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1、第二章测评第二章测评 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分) 1.已知集合 A=x|x20,则 AB=( ) A.(0,1)B.(-1,+) C.(1,+)D.(-,-1)(0,+) 解析A=x|x20,AB=x|0abB.aba2 C.a2b2D.|a|-1|,故 D 选项错误.综上所述,本小题选 C. 答案 C 3.若关于 x的方程 kx2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( ) A.k-1B.k-1 且 k0 解析x的方程 kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,k0 且 =4-4k(-1)0,解得 k-
2、1,k 的取值范 围为 k-1且 k0.故选 D. 答案 D 4.若不等式组无解,则 m 的取值范围为( ) + 1 3 2 解析解不等式-1,得 x8,不等式组无解,4m8,解得 m2,故选 A. + 1 3 0,b0,且 2a+b=2ab,则 a+2b 的最小值为( ) A.B. 5 2 + 2 9 2 C.D.4 5 2 2 解析a0,b0,且 2a+b=2ab,a=0,解得 b1.则 a+2b=+2b=+2b= 2( - 1) 2( - 1) 1 2 + 1 2( - 1) 5 2 + +2(b-1) +2,当且仅当 b= ,a= 时取等号,其最小值为 .故选 B. 1 2( - 1)
3、 5 2 1 2( - 1)2( - 1) = 9 2 3 2 3 2 9 2 答案 B 7.若 x0,则函数 y=x+ ( ) 4 A.有最大值-4B.有最小值 4 C.有最大值-2D.有最小值 2 解析x0,由基本不等式可得 x+ 2=4,当且仅当 x= 即 x=2 时取等号,x=2 时,函数 y=x+ 4 4 4 4 有最小值 4.故选 B. 答案 B 8.若关于 x的不等式|ax-2|0时,则不等式的解为- 0, 当 a0的解集为x|-12ax 的解集为( ) A.x|-21 C.x|x3D.x|00 的解集为x|-12ax 整理得 a(x2-3x)0,因为 a0,b0,则以下不等式中
4、不恒成立的是( ) A.(a+b)4 1 + 1 B.a3+b32ab2 C.a2+b2+22a+2b D. | - | 解析a0,b0,(a+b)22=4,故 A 恒成立; 1 + 1 1 1 a3+b3-2ab2=a3-ab2+b3-ab2=(a-b)(a2+ab-b2),无法确定正负,故 B 不恒成立; a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)20,故 C恒成立; 若 aa,可得 x-a0,则 x-a+2=4,当且仅当 x-a=2 即 x=a+2 时,x-a+取得最小值 4, 4 - ( - ) 4 - 4 - 则 5-a4,可得 a1,可得 a 的最小值为 1. 答案
5、1 15.若正实数 a、b、c满足 ab=a+2b,abc=a+2b+c,则 c的最大值为 . 解析由 abc=a+2b+c,ab=a+2b, 解得 c=1+, + 2 - 1 = + 2 + 2 - 1 1 + 2 - 1 ab=a+2b,=1, 1 + 2 a+2b=(a+2b)=4+ 1 + 2 + 4 4+2=4+4=8,c . 4 8 7 答案 8 7 16.已知 a,b,c,d均为实数,有下列命题:若 ab0,bc-ad0,则0;若 ab0,0,则 bc-ad0; 若 bc-ad0,0,则 ab0.其中正确的命题是 . 解析对于,若 ab0,bc-ad0,不等式两边同时除以 ab得
6、0,所以正确;对于,若 ab0,0, 不等式两边同时乘以 ab 得 bc-ad0,所以正确;对于,若0,当两边同时乘以 ab 时可得 bc- ad0,所以 ab0,所以正确.综上,正确的命题是. 答案 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)解下列不等式: (1)x2-4x+30;(2)0. + 2 2 - 3 解(1)x2-4x+30,即(x-3)(x-1)0,解得 1x3, 所以不等式的解集为x|1x3. (2)0 等价于解得 x-2 或 x , + 2 2 - 3 ( + 2)(2 - 3) 0, 2 - 3 0, 3 2 所以
7、不等式的解集为. | - 2或 3 2 18.(12分)关于 x 的方程 kx2+(k+1)x+ k=0有两个不等实根. 1 4 (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使方程的两实根的倒数和为 0?若存在,请求出 k的值;若不存在,请说明理由. 解(1)=(k+1)2-4k k=k2+2k+1-k2=2k+10,k- ,k0,故 k- 且 k0; 1 4 1 2 1 2 (2)设方程的两根分别是 x1和 x2,则 x1+x2=-,x1x2=-=0, + 1 1 4, 1 1 + 1 2 = 1+ 2 12 4( + 1) k+1=0,即 k=-1, k- ,k=-1(舍去). 1
8、 2 所以不存在. 19.(12分)已知 x,yR,求证:x2+2y22xy+2y-1. 证明由题意 x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)20,x2+2y22xy+2y-1 成立. 20.(12分)已知正实数 a,b满足 a+b=4,求的最小值. 1 + 1 + 1 + 3 解a+b=4,a+1+b+3=8, 1 + 1 + 1 + 3 = (a+1)+(b+3) 1 8 1 + 1 + 1 + 3 =2+ (2+2)= , 1 8 + 3 + 1 + + 1 + 3 1 8 1 2 当且仅当 a+1=b+3,即 a=3,b=1 时取
9、等号, 的最小值为 . 1 + 1 + 1 + 3 1 2 21.(12分)国家为了加强对烟酒生产的管理,实行征收附加税政策.现在某种酒每瓶 70 元,不征收 附加税时,每年大约产销 100 万瓶;若政府征收附加税,每销售 100 元征收 R 元(叫做税率为 R%),则每 年产销量将减少 10R 万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于 112 万元,R 应怎样确定? 解设产销量为每年 x万瓶,则销售收入为每年 70x 万元,从中征收附加税为 70xR%万元,并且 x=100- 10R,由题意,得 70(100-10R)R%112,即 R2-10R+160,解得 2R8,税率定在 2%8%(
10、包括 2% 和 8%)时,可使每年在此项经营中所收附加税不少于 112 万元. 22.(12分)设实数 x,y满足 2x+y=1. (1)若|2y-1|-2|x|0,y0,求证:. 1 + 2 2 15 2 解(1)由 2x+y=1,得 y=1-2x,所以不等式|2y-1|-2|x| 1 4, 4 - 1 - 2 0,y0,2x+y=1, 所以=(2x+y)=4+4+4=8, 1 + 2 1 + 2 + 4 当且仅当,即 2x=y= 时取等号. = 4 1 2 又-=- ,当且仅当 2x=y= 时取等号, 2 2 + 2 1 2 1 2 所以,当且仅当 2x=y= 时取等号. 1 + 2 2 15 2 1 2