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1、第四章测评第四章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分) 1.计算:log225log52=( ) 2 A.3B.4C.5D.6 解析 log225log52=3,故选 A. 2= lg25 lg2 lg 8 1 2 lg5 答案 A 2.满足“对定义域内任意实数 x,y,都有 f(xy)=f(x)+f(y)”的函数可以是( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=2x C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x 解析 f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y). 答案 C 3.函数 f(x)=的定义
2、域为( ) 1 ln( + 1) +4 - 2 A.-2,2 B.(-1,2 C.-2,0)(0,2 D.(-1,0)(0,2 解析要使函数有意义,x应满足解得-1 0, + 1 1, 4 - 2 0, 故选 D. 答案 D 4.(2019全国,文 3)已知 a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( ) A.a20=1, 又 00,则 00,排除选项 D. 2 43 24+ 2 - 4 f(6)=7,排除选项 A. 2 63 26+ 2 - 6 故选 B. 答案 B 8.已知函数 f(x)=4x-2x+1-3,则函数 f(x)的零点所在的区间为( ) A.(-1,0)B.(0,
3、1) C.(1,2)D.(2,3) 解析因为 f(x)=4x-2x+1-3 为连续函数,f(1)=4-4-3=-30.因为 f(1)f(2)0,且 y=t2-3t+3=.函数 f(x)=4x-32x+3 的值域为1,7, ( - 3 2) 2 + 3 4 函数 y=t2-3t+3的值域为1,7. 由 y=1 得 t=1 或 t=2,由 y=7得 t=4 或 t=-1(舍去),则 0 0, A.-1,0)B.0,+) C.-1,+)D.1,+) 解析要使得方程 g(x)=f(x)+x+a 有两个零点,等价于方程 f(x)=-x-a 有两个实根,即函数 y=f(x)的图象与 直线 y=-x-a的图
4、象有两个交点,从图象可知,必须使得直线 y=-x-a 位于直线 y=-x+1 的下方,所以-a1, 即 a-1.故选 C. 答案 C 12.已知 x0是函数 f(x)=2x+的一个零点.若 x1(1,x0),x2(x0,+),则( ) 1 1 - A.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 解析设 y1=2x,y2=,在同一平面直角坐标系中作出它们图象. 1 - 1 如图,在区间(1,x0)内,y2=的图象在 y1=2x图象的上方,即, 1 - 1 1 1 - 1 21 所以0.21+ 1 1 - 1 答案 B 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分) 13
5、.如果幂函数 f(x)的图象过点,则 f(64)= . ( 16, 1 2) 解析设幂函数 f(x)=x( 为常数),将代入,求得 =- ,则 f(x)=,所以 f(64)=6. ( 16, 1 2) 1 4 - 1 4 4 - 1 4= 2 4 答案 2 4 14.函数 f(x)=的零点是 . 1 - 2 1 + 解析由 f(x)=0,即=0,得 x=1, 1 - 2 1 + 即函数 f(x)的零点为 1. 答案 1 15.设函数 f(x)=则 f(3)+f(4)= . 1 + log6, 4, (2), 0,a1. + , 0, - 2 - 1, 1,且 f(0)=1+b-1,得 b-2.
6、 综上,a,b 的取值范围分别是 a1,b-2. (2)x0 且 a1. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f=2,求使 f(x)0 成立的 x 的集合. ( 3 5) 解(1)要使函数有意义,则解得-1 0, 1 - 0, (2)f(x)是奇函数.理由如下: f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-loga(x+1)-loga(1-x)=-f(x),f(x)是奇函数. (3)若 f=2, ( 3 5) loga-loga=loga4=2, (1 + 3 5) ( 1 - 3 5) 解得 a=2, f(x)=log2(1+x
7、)-log2(1-x). 若 f(x)0,则 log2(x+1)log2(1-x), x+11-x0, 解得 00,a1)与 y=p+q(p0)可供选择. 1 2 (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式; (2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积 10 倍以上的最小月份.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1) 分析(1)先判断两个函数 y=kax(k0,a1),y=p+q(p0)在(0,+)上的单调性,说明函数模型 1 2 y=kax(k0,a1)适合要求,然后列出方程组,求解析式. (2)利用 x=0 时,y= 0= ,即元旦放入凤眼莲的面积是 m2,列出不等
8、式转化求解. 32 3 3 2 32 3 32 3 解(1)两个函数 y=kax(k0,a1),y=p+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着 x 的增加,函数 1 2 y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数 y=p+q(p0)的值增加的越来越慢. 1 2 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快, 所以函数模型 y=kax(k0,a1)适合要求. 由题意可知,x=2时,y=24;x=3 时,y=36, 所以解得 2= 24, 3= 36, = 32 3 , = 3 2, 所以该函数模型的解析式是 y= x(xN*). 32 3 3 2 (2)x=0时,y= 0= , 32 3 3 2
9、 32 3 所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2. 32 3 由 x10 ,得 x10, 32 3 3 2 32 3 3 2 所以 xlo10=.g3 2 lg10 lg 3 2 = 1 lg3 - lg2 因为5.7, 1 lg3 - lg2 1 0.477 1 - 0.301 0 所以 x6, 所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份是 6 月份. 22.(12分)已知函数 f(x)=-. 2 2+ 1 (1)用定义证明函数 f(x)在(-,+)上为减函数; (2)若 x1,2,求函数 f(x)的值域; (3)若 g(x)= +f(x),且当 x1,2时,g(x)0 恒成
10、立,求实数 a 的取值范围. 2 解(1)函数 f(x)的定义域为 R,设 x1,x2R 且 x10.22 21 又+10,+10,2122 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2). f(x)在(-,+)上为减函数. (2)f(x)在(-,+)上为减函数,当 x1,2时,f(x)min=f(2)=- ,f(x)max=f(1)=- . 4 5 2 3 当 x1,2时,f(x)的值域为. - 4 5, - 2 3 (3)由(2)得,当 x1,2时,f(x), - 4 5, - 2 3 g(x)= +f(x), 2 当 x1,2时, g(x). 2 - 4 5, 2 - 2 3 g(x)0 在 x1,2上恒成立, 0,a . 2 4 5 8 5