《高中数学 新课标 选修1-1全册学案 2.1.1椭圆及其标准方程.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 新课标 选修1-1全册学案 2.1.1椭圆及其标准方程.doc（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.1椭圆的标准方程一 预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程二 预习内容1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3椭圆的定义：-轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-，两焦点的距离叫做-。4. 椭圆标准方程的推导：建系；以-为 轴，-为 轴，建立直角坐标系，则 的坐标分别为：-写出点集；设P（ ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：-坐标化；化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）类似的，焦点在- 轴上的椭圆方程为：-其中焦点坐标为：-三、提出疑惑来源:Z。xx。k
2、.Com同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。 2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1.思考：(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为2推导椭圆的标准方程1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆
3、上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)b2=a2-c2得：3.例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程设椭圆的标准方程为-，因点在椭圆上，代入化简可得标准方程。例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称
4、点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程例3如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程三、反思总结1.椭圆方程得标准形式为：2.求动点轨迹方程的步骤是什么？四、当堂检测1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点 2. 平面内两个定点的距离为8，动点M到两个
5、定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程。课后练习与提高 A、5 B、5或8 C、3或5 D、202、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）A、(0,+) B、(0,2) C、(1,+) D、(0,1) A、2 B、3 C、5 D、7 A、2a B、4a C、8a D、2a+2b5、若关于x、y的方程x2sin-y2cos=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cos)2+(y+sin)2=1所表 示的圆的圆心在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限来源:Z,xx,k.Com6、已知椭圆的焦点是F1（-1，0），F2（1，0），点P为椭
6、圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等 差中项，则椭圆的方程是（ ）7、已知椭圆 上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（ ） A、2 B、3 C、5 D、78、如果椭圆E：4x2+y2=k上两点间的距离最大是8，则k值为（ ） A、32 B、16 C、8 D、4 9、已知F1、F2是椭圆 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|的值为（ ） A、11 B、10 C、9 D、1610、已知椭圆的标准方程是 ，M1、M2为椭圆上的点。 （1）点M1（4，2.4）与焦点的距离分别是_,_; （2）点M2到一个焦点的距离等于
7、3，则它到另一焦点的距离等于_.来源:学*科*网学校： 临清一中 学科：数学 编写人：陈淑君 审稿人：张林2.1.1椭圆及其标准方程教学目标：1掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；4通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力； 5通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难
8、点：椭圆标准方程的推导教学过程一、复习并引入新课思考问题：1.在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线曲线和方程的关系是什么？（如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线）2.圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？来源:学*科*网Z*X*X*K（平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a2d2)的点的轨迹是圆；平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆）由此可见，平面上到两个定点距离或与两
9、个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究二、讲授新课1请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？（3）是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？观察后请学生回答 (学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考)（4）当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？从而得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a|F1F2|顺便可以指出两个定点叫做焦点
10、，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c0)表示2推导椭圆的标准方程思考问题：（1）求曲线方程的步骤是什么？（2）求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹（求曲线方程的步骤是：建立坐标系设动点坐标：寻找动点满足的几何条件；把几何条件坐标化；化简得方程；检验其完备性）注：建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性(让学生思考后回答)教师归纳大体上有如下三个方案：取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2-25；以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2
11、的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图2-27，推导出方程解 1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？(根据椭圆定义知道a2c2，且如图所示，a与c可以看成Rt
12、MOF2的斜边和直角边)不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，再化简， (*) (*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1)方程中条件ab0不可缺少(结合图形)，当a=b0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况)2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；3)请学生猜想：若用方案(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？(启发学生根据对称性进行猜想)三、例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容
13、易求出引导学生用其他方法来解另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程解法剖析：（代入法求伴随轨迹）设，；（点与伴随点的关系）为线段的中点，；（代入已知轨迹求出伴随轨迹），点的轨迹方程为；伴随轨迹表示的范围例3如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，
14、由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程解法剖析：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程引申：如图，设的两个顶点，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程引申目的有两点：让学生明白题目涉及问题的一般情形；当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴圆的直径椭圆的短轴作业：P40练习来源:学科网ZXXK2.1.2椭圆的简单几何性质一、预习目标 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质二 预习内容来源:学.科.网Z.X.X.K1椭圆的定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
15、)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在2椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( 0，且 )(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： 3椭圆的几何性质(对,a b 0进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪
16、些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）； 2掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系，能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法重点：椭圆的几何性质难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质二、学习过程1.回答下列问题;（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆
17、的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？来源:Zxxk.Com（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 2.完成下列表格：方程图像a、b、c 焦点范围对称性顶点长、短轴长离心率3.例题例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。例6如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程三、反思总结1.记住椭圆的几何性质（注意焦点所在的轴）2.会求动点的轨迹方程。四、当堂检测1、椭圆的长轴长、短轴长、离
18、心率依次是（ ）来源:学科网ZXXKA、5、3、0、8 B、10、6、0、8C、5、3、0、6 D、10、6、0、62、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、3、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）、F2（3，0），则其离心率为（ ）A、 B、 C、 D、4、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、5已知点（3，2）在椭圆上，则（ ）A、点（-3，-2）不在椭圆上B、点（3，-2）不在椭圆上C、点（3，-2）在椭圆上D、无法判断点（-3
19、，-2）、（3，-2）、（3，-2）是否在椭圆上6、设椭圆的短轴为B1B2，F1为椭圆的左焦点，则B1F1B2等于（ ）A、 B、 C、 D、课后练习与提高1设a、b、c、P分别是椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距及焦点到对应准线的距离，则它们的关系是（ ）A B C D2椭圆的准线平行于x轴，则m的取值范围是（ ）A B C（1，+） D3以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同点，这四个顶点和两个焦点恰好构成一个边长为2的正六边形，则关于此椭圆有（ ）A长轴长为 B短轴长为C离心率为 D焦点相应准线的距离为4已知椭圆的三个顶点为，A（a，0），焦点F（c，0）且，则离心率e=_。5椭圆上一
20、点P到左准线的距离为2.5，则P到右焦点的距离是_。6若椭圆的离心率为，则k=_。7在椭圆上求一点P，使。学校： 临清一中 学科：数学 编写人：陈淑君 审稿人：张林2.1.2椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。（2）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力。教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程教学过程：一、复习引入：1椭圆定义：在平面
21、内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程：， （）二、新课讲解：1范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.2对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令
22、得，即，是椭圆与轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即4离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为5.填写下列表格：方程图像a、b、c 焦点 范围对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称顶点 长、短轴长长轴: A1A2 长轴长 短轴：B1B2短轴长 离心率例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标来源:学科网解：把已知方程化为标准方程，椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，焦点坐标，顶点，例2过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点、；（2）长轴长等于，离心率等于解：（1）由题意，又长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为（2）由已知，所以，椭圆的标准方程为或例3.如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程作业：P47第4、5题来