椭圆齿轮动态特性仿真研究.pdf

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1、第 3 0卷第 4 期 椭圆齿轮动态特性仿真研究 7 文章编号 ： 1 1 3 0 4 2 5 3 9 ( 2 0 0 6 ) 04 0 0 0 7 0 4 椭 圆齿轮动态特性仿真研究 ( 中 南大学机电 学院，湖南长沙 4 1 0 0 7 5 ) 王艾伦 马 强 刘琳琳 摘要研究了椭圆齿轮的动力学问题。以较为成熟的 圆齿轮动力学研究成果作为研究基础 ， 提 出 了包括 离心力因素和扭转加速度 因素的力学分析， 使用拉格 朗 日键合 图方法 ， 建立 了相应的动力学模 型 ， 并使用 S i m u l i n k软件对不同偏心率的椭圆齿轮进行 了仿真和对比分析。 关键词椭圆齿轮动力学特性键合

2、图 引 言 由于数控机床的发展 ， 椭圆齿轮的加工成本大大下 降， 现已广泛应用于机床 、 自动化设备 、 印刷机、 纺织机 械、 仪器及解算装置中， 作为 自动进给机构或用于实现 函数关系， 或用来改善运动和动力性能_ 4 J 。然而 ， 随着 这些机械的工作条件日益向高速、 重载发展， 使得非圆 齿轮的动态特性 日益凸显 ， 并直接影响到整个设备能否 正常、 高效的运行。这就使得对于非圆齿轮系统的动态 特性的研究成为一个十分紧迫和意义重大的课题。 目前对于圆齿轮的动力学问题 ， 国内外 已经有 了 相对成熟 的研究结果_ 1 2 ， 7 J ， 建立 了包括齿轮啮合动态 激励基本原理、 齿

3、轮振动分析模型 、 齿轮系统参数振动 学 9 9、 齿轮系统间隙非线性 动力学 1 等较 为成熟 的系 统理论和方法 。对于斜齿轮等特殊的圆齿轮的动力学 问题的研究也已有了不小的进展 _ 6 J 。而对于椭圆齿轮 的动态特性的研究却仍然处于空白阶段。由于椭圆齿 轮本身固有的质量偏心， 其在传动过程中所产生的振 动要比圆齿轮强烈得多。圆齿轮的内部激励主要是时 变啮合刚度、 轮齿传递误差、 啮人啮出冲击等。而椭圆 齿轮的内部激励除开上述 因素 ， 还有 因为偏心质量而 导致的离心力和因转速变化导致的惯性力所产生的振 动。椭圆齿轮与圆齿轮的另一本质区别就是在传动过 程中其轮齿啮合的法线方 向是不断变

4、化 的， 这使得椭 圆齿轮传动时 ， 其啮合力具有本质的动态特征 。 对于具有质量偏心 的回转 系统 ， 相对于 目前 的其 他各种建模方法 ， 拉格 朗 日键合 图方法具有其特殊 的 优势， 能方便的建立系统的模型。因此 ， 本文拟采用此 方法建立系统的数学模型。 l 动力 学模 型 的建 立 对于一对啮合 的椭 圆齿轮 ， 其尺寸大小是相同的 ， 为 了简单起见 ， 现将它们看成尺寸 、 密度等完全相同的 两个齿轮 。 现对椭圆齿轮做基本力学分析 ， 设轮 1 为主动轮 ， 如图 1 所示。 图 1 椭圆齿 轮力学 分析 设主动轮转速 为 c o 1 ， 位 置参数 为 1 ， 主动、 从

5、动 齿轮偏心率为 e ， 椭圆焦点到对称 中心的距离为 c ， 齿 轮质量为 m， 由理论力学可知 Fr 1 1 。 c。 m ； Fr 2 c o 2 。 c。 m ； Fo 】 一 】 c m ； 参 考 文 献 1 孙智民 ， 季林红 ， 沈允文2 KH行星齿轮传动非线性动力学 清华 大学学报 ( 自然科学 版) ， 2 0 0 3 ， 4 3 ( 5 ) ： 6 3 66 3 9 2 孙涛 、 沈允文等 行 星齿 轮传动非线性动力学模型与方程 机械工程 学报 ， 2 0 0 2 ， 3 8 ( 3 ) ： 61 0 3 郑建荣 A D A M S一虚拟样 机技术 入门与提 高 北京 ：

6、 机械 工业 出版 社 2 0 0 2 4 陈立平 ， 张云清 ， 任 卫群 等 机械 系统动 力学分 析及 AD A M S应用教 程 北京 ： 清华大学 出版社 ， 2 0 0 5 5 洪清泉 、 程颖 一种齿轮副模型及其在多体动力学仿真 中的应用 兵 工学报 ， 2 0 0 3 ， 2 4 ( 4 ) ： 5 0 9 5 1 2 6 郁 明山等 渐 开线 齿轮行 星传 动的设计 与制 造 北 京 ： 机械工 业 出 版社 ， 2 0 0 2 7 李润方 齿轮传动的刚度分析和修形方法 重庆： 重庆大学出版社， 1 9 9 8 收稿 日期 ： 2 0 0 5 0 7 1 1 收修改稿 日期

7、： 2 0 0 5 0 9 0 5 作者姓名 ： 张庆霞 ( 1 9 7 3 一 ) ， 女 ， 安徽寿县人 ， 硕士 ， 讲师 维普资讯 http:/ 8 机械传动 2 0 0 6正 2 一c O2c 。mo 式 中， 为齿轮转动时产生 的离心力 ， 为齿轮转速 发生变化时产生的惯性力 ， 为动态啮合力 。 根据先前对系统 的力学分析 ， 很显然 ， 这个系统是 一 个既做转动 、 又做平动的 6自由度系统 ， 现选广义坐 标为g G= 1 Y 1 1 X 2 y 2 2 T 。 设主动 、 从动轮的质量均为 ， 传动轴 、 轴承和箱 体等对 主动轮在 方 向上的支撑刚度 为 。 ， 在 y

8、方 向上 的支撑刚度为 。同理， 对于从动轮 ， 相应的支 撑刚度为 砭 和 。主动 、 从动 轮的转 角分 别为 和 2 。对于轮齿处的啮合刚度 ， 设其在 方 向为 ， 在 y方 向为 。 根据拉格朗 日键合 图理论 ， 6维惯性 场广义位移 向量为 g Jr = 1 Y 1 1 2 Y 2 2 T ( 1 ) 惯性场综合流变换矩阵 为 = ( 2 ) 其 中 乃= = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 一 CS i l l l CCO S l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

9、0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 一 CS i l l 2 CC0 6 2 0 惯 性 场 参 数 矩 阵 为 = 0 c 】 其中 I= l c= 肘 0 M 。 0 。 0 。 0 。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 O-1 J l l I J M 0 0 0 0 c 2 0 0 0 c 2 0 0 0 0 0 0 O O O 旋转矩阵 c c为 Cc= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c 2 0 0 0 c 2 c 0 s 1 s i nq ) l 0 0 0 0 s i nl C O S ) 1

10、0 0 0 0 O O 1 O O O 0 0 0 c o s 2 s i n o 2 0 0 0 0 s i nq ) 2 c o s o 2 0 0 0 0 0 0 】 设系统无阻尼 ， 则R=0 ， =0 6维容性场广义位移向量为 g c=f ( g G )= X 1 Y 1 ( X 1 一X 2 ) X 2 y 2 ( Y 1 + ： 尺 。d 。 一 y + ： d T 式 。 = , R 2 =2 a- 可知 gC 1 Y1 1一 2 y 2 Y 1 +R 1 1 一y 2 +R 2 则由 g c= g G可知流变换矩阵 为 = 另已知系统 刚度矩阵 K = 输入势向量 及流变换矩

11、阵 为 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 O O O O l 0 O O O 1 一 O O - 1 O O O O O O O R O 1 O O O 1 1 D 1 D D D O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 砭O O O O O 维普资讯 http:/ 第 3 o 卷第 4期 椭圆齿轮动态特性仿真研究 9 Es： O O l O O ， = l O O l O O O O O O O O O O l O O l O O O O O O O O O O l O v , ,2 J LO 0 0 0

12、0 1 根据通用拉格朗 E t 键合图模型所隐含的方程 ( g G+T t s q G )+ C c Cc t T G+ r ,f ( q G ) =Ts Es T R R G 容性场在广义坐标 q c下的表达式为 ( q G )= l 。 y 。 + ( y 。 + R 。d 。 一 y 2 + R 2d 9 2) l R 。 ( y 。 + 。 一 y 2 + J rr+2 I 一 I + 2 + 2 l y2 一 ( y 。 + 一 y 2 + l R c y 。 + J： R 。d 。 一 + J： d O O l O O r 2 综 合得 出系统 方程如 l 一朋rc s i n l

13、 l 一朋 rc c 。 s l l 2 + l Xl +K J l K J 2 = O M Y l Mc c 。 s l lMc s i n l l 2+ l Y l+ ( Y I+ ： R 。d 。 一 l，2 + ： ：d ： ) = 。 一 s i n l Xl+ 朋 r c c 。 s l l+ l+ Rl ( Y l+ ： R 。d 。 一 y + ,r R 2d ： ) = r 2一 朋rc s i n 2 2一 朋rc c 。 s 2 2 2一 l+ 2 X2+ 2 = 0 +Mc c 。 s ： ：一 Mc s i n ： ： z+ ： 一 ( Y 。+ ： R 。d 。 一

14、 l，2 + ： R ：d ： ： 。 一 s i ns o 2 X一2 +Mc c o s 2 一F2+ 2 一 R 2 ( Y l + J 0 R l d 9 l F 2 + J R 2 d 2 ) 2 从系统方程可以看出， 这是一个高 阶的非线性系 统 ， 齿轮的扭转振动和轴 向振动存在耦合 ， 系统 的振动 来 自于椭圆的偏心所产生的离心力和扭转惯性力。这 一 特性使得椭圆齿轮传动存在本质的动态特征。 2算 例 及 仿 真 以下应用该方法 ， 对于椭圆齿轮啮合时 ， 主动轮在 方向的振动情况进行仿真。 将相关参数( M=2 5 k g ， 0：0 5 m， c=0 4 m， g x l

15、 = l= gx 2= 2= 1 2 1 0 6 Nm ， =2 5 3 k g m 2 ) 带入 系 统方程 。通 过 S I M U L I N K软件 的仿 真 ， 观察 系统在 主 动轮输入恒定转 速 l r a d s 时 主动轮在 方 向的振动 情况 。主动轮的响应如图 2所示 。 将椭 圆齿轮长半轴不变 ， 焦距 c变为 0 2 m， 此 时 偏心率为 e=0 4 ， 则齿 轮的质量改变 为 m=3 8 2 k g ， 转动惯量 ， =4 2 7 k g m 2 ， 此时齿轮主动轮响应如 图 3 所示 。 将椭圆齿轮长半轴不变， 焦距 c变为 0 1 m， 此时 偏心率为 e =

16、0 2 ， 则齿轮 的质量改变 为 m=4 0 8 k g ， 转动惯量 ， =5 0 5 k g m 2 ， 此时齿轮主动轮响应如 图 4 所示 。 J馨 赋 昌 ： 、 2 J馨 骚 图 2 偏心率为 0 8 时 主动轮 响应 0 5 0 0 1 0 0 0 l 5 0 0 2 0 0 0 仿真时间 ms 图 3 偏心率为 0 4时主动轮响应 将椭 圆齿轮长半轴不变， 焦距 c变为 0 0 5 m， 此时 5 l 5 O 5 l 5 O 维普资讯 http:/ 1 0 机械传动 2 0 0 6正 偏心率为 e=0 1 ， 则齿 轮的质量改变为 m=4 1 4 k g ， 转动惯量 ， =5

17、 1 5 k g m 2 ， 此时齿轮主动轮响应如图 5 所示 。 吕 2 孽 联 吕 2 孽 骚 仿真时间 ms 图 4 偏 心率 为 0 2时 主动轮响应 图 5 偏心率为 0 1 时主动轮 响应 通过仿真还可以得知 ， 当系统 的偏心率为 0时， 主 动轮不存在振动 ， 运行完全平稳。即 ： 椭圆齿轮退化成 为理想圆齿轮 ， 离心力 因素和扭转加速度 因素的影 响 已经不复存在。 通过上述的仿真数据， 可用一个简单的曲线来表 示椭圆齿轮偏心率与主动轮振幅之 间存在 的关 系， 如 图 6 所示。 吕 2 孽 j 基 图 6 主动轮振幅与齿 轮偏心率问 的关系 3结 论 ( 1 ) 由于除

18、传动比函数不同之外 ， 椭圆齿轮与其他 非 圆齿轮并无本质差别 ， 因此本文所提出的方法 ， 不仅 适用于椭圆齿轮 ， 而且可以应用 于其他非 圆齿轮的动 力学分析。 ( 2 ) 从椭圆齿轮的偏心率减小逐渐退化为 圆齿轮 的过程中齿轮的振动情况可 以看 出， 椭 圆齿轮所具有 的质量偏 心， 是导致其振 动的主要 因素 ( 当偏心 为零 时， 振动也随之消失) 。 ( 3 ) 使用该方法对各种不同参数 的椭 圆齿轮进行 仿真 ， 反映出不同参数条件下 ， 椭 圆齿轮的振动情 况。 虽然齿轮的质量和转 动惯量发生 了改变 ， 椭 圆齿 轮的 振幅明显随着其偏心率 的增大而增大 ， 并且存在着近

19、似线性的关系。 参 考 文 献 l 李润方 ， 王建军 齿轮 系统动力学 北京 ： 科学出版社 ，1 9 9 7 2 李明 ， 孙涛 ， 胡海岩 齿轮传 动转 子 一轴 承系统动力 学的研 究进展 振动工程学报 ， 2 O O 2 ( 1 5 ) 3 3 张 尚才 工程系统 的键合 图模 拟和 仿真 北 京 ： 机 械工 业 出版社 ， 1 9 9 3 4 李福生 尹种芳 ， 张遵连等编著 非 圆齿轮与特种齿 轮传动设计 北 京 ： 机械工业出版社 1 9 8 3 5 郭世伟 ， 任 中全 ， 何万库 机 械振动 系统 的 M A T L A B仿真分析 煤矿 机械 ，2 O O O ( 1

20、2 ) 6 冯鉴 ， 郭世伟 基于 S i m uli n k的机械系统可视化建模仿真分析 煤矿 机 械，2 0 0 2 ( 6 ) 7 林江 ， 楼建勇 斜齿圆柱齿轮 传动系统动 力学模 型及动特性 试验研 究 机械工程学报 ， 2 0 0 3 ( 3 9 ) 7 8 R a ul G L o n g o r i a a n d Vin o o A Na r a y a n a nMo d e l a n d De s i g n o f a nI n e r ti a l V i b r a ti o n Re fle c t o r AS ME J o u r n a l o fMe c

21、 h a n i c a l De s i gn ， Vo 1 1 1 9， N o 1 ， p p 2 o2 7， Ma r c h 1 9 9 7 9 L e o n K o walc z y k，T h eG e c Il l y a n dKi n e ma t i c s o f aT o o t h e d g e a r o fV a ri a b l e M o t i onF i b e r sT e x t i l e s i n E a s t e r n E u r o p e v o 1 1 1 N o 3 ( 4 2 )2 O O 3 J u l y S e p t

22、 e mb e r l 0 R G P a r k e r N o nli n e a r D y n a n i R esp o n s e o f a s p u r g e a r p a i r ：Mod d l i n g a n d e x p e r i me n t a l c o m p a r i s o n s J o u r n alofS o u n d a n dV ib r a t i on( 2 0 0 0 ) 2 3 7 ( 3 ) ， 4 3 54 5 5 l l B D e me ule n a e r e， J De Seh u t t e r Ac c

23、 u r a t e Re a l i z a t i on o f F o l l o we r Mo ti o n s n Hi 一S p e e d C a m F o llo w e r Mec h a n i s m sP r 0 c e e d i I 1 g s of I S MA 2 O O 2 Vo l u me I I I 1 2 A h me t S a g i r l i ， Mu h a r r e m E r d e m Mod e l i n gt h eDy n tn l i c s a n d K i n e ma tic sof aT e l e s c o p i cRo t a r yC r a N e b ythe B o n d Gr a p h Me thod N o n l i n e a rDy l lt mi cs 3 3： 3 3 73 51 ， 2 0 0 3 收稿 日期 ： 2 0 D 5 O 8 2 2 作者简介 ： 王艾伦( 1 9 5 9一 ) ， 男 ， 湖南省长沙市人 ， 教授 ， 博士 m 8 6 4 2 0 4 5 4 3 2 0 0 4 维普资讯 http:/