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1、-1- 第1课时 函数的表示法 首页 课前篇 自主预习 一二 一、函数的表示法 1.(1)初中学过的3种常用的函数的表示方法是如何定义的? 提示:解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系;列表法:列出表格 来表示两个变量之间的对应关系. (2)教材P60P61问题1问题4,分别是用什么方法表示函数的? 提示:问题1、2是用解析法,问题3是用图象法,问题4是用列表法. 课前篇 自主预习 一二 (3)函数的三种表示方法各有什么优缺点? 课前篇 自主预习 一二 (4)做一做 某同学计划买x(x1,2,3,4,5)支2B铅笔,每支铅笔的价格为0.5 元
2、,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系. 函数的定义域是什么? 提示:1,2,3,4,5 y与x有何关系? 提示:y=0.5x 试用表格表示y与x之间的关系. 提示:表格如下: 课前篇 自主预习 一二 试用图象表示y与x之间的关系. 提示:图象如下: 课前篇 自主预习 一二 二、函数的图象 1.(1)初中我们已研究过直线、反比例函数及二次函数的图象,请 作出y=2x-1,y= ,y=x2的图象.观察这些图象有什么共同特点? 提示:共同的特点是由满足一定条件的点构成的,具体地说就是 将函数y=f(x)中的自变量x作为横坐标、对应因变量y作为纵坐标描 成点,所有的点即构成该函数的图象. (
3、2)如何作出函数y=f(x)的图象? 提示:将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个 点(x0,f(x0),自变量取遍函数定义域A的每个值时,就得到一系列这 样的点,所有这些点组成的集合(点集)为(x,y)|y=f(x),xA,这些点 组成的曲线就是函数y=f(x)的图象. 课前篇 自主预习 一二 (3)怎样判断一个图象所表示的是不是y关于x的某个函数? 提示:任作垂直于x轴的直线,若此直线与图象至多有一个交点,则 图象即为某个函数的图象. (4)如何由函数图象确定其定义域和值域? 提示:图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影 所表示的区间为值域. 2.做一做 下列
4、图形可表示函数y=f(x)图象的只可能是( ) 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 列表列表法表示函数法表示函数 例1 (一题多空题)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: 则f(g(1)= ;当g(f(x)=2时,x= . 分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对 应的值即可. 解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,f(g(1)=f(3). 由f(x)的对应表,知f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1. 由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2. 又g(f(x)=2,f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.
5、x=1. 答案:1 1 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思反思感悟感悟 列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数 图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接 找到,不需要计算. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 延伸探究延伸探究在本例已知条件下,g(f(1)= ;当f(g(x)=2 时,x= . 解析:f(1)=2,g(f(1)=g(2)=2. f(g(x)=2,g(x)=1,x=3. 答案:2 3 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 求求函数的函数的解析式解析式 例2 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,
6、求f(x); (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析 式; (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x). 分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即 可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因 此还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出 f(x)=ax2+bx+c(a0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将 f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-
7、x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1. 将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2, 得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, f(x)=x2-5x+6. (方法二)f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6, f(x)=x2-5x+6. (2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0). f(0)=1,c=1,则f(x)=ax2+bx+1. f(x+1)-f(x)=2x对任意的xR都成立, a(x+1
8、)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 (3)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, 将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得 f(x)=-3x- . 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思感悟 求函数解析式的四种常用方法 1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接将g(x) 代入即可. 2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函 数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程 (组)求出
9、待定系数,进而求出函数解析式. 3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的 解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入 f(g(x)中求出f(t),从而求出f(x). 4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的 函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系, 建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过 解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解 方程组法或消元法. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)
10、=2x-1,求f(x)的解析式; 解:(1)f(x)为一次函数, 可设f(x)=ax+b(a0). f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x1. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 函数函数的图象及应用的图象及应用 例3 作出下列函数的图象,并求其值域: (1)y=1-x(xZ);(2)y=2x2-4x-3(0x3). 分析:看函数的类型看函数的定义域描点、连线、成图. 解:(1)因为xZ,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图), 由图
11、象知,yZ. (2)因为x0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图),由图象 知,y-5,3). 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思反思感悟感悟 1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步 骤列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再 在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象. 2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时 要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶 点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点. 如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线 连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函
12、数的图象特征作出 函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域. (1)y=2x+1,x0,2; 解:(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5. 函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5). 图象如图所示. 由图可知,函数的值域为0,5. 由图可知,函数的值域为(0,1. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 因忽略变量的实际意义而致错 典例如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移 动,CQBP,Q为垂足.设BP=x,CQ
13、=y,试求y关于x的函数表达式,并 画出函数的图象. 错解由题意,得CQBBAP, 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正? 如何防范? 提示:以上解题过程中没有考虑x的实际意义,从而扩大了x的取值 范围而导致出错. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 正解:由题意,得CQBBAP, 防范措施防范措施从实际问题中得到的函数,求其定义域时,不仅要使函 数有意义,而且还要使实际问题有意义. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 变式训练已知一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,
14、下 底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为( ) 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( ) A.f(x)=-xB.f(x)=x-1 C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1 所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1. 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后 来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好 的图象是( ) 解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D, 首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C. 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表: 则g(f(g(-1)的值为( ) A.1B.0 C.-1D.无法确定 解析:g(-1)=1, 则f(g(-1)=f(1)=0, 则g(f(g(-1)=g(0)=-1. 答案:C