棉条的分形特征与均匀度.pdf

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1、第2 6 卷第3 期 2 0 0 5 年6 月 纺织学报 J o 哪a lo f7 r e x t i l eR e s e a r c h V 0 1 2 6 N o 3 J u n ，2 0 0 5 棉条的分形特征与均匀度 赵强1 2 ，孟祥龙2 ，刘鹏3 ，孟大志3 ，黄秀宝1 ( 1 东华大学纺织学院，上海2 0 0 0 5 1 ；2 中国纺织科学研究院，北京1 删； 3 北京工业大学应用数理学院，北京1 毗) 摘要采用分形几何的方法，计算实时采集的棉条厚度信号分维数，研究表明棉条厚度信号数据的盒维数与棉 条不匀率单调正相关，一定窗口宽度的分维数均值与不匀率正相关，棉条厚度的时间序列数

2、据的分维数序列与不 匀率序列高度同步，因此可以用分维数评价棉条均匀度。 关键词棉条均匀度；不匀率；分形几何学；分维数 中图分类号：髑1 0 1 9 1 4文献标识码：A文章编号：0 2 5 3 9 7 2 1 ( 2 0 0 5 ) 0 3 0 0 0 8 0 5 F r a c t a lc h a r a c t e ra n de v e n e s so fc o t t | o ns i l v e r z H A oQ i a n 9 1 ”，M E N Gx i a I l g 1 0 n 9 2 ，L I uP e n f ，M E N GD a z h i 3 ，H u A

3、N Gx i u - b a 0 1 ( 1 仍如鲈矿砌泥，肪，动跏矗椰毋，妣增拗2 0 0 0 5 1 ，蕊讹；2 m 讹毙砒A 伽如形，肪归曙1 0 0 0 2 5 ，劬讹； 3 疵抛吧厂A P p z 砌肘m 船，删泌& 鼢”泌，狐，l gP 0 f ，僦 n 拓溉眈r s 谚，彬，l g 1 0 0 0 2 2 ，蕊i ) A b 咖隋c tT 1 l em e 山o d0 ff h c t a lg e o m e t r yw a su s e dt oc a l c u l a t et l l ef h c t a ld i m e I l s i o no ft l l ec

4、 o t t o ns l i v e rt l l i c k n e 髓s i g n a l T h e m u m e r i c a lr e s u l ti n d i c a t e dt l l a tm eb o xd i m e n s i o no f8 i g n a ld a t ao ft l l ec o t t o ns l i v e rt l l i c k n e s si sp o s m v e l yp m p o n i o n a lt of k q u e n c y o ft l l ei r r e g I l I 鲥t i e so f

5、t h es l i v e r ，a n d 山a tt h em e a nv a I u e “f h c t a Jd i m e n s i o no fw i d t l l so fac e n a i nw i n d o wi sp r o p p n i o n a It ot 王l e i r r e g u l a r i t i e so ft h ec o t t o ns l i v e r ，a n dt l l a tt I l es e q u e n c eo ff h c t a ld i m e n s i o no ft l l et i m e s

6、 e r i e sd a t ao f 出ec o n o ns l i v e rt l l i c k n e s s h i g h l ys y n c h r o n i z e sw i t lt l es e q u e n c eo ft I ei n _ e g u l a r i t i e so f t l l ec o t t o ns l i v e r T h e r e f b r et l l ef h c t a ld i m e n s i o nc a nb eu s e dt o e v a h l a t et h ee v e n n e s so

7、 ft l l es l i v e r 1 【e yw o r d s c o t t o ns l i v e re v e n n e s s ；i r r e g u l 捌t y ；f h c t a lg e o m e t r y ；f h c t a ld i m e n s i o n 对于棉条均匀度的评价，大多采用切断称重、计 算其重量不匀率的方式来进行；也可采用电容式的 条干仪测量通过其极板的棉条电容信号或采用萨氏 条于仪检测其断面尺寸，随后计算其不匀率来进行。 在研究中，对于棉条检测的信号还采用了长度变异 曲线、自相关函数、功率谱等方法进行评价。实际 上，检测棉条所得到

8、的信号是混沌图形。本文试图 采用分形几何的方法研究棉条厚度信号，并以此来 评价棉条的均匀度。 1数学基础 1 1 分形与分维数 分形几何学的基本理论是：客观事物具有自相 似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时 间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相 似性。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小 几何尺寸，整个结构不变。维数是几何对象的一个 重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的 独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看 成三维，把平面或球面看成二维，而把直线或曲线看 成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以 引人高维空间，对于更抽象或更复杂的对象。只要 每个局部

9、可以和欧氏空间对应，也就容易确定维数。 但通常人们习惯于整数的维数。分形理论认为维数 也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸 引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描 述客观事物的“非规则”程度，1 9 1 9 年，数学家从测 度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分 数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分形是具有如下所列性质的集合，：具有精细 结构，即在任意小的比例尺度内包含整体；是不规则 的，以致于不能用传统的几何语言来描述；通常具有 某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的； F 在某种方式下定义的“分维数”通常大于F 的拓 扑维数；F 的定义常常是非常简单的，

10、或许是递 归的。 作者简介：赵强( 1 9 5 5 一) ，男，研究员，在读博士。主要研究领域为纺织工艺和机电一体化。 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 2 0 0 5 年第3 期纺织学报【9 】 1 2 时间序列的分维特性 H a u s d o r f f 维数：对于任何一个有确定维数的几 何体，若用与它相同维数的“尺r ”去度量，则可得到 一确定的数值v ；若用低于它维数的“尺”去量它， 结果为无穷大；若用高于它维数的“尺”去量它，结果 为零。

11、其数学表达式为 ( r ) 。r 一肌 两边取自然对数，整理后可得 D 危= l n ( r ) ，l n ( 1 ，r )或 D = l i m 1 n ( 盯) l n ( 1 仃) 式中，傩为H a u s d o r f f 维数，它可以是整数，也可以 是分数。欧氏几何体，它们光滑平整，其D 值是整 数。人们常把H a u s d o m 维数是分数的物体称为分 形，把此时的D 危值称为该分形的分形维数，简称分 维。也有人把该维数称为分数维数，当然还必须看 其是否具有自相似性和标度不变性 2 J 。 1 3 盒维数 盒维数( B o xD i m e n s i o n ) 又称计盒维

12、数( B o x c o u n t i n g ) ，是应用最广泛的维数之一，它的普遍应用 主要是由于这种维数的数学计算及其经验估计相对 容易一些。本文采用这种计算表示分维数。 设F 是R “上任意非空的有界子集，从( ，) 是 直径最大为艿，可以覆盖F 的集的最少个数，则， 的下、上盒维数分别定义为 堂小粤笔等 ( 1 ) d 一0 1 u 若u 而。F ：而掣 ( 2 ) 如果这两个值相等，则称这共同的值为，的盒 维数，记为 D i m 日F ：l i m 掣 ( 3 ) 6 o 一1 u g u 盒维数有一些等价的定义，有时这些定义更适 合应用。考虑R “中参坐标网立方体，即下列形式

13、的立方体： m 】艿，( ，n l + 1 ) 艿 m 。艿，( m 。+ 1 ) 艿 其中m l ，一，m 。都是整数，显而易见，在R 1 中，“立 方体”即表示为区间，而在R 2 中表示为正方形。设 ：( F ) 是担网立方体与F 相交的个数，显然这是 ：( F ) 个直径为艿而的覆盖F 的集类，因此有 ，柝( F ) J 7 、r ；( F ) 如果艿i 1 ，则 l o g 蛎( F ) 一l o g ( 艿五) 令艿一0 ，取下、上极限 l o g 眠( F ) j 磊i j 面 坠熙警笔等 ( 4 ) a 一01 u 与u 丽。F 甄笔警 ( 5 ) a 0一l o 只。 另一方面

14、，任何直径最大为艿的集合包含在3 “ 个边长为d 的网立方体内( 由包含这个集的一些点、 一个立方体以及与立方体相邻的全部立方体组成) ， 由此 ：( F ) 3 “ 0 ( F ) 取对数并取极限可以得到与式( 4 ) 、( 5 ) 反向的不等 式。因此为求出由式( 1 ) 一( 3 ) 定义的盒维数，可以 等价地取肌( F ) 为与F 相交的边长为艿的网立方 体的个数。 盒维数的这个形式的定义在实际中有广泛的应 用。为计算一个平面集F 的盒维数，可以构造一些 边长为d 的正方形或称为盒子，然后计算不同艿值 的“盒子”和F 相交的个数肌( F ) 盒维数由此 而得名，这个维数是当艿一0 时，

15、M ( F ) 增加的对数 数率，或者可以由函数1 0 9 虬( F ) 相对于一l o g 艿图的 斜率值来估计口 。 2 实验方法 本实验在实际生产系统中进行，为一套配8 台 梳棉机的清梳联系统。每台梳棉机都安装了自调匀 整控制器，在其出条部分都安装了一套棉条厚度传 感器，控制器以每0 1s 的速率对棉条厚度进行采 样，并同时计算3 0 0 次采样值的不匀率。同时，本实 验还采用一台计算机以每O 1s 的速率对系统内每 台梳棉机上所安装的匀整控制器内的棉条传感器电 信号、控制器所计算的棉条厚度瞬时检测信号和每 台梳棉机上控制器所计算的棉条不匀率进行扫描采 样，对每一个厚度检测值，有一个相应

16、的不匀率值， 这些数据均存人计算机。 为了保证数据的可靠，本实验持续了6 个月时 间，取得了大量的在线检测数据。 3 分维数与棉条不匀率的相关性 不匀率采用信号值的平均差不匀率进行计算， 即 聃) ：掣 每个不匀率值的样本量为3 0 0 个。 控制系统检测的棉条厚度，形成自然的时间序 列( 见图1 ) 。显然，绝对均匀的输出棉条，对于均匀 性检测是理想的极端情况，此时不匀率始终为0 。 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 【1 0 】 纺织学报2 0

17、0 5 年第3 期 而且对应的时间序列为一条直线，这是显然的。从 分形几何的观点理解，绝对均匀的时间序列对应一 条欧几里德直线，其几何维数为1 。而对于另一种 极端情况，棉条均匀度很差，其时间序列表现为处处 都有幅度很大的振荡，当取点充分密集时，振荡点的 连线几乎覆盖一条有面积的宽带，根据以上分形几 何的理论，这条有面积的宽带的维数应该接近2 。 从而不难理解，实际上均匀度好的棉条在各检测点 上的厚度数据，应该形成在乎均值附近的小振荡的 时间序列，因此它的维数应该在1 与2 之间，靠近1 。 这就启发研究者可以用分形的维数来刻画棉条均匀 性的好坏。但是，是否能够用分维数刻画，必须证明 分维数与

18、棉条的均匀性具有单调相关性，也就是说， 维数低则均匀性好而维数高均匀性就差。而目前表 征棉条均匀性实际上是用不匀率来进行的，这是普 遍认可的参数。因此，首先需要通过时间序列的数 据证明分维数与不匀率是单调相关的。这样就需要 对随机振荡的检测数据按不同的不匀率重新组合， 然后对于每个不匀率的数据组计算分维数，从而可 以得到不匀率与分维数的关系。 岣 咖 逛 趟 趾 撩 罂 时同7 图1 棉条厚度信号和盒维数计算 通过8 台车检测，记录棉条厚度量数据形成了 每台车、每个不匀率的时间序列数据组。其中8 号 车由于不匀率过于集中在几个数据，而予以剔除。 如何从这些数据提取特征、形成参数，使得可以 由参

19、数值评判棉条不匀度的合格与不合格。以上问 题转换为寻找时间序列数据的特征和对应特征的参 数使得该参数与给出的不匀率是单调相关的。而合 格与不合格的不匀率分界值应该对应于特征的参数 分界值。本文利用盒维数作为分维数的特征参数。 分形维数算法： 设厂： 0 ，1 一R 连续，又设0 艿 1 ，如果是艿 网正方形与图形厂相交正方形的个数，则： 艿。1 R 小艿，( i + 1 ) d 7 五 2 m + 艿。1 R r 沾，( i + 1 ) 艿 z 石。 毋h ，f ： =s u pI ，( t ) 一，( u ) l f l I tu ( 2 其中，m 为大于等于艿。1 的最小整数。则： o i

20、 m 小娥笔訾 8 0一l o Z 0 设，为R 4 上任一非空的有界子集，( F ) 为直径 最大为艿，可以覆盖F 的集的最少个数。 对于时间序列的分维数计算需要足够的数据密 度，数据太少则误差很大，在实测数据中，有些车的 某些不匀率的数据量太少，最多与最少的数据量可 以相差万倍。因此，在运行以上算法前必须同样删 除数据量太少的8 号车的数据。删除后的结果用于 计算分维数的数据量，各车不同。图2 列举了1 号、 2 号和3 号车的分维数与不匀率的关系曲线以及不 同不匀率对应的数据量。为节省篇幅，4 号、5 号、6 号、7 号车的分维数与不匀率曲线从略。 赫 般 求 籁 媒 求 l l 羹，

21、求1 l 1 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 0 2 9 2 8 2 7 0 不匀率 2O607 O 809l0l112 ( a ) l 号车 不匀率 2 0 0 0 1 6 0 0 嫠 籁6 0 0 2 0 0 4050 60 7O80 910 0 4050607O8 0 910 不匀率 ( b ) 2 号车 不匀率 注：8 = O 0 0 9 5 图2 分维数与不匀率的关系及不同不匀率所对应的数据量 用以上算法计算棉条在不同均匀度下的厚度检 测数据的时间序列的分维数，从图2 图形的统计分 析，发现分维数与不匀率成正相关，即不匀率高则分 维数高。不满足这个规律的不匀率点小于9 。

22、当 完全均匀时分维数为1 ，是理想情况。假设合格棉 条的不匀率界限在1 2 处，则从图2 看出分维数近 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 2 0 0 5 年第3 期纺织学报 似等于1 3 8 。 4A 分维数与实时控制参数 分维数与不匀率的正相关性规律，是通过相同 不匀率数据集成后计算得到的。这是发现2 个不同 数据特征的相关性的必然方法。但是一方面，计算 分维数必须有一定量的数据，在控制器的实时控制 中，必须反映分维数的变化，而不能只计算统一的分

23、维数。因此需要寻找一个适当大小的窗口，作为分 维数计算之用，相当于计算分维数的数据量的标准 单位。通过数值实验，确定了窗口长度= I ，在同一个 不匀率的数据中，取A 个数据计算分维数，然后取 算术平均，称这样计算的分维数为A 一分维数。l 、2 、 3 号车的A 分维数( 纵坐标) 与不匀率( 横坐标) 的正 相关性如图3 表示。 赣 姆 求 一 14 0 ；： 求l3 4 土1 3 2 1 3 0 1 2 8 0 607O80 9 101 11 2 不匀率 ( a ) l 号车 不匀率， ( b ) 2 号车 籁 蒜 求 R霎坦 不匀率 ( c ) 3 号车 注：占= O 0 0 9 5

24、，A = 1 1 0 8 0 图3A 一分维数与不匀率的正相关性 由图3 看出，判定棉条均匀度合格的不匀率值 为1 2 ，对应的分维数显然是1 3 6 和1 3 8 之间。 5时间序列A 分维数与不匀率的同步性 通过对相同不匀率数据集成后计算，证实整体 盒维数与A 分维数都与不匀率成正相关，这反映了 棉条厚度时间序列数据的分维数与不匀率的客观规 律。但是作为控制系统实际可用的参数，还必须证 实，具有不同不匀率的随机排列的棉条厚度数据，即 没有通过相同不匀度的集成，同样可以用分维数来 表示均匀度质量。为此，对同一个A 数据区间计算 平均分维数和平均不匀率，然后以一个确定的步长 ( 作为时间单位)

25、 移动，仍以1 、2 、3 号车为例，分别 得到图4 所示的两个时间序列( 横坐标为数据区间， 纵坐标为平均分维数或平均不匀率) 。由图4 可清 楚地看出，分维数曲线和不匀率曲线具有高度同 步性。 赫 躲 求 霸 * R 碍 日 海 椭 露 牛 籁 蓁16 6 5 羁 * 上l6 6 0 1 1 得1 o 8 悻0 9 銎o s * O 7 上0 6 0 5 * 曰 悻 j I j | j 嚣 斗 R O1 02 0 3 04 05 06 07 08 09 0 数据区间丁 ( a ) 1 号车 01 02 0 3 0 4 05 0 6 07 08 09 0 O1 02 03 04 05 06

26、07 08 09 0 数据区间丁 ( b ) 2 号车 M 小 k 比 V 八 0l O2 03 04 05 06 07 08 0 数据区问了 ( c ) 3 号车 图4 一分维数与不匀率的曲线 6 结论 1 ) 棉条厚度信号数据的分维数与其不匀率成正 相关。 ( 下转第1 8 页) 醯的舛酡鼹弱舛 仍m粥5彤戛；彤加彤劢 6 6 6 6 6 6 6 6 6 LLLnnOOOOOn 加锯砸矾酡=2舛 如 五石石西石石5 5 西 L n n n n n 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to rem

27、ove the watermark 纺织学报 2 0 0 5 年第3 期 表3 计算的弯曲刚度和滞后弯矩与实测结果的比较 样品 计算的骨，( c N c m 2 c m 一1 )实测的曰偏差计算的2 舢( c N c m c m “) B B B ( c N c n l 2 c m 一1 ) 2 船+ 2 册一 2 肋 O 1 0 69 O 0 8 0O O 0 ( 而9 0 1 5 06 O 0 8 41 0 0 3 06 0 1 6 29 O 1 4 65 0 1 3 21 0 1 0 10O 1 0 390 1 0 591 8 90 0 2 34O 0 2 87O 0 2 6O O 0

28、r 7 54O 0 7 77O 0 r 7 891 4 80 0 3 46O 0 4 190 0 3 76 O 0 5 85O 0 6 27O 0 5 561 2 8 5O 0 4 560 0 5 4lO 0 4 96 O 1 4 45O 1 4 75O 1 4 931 1 40 0 r 7 1OO 0 9 3l0 0 r 7 68 O 0 6 890 c r 7 65O 0 7 541 5 10 0 2 l8O 0 6 37O 0 3 5O O 0 2 400 O ”3O 0 2 701 0 10 0 5 硒8O 1 2 0OO 1 0 3O 0 1 5 910 1 6 1OO 1 6 26

29、0 9 80 0 7 740 2 8 070 0 8 26 0 1 4 l0O 1 4 380 1 3 278 3 4O 0 5 59O 1 9 24O 0 6 29 O 1 2 010 1 2 610 1 2 183 5 00 0 4 52O 0 6 370 0 5 30 纬向0 鸺16 0 0 7 790 0 7 97O 0 7 821 9 5O 0 3 99O 0 8 59O 0 4 43 数代人方程组( 5 ) 和( 6 ) ，也可以把织物的弯曲滞后 弯矩计算出来。计算结果与实测滞后弯矩见表3 。 很明显，计算得到的2 H B 与实测得到的2 H B ( 见表 1 ) 完全一致。 4

30、结论 1 ) 织物在小变形下的弯曲性能可用标准线性固 体模型与摩擦元件并联组成的模型来表征。 2 ) 模型参数可以通过弯曲滞后曲线上的3 个点 和滞后弯矩来决定。 3 ) 织物的摩擦约束力偶是随着曲率的变化而变 化的，这导致实测的滞后弯矩2 肋+ 和2 册一( 后= 1c m “) 大于弯曲滞后曲线在力矩轴上的截距。 参考文献： 2 P 0 s n eR ，C a m a b yGA ，d e 如n gS M e c h 粕i c so fW 0 0 lS t n l c t u r e s M k n d o n ：E u i 8H a r w 0 0 dL t d ，1 9 8 8 A b

31、 b o t tGM ，G m s b e r gP ，k a fGAV n ee l a s t i cr e s i s t a I l c et o b e n d i n go fp l a i n w o v e nf 曲r i c s J JT e x tI n s t ，1 9 7 3 ，6 4 ( 3 ) ：3 4 6 3 6 2 3 d eJ 帆eS ，P 惦eR A ne n e r 盱舭8 l y s i 80 fw o v e n - f h 陆cm e c h a I l i c 8b y m e 删0 fo c a l - c o n t 而l 山e o r y ，

32、P a r t ：p u 咒- b e n d i n gp r o p 眦i e B J 】 JT 缸tI 璐t ，1 9 7 7 ，6 8 ( 3 ) ：3 6 2 3 6 9 4 G h 0 8 hTK ，B 岫sK ，B a r k e rRL 1 1 I eb e n d i n gb e I i o ro fp l a i n w o v e nf a 晡c s ，P 砒m ：t h ec 8 o fb i l i n 傀rt h r e 8 d - b e n d i n gb e h v i o r dt h ee c to f 鼬r i cs e t J JT e 毗I n

33、8 t ，1 9 9 0 ，8 l ( 2 ) ：2 5 5 一”1 5 K o 呻p 雠kM c o m p u t a t i o I l a l 船p e c t so f1 8 r g ed e n e c t i o n 肌a l y s i so f s l e r l d e rb o d i 船 A I n ：H e a d eJWS ，7 1 1 1 w a i t JJ ，A “r b a y a te d s M e c l 脚i c 80 fn e x i b l eF i b e rA s m b l i e s c ( N A l mA s Is e r i e s

34、 ) N e t h e d 鲫d s ：s 巧t l l N o r r d h 珊，A l p h e n 洲Id e nR 巧n ，1 9 8 0 2 7 5 2 9 2 6 u o y dD w ，s h a l l wJ ，K o p a k M n eb e n d i “go fh e “v y f 曲r i c s h e e 协 J I n tJh I e c hS c i ，1 9 7 8 ，2 0 ( 5 ) ：5 2 1 5 2 7 7 c h 印咖BM D e t e m i n a t i o no f t l I er h e o l o g i c a lp a

35、 r 锄e t e r so f f a b r i ci n b e n d i l l g J n 砒R J ，1 9 7 5 ，4 5 ( 2 ) ：1 3 7 一l “ 8 s l l iF e n 争j u n ，H uJ i I l l i ，Y uT o n 两S t u d y0 nb e n d i “g0 fw o v e n 胁r i c s J J o u m a lo fc h i n a1 h t i l eu n i v e 鹅i t y ，2 0 0 0 ，1 7 ( 1 ) ：5 1 5 6 9 G m 8 b e r gP 1 1 l em e c h 蛐i

36、 c a lp r o p e r t i e so fw o v e n 铀r i c 8 ，P a r t ：t h e b e n d i n go fw o v e nf 曲r i c s J 7 r “tR e sJ ，1 9 6 6 ，3 6 ( 2 ) ：2 0 5 2 1 1 1 0 G h o s hTK ，B a 衄sK ，B a r k e rRL 1 1 l eb e n d i n gb e h 8 v i o ro fp l a i n - w o v e n f a b r i c s ，P 丑I nI ：ac r i t i c a lr e v i e w J

37、 J1 1 e x tI 瑚t ，1 9 9 0 ，8 l ( 3 ) ：2 4 5 2 5 5 u | | - I | - l l | l I 】I - - l _ - _ | I _ | I 】| l | _ | - l I 】| 一 ( 上接第1 1 页) 2 ) 一定窗口宽度棉条厚度信号数量的分维数均 值与不匀率成正相关。 3 ) 棉条厚度的时间序列数据的分维数序列与不 匀率序列高度同步。 根据以上结论，分维数可以用于评价棉条的不 均匀情况，且较其它表征棉条不匀的特征参数更能 深刻地反映棉条不匀的自相似结构。 参考文献： 1 2 3 B e n o i tBM a n d e l b

38、r o t T h eF r a c t a lG e o m e t r y0 fN a t u r e 【MJ s f m F h n c i s c o ：WHF r e e m a n 锄dC o 1 9 8 2 谢和平，薛秀谦分形应用中的数学基础与方法 M 北京：科 学出版社，1 9 9 8 文志英分形几何的数学基础 M 上海：上海科技教育出版 社2 0 0 0 向向向向向向向向向经纬经纬经纬经纬经 1 2 3 4 5 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark