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1、-1- 2 微积分基本定理微积分基本定理 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 微积分基本定理 (1)条件:连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F(x). 名师点拨1.微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了 被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供 了一个简单有效的方法转化为计算函数F(x)在积分区间上的 增量. 2.用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)
2、=f(x)的函 数F(x),再计算F(b)-F(a). 3.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简函数,再求定积分. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 答案:F(x)=ln x+c(c为常数) 答案:7 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“”,错误的画 “”. (1)运用微积分基本定理求定积分与求导数运算是互逆运算. ( ) (2)因为被积函数f(x)的原函数不唯一,所以 f(x)
3、dx也不唯一.( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 求简单的定积分求简单的定积分 【例1】 求下列定积分的值: 分析:根据微积分基本定理,关键是求相应被积函数的一个原函 数. 解:(1)(x2+3x)=2x+3, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟由微积分基本定理求定积分的步骤及注意点 第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 第二步:计算函数的增量F(b)-F
4、(a). 注意:当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式, 便于求得函数F(x),再计算定积分. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练1求下列定积分: 解:(1)(x2+2)2=x4+4x2+4, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探
5、究三思维辨析 求分段函数的定积分求分段函数的定积分 分析:f(x)在区间0,3上的积分可按照f(x)的分段标准,分成在区间 0,1,1,2,2,3上三段的积分之和. 解:由定积分的性质知, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟计算分段函数的定积分 1.分段函数在区间a,b上的积分可分成几段积分的和的形式. 2.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,一般按照原函数 分段的情况分即可. 3.当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数 的定积分再计算. XINZHIDAO
6、XUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 微积分基本定理的应用微积分基本定理的应用 分析:先求出定积分,再利用函数奇偶性列出方程组求解. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 解:g(x)=x3+ax为奇函数, =0+(3a-b)-(-3a+b)=6a-2b. 6a-2b
7、=2a+6, 即2a-b=3. 3a-b=0. 由得a=-3,b=-9. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟定积分的逆运算是一个新的关注点和高考创新点,一般 是将积分上限或下限参数化,在求定积分的表达式后要求将其函数 化,然后再与函数的性质、最值等结合在一起进行考查,解决此类 问题的关键是分清各变量之间的关系. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练3已知t0,
8、f(x)=2x-1,若 f(x)dx=6,则t= . t=3或t=-2(舍). 答案:3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 因对定积分的被积函数的确定出错而致误 【典例】 求由抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0及y=0所围成 图形的面积. 易错分析:本题中阴影部分的面积不能用一个定积分表示,应先 分割成两部分再用定积分表示. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 解:由题意,
9、作出图形如图所示. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得1.利用定积分求平面图形面积时,一般要先画出它的草 图,再借助图形直观地确定出被积函数以及积分上限和积分下限. 2.当所求面积的图形边界不能用同一个函数来表示时,需借助定 积分的性质分段求解. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHU
10、O 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 A.6B.5 C.4D.3 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.若F(x)=x2,则F(x)的解析式一定不正确的是( ) 解析:(x3)=3x2, F(x)=x3不正确. 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5