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1、2 2. .2 2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 知识梳理 -2- 知识梳理双基自测231 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 f(x1)f(x2) 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测231 上升的 下降的 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测231 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 或 ,那 么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫做 函数y=f(x)的单调区间. 增函数 减函数 区间D 注意:从单调函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数,是 对定义域内某个区间而言的.有的函数在其定义域的一个区间上是 增函数,而在另一个区间上不是增函数.
2、例如,函数y=x2,当x0,+) 时是增函数,当x(-,0时是减函数. 知识梳理 -5- 知识梳理双基自测231 2.函数的最值 f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测231 3.常用结论 (1)函数单调性的常用结论 上升的 下降的 大于 小于 相同 相反 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测231 (3)设x1,x2D(x1x2),则(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在D上单调递 增;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性 相反. 知识梳理
3、2 -8- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数y= 在(-,0)(0,+)内是减函数. ( ) (2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是(0,+). ( ) (3)函数y=f(x)在区间0,+)内为增函数,则函数y=f(x)的递增区间 为0,+). ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测23415 2.已知函数f(x)在(-,+)内单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满 足-1f(x-2)1的x的取值范围是( ) A.-2,2B.-1,1 C.0,4D.1,3 答案解
4、析解析 关闭 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1f(x-2)1等价于f(1)f(x-2)f(-1). 又f(x)在(-,+)单调递减,所以-1x-21,即1x3.所以x的取值范围是1,3. 答案解析 关闭 D 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -11- 知识梳理双基自测23415 4.(教材例题改编P31例4)已知 ,x2,6,则f(x)的最大值为 ,最小值为 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -12- 知识梳理双基自测23415 5.函数 的最大值为 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭
5、 -13- 考点1考点2考点3 思考判断函数单调性的基本方法有哪些? -14- 考点1考点2考点3 -15- 考点1考点2考点3 解题心得1.判断函数单调性的四种方法: (1)利用已知函数的单调性,如已知f(x),g(x)为增函数,则-f(x)为减 函数,f(x)+g(x)为增函数. (2)定义法:一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论. 其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式连 乘(除)或平方和的形式,再结合变量的范围、假定的两个自变量的 大小关系及不等式的性质作出判断. (3)图象法:若f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,则可 由图象的上升或下降确定它的单
6、调性. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性. 2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法: (1)定义法,基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断. (2)可导函数可以利用导数证明. -16- 考点1考点2考点3 3.复合函数单调性的判断方法: 复合函数y=f(g(x)的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数 t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. -17- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练1设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在区间(0,1)内是增函数 B.奇函数,且在区间(0,1)内是减函数 C.偶函数,且在区间
7、(0,1)内是增函数 D.偶函数,且在区间(0,1)内是减函数 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -18- 考点1考点2考点3 例2求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; 思考求函数的单调区间有哪些方法? -19- 考点1考点2考点3 -20- 考点1考点2考点3 -21- 考点1考点2考点3 解题心得求函数的单调区间与确定单调性的方法一致,常用以下 方法: (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函 数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义，求单调区间. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出, 那么可
8、由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. -22- 考点1考点2考点3 (2)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是( ) A.(-,0)B.(0,+) C.(-3,1)D.(-,-3)和(1,+) 对点训练对点训练2(1)下列函数在(0,+)内是减函数的是( ) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -23- 考点1考点2考点3 考向一 利用函数的单调性求函数的值域或最值 思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数 的值域或最值? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -24- 考点1考点2考点3 答案 答案 关闭 A -25-
9、 考点1考点2考点3 -26- 考点1考点2考点3 考向三 利用函数的单调性解不等式 例5设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a- 1,1恒成立,则x的取值范围为 . 导学号74920007 思考如何解与函数有关的不等式? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考向四 利用函数的单调性求参数的值(或范围) 例6(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)内单调递 增.若实数a满足f(2|a-1|)f(- ),则a的取值范围是 . (2)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上具有单调性,则实数a的取 值范围为 . 思考如何利用函数的单调性
10、求参数的值(或范围)? -27- 考点1考点2考点3 答案 答案 关闭 -28- 考点1考点2考点3 -29- 考点1考点2考点3 (2)函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草 图如图所示.由图象可知,函数在(-,a和a,+)上都具有单调性,因 此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性,只需a1或a2,从而 a(-,12,+). -30- 考点1考点2考点3 解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点 的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求 解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解. 2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再 利用函数的单调性解决. 3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(M)0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大 小关系是( ) A.p=q B.pq D.当a1时,pq;当0loga(a2+1),即pq. 当a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数.故由 a3+1a2+1, 可得loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.综上可得pq. (2)当x0时,f(x)=x2,当x0,