪种小波基最合适，是应用小波分析的一个难题。尽管如此，小波分析仍是目前分析非平稳信号的主要工具之一。HHT 中的 EMD 分解方法本质是根据数据的特征时间
9、尺度来经验地识别固有振荡模式， 然后据此来分解数据。不同于信号的 Fourier 分解和小波分解，EMD 没有确定的基，它的“基” 是根据待分析信号而自适应产生的，因而理论上应该有更好的时频局部性。这是 HHT 的特 点。从选择小波基的困难角度看，此特点是 HHT 的主要优点。设两频率分量的正弦信号为 x (t ) = cos(2 f1t ) + cos(2 f2t ) ,其中 f1、f2 皆是频率。令 f1 =0.20，f2 = 0.35. 则 f = 0.15. 取 t = 1, , 100。在画 STFT、WT 的时频图时，用到 Matlab时频工具箱中的函数 tfrstft 和 tfr
10、scalo, STFT 的窗函数选的是 hamming 窗，长度为 11。2Frequency0.4STFTx(t)00.2-20102030405060708090100t00 10 20 30 40 50 60 70 80 90100t(a)(b)WT0.5Frequency0.40.30.20.1Frequency0.40.20HHT10 20 30 40 50 60 70 80 90100t10 2030405060708090t(c)(d)图 1 信号 x(t)的时频等高图. (a). 时间波形. (b) 用 STFT 做的 TF 分布. (c) 用 WT 做的 TF 分布.(d)
11、用 HHT做的 TF 分布.Fig1 The contour maps of signal x(t)s TF distribution.(a)the plot of time-varying.(b) TF distribution usingSTFT.(c) TF distribution using WT.(d) TF distribution using HHT图 1(a)是时间信号, 图 1(b)是用 STFT 做的 TF 分布, 图 1(c)是用 WT 做的 TF 分布, 图1(d)是用 HHT 做的 TF 分布。由图 1 可见, STFT 的频率分辨率低，无法分辨当 f = 0.15
12、 时 的 x(t)的两个频率。在 f = 0.15 时, WT 比 STFT 的频率分辨率有了显著改善，出现了两个频率分量，但两个频率分量仍明显交错在一起。用 HHT 做的时频图有最高的频率分辨率，且较图 1(c)有十分显著的改善。图 2 用立体图表示了上述结论。14123.532.52STFT1.510.5108WT64100 200.50.40.30.20.1 50 000.50.40.30.200.110050FrequencyTimeFrequencyTime(a)(b)21.5HHT10.500.4 0.30.2Frequency(c) 0.1050Time100图 2 比较. (a
13、). 用 STFT 做的 TF 分布. (b) 用 WT 做的 TF 分布. (c) 用 HHT 做的 TF 分布.Fig2 Comparison.(a)TF distribution using STFT.(b) TF distribution using WT.(c) TF distribution using HHT4. 总结本文对基于 STFT、WT 和 HHT 的三种时频分布的频率分辨率进行了实验比较。结果表 明，STFT 的频率分辨率最低，WT 较前者有了明显改善，而 HHT 较 WT 有显著改善。参考文献1 Huang NE, Zheng Shen, Long SR, et al
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18、与设计时频分析, 西安电子科技大学出 版社.13 葛哲学, 陈仲生. Matlab时频分析技术及其应用,人民邮电出版社.Experimental Research on Frequency Resolution of Time-Frequency Distribution Using Hilbert-Huang TransformYang ShenShen，Li MingSchool of Information Science and Technology，East China Normal University，Shanghai（200241）AbstractTime-Frequency
19、(TF) is a powerful tool for the analysis of time-varying spectrum. One of key issues inthis regard is frequency resolution. In this paper, we experimentally compare the frequency resolution of three types of TF analysis methods, namely, Short Time Fourier Transform (STFT), Wavelet Transform (WT) and
20、 Hilbert-Huang transform (HHT). The results suggest that HHT has the highest frequency resolution and WT is better than STFT.Keywords ： Hilbert-Huang Transform ， Short-Time Fourier Transform ， Wavelet Transform ，time-frequency analysis，frequency resolution作者简介：杨哂哂，女，1984 年生，硕士研究生，从事信号处理研究；李明，男，1955 年生，PHD，华东师范大学教授，博士生导师，主要研究长相关过程及其 应用；时频分析及其应用；入侵检测等。