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1、一类微分方程模型稳定性的数值模拟 摘要：数值模拟也叫计算机模拟。当前对于数值模拟的研究成果已经应用于诸多领域，如一类微分方程模型稳定性的数值模拟更是因为它能直观和准确地反映和解决问题而受到广泛的注意。而本文通过搜集数据和种群模型，一方面借助MATLAB编写程序从而实现对种群关系问题的直观表述，验证理论结果，另一方面尽可能地分析模型之间的联系，理解和分析问题的实质。关键词：数值模拟 稳定性 平衡点 微分方程1 前言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，微分方程稳定性的应用也越来越广泛。尤其当我们描述实际对象的某些特性
2、随时间或空间而演变的过程,分析它的变化规律，预测它的未来形态时，就要研究微分方程模型的稳定性。但是在理论上研究微分方程的稳定性并不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。由于理论本身的抽象性致使这种动态变化的过程不能形象地表述。而微分方程稳定性的数值模拟则弥补了这样的不足，它可以借助matlab等数学软件对方程解的集合进行几何描述，同时根据几何图形间接判断微分方程的稳定性。这是一个从抽象的稳定解的概念到形象的图形表示的过程，它能够直观地通过方程的解模拟图形，从而很好地帮助分析方程的稳定性。鉴于微分方程稳定性数值模拟的特点，本文主要从以下几个方面准备：首先，对本文的研究背景和
3、主要工作进行简单的论述；其次，对本文需要的知识点再进行简单的介绍；接着，从一类关于种群的微分方程模型入手，对这些方程进行数值模拟，同时尝试利用数值模拟的结果说明在一定范围内图形所具有的稳定性。利用微分方程平衡点稳定性结合图形，对两种生物种群的模型进行讨论分析。着重讨论微分方程的稳定性，突出数值模拟的优越性和微分方程平衡点稳定性在实际问题中的重要应用；最后对这些工作进行简单的总结。1.1 研究背景数值模拟是对具体对象抽取数学模型，然后用数值分析方法，通过计算机求解。经过几十年的发展，开发了许多不同的科学方法，其中有：（1） 差分法法；（2）有限元法；（3）数值积分法；（4）蒙特卡洛法等。而数值模
4、拟分析方法则是从结构化矩阵分析发展而来, 逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析。近年来数值模拟方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流等求解计算, 最近又发展到求解几个交叉学科的问题。究其原因主要是数值模拟存在以下特点：首先体现在它的理论意义上。它可以通过对复杂或不可观察的现象进行定量分析和对极端情况下尚不知的规则的推测和预测，实现对复杂现象的模拟，以助于认清现象的本质，弄清整个过程内含的规律。其次则是体现在数值模拟的现实意义上。它可以根据对研究现象和过程的数值模拟，优化结构设计或者工艺设计，从而减少试验工作量，提高产品或研究成果的质量。可以说, 继理论分析和科学试验之后, 数值
5、模拟已成为科学技术发展的主要手段之一。20世纪八十年代以来，国际数值模拟研究就取得显著发展，它已不仅是一种现代化的实验手段，而且已发展为具有独立特征的学科分支。而随着计算数学理论和方法的迅速发展和各种高级计算机语言的出现，使国内数值模拟技术更是得到更好的发展和应用。国内与国外的研究存在一个共同点,即对微分方程模型稳定性的数值模拟及它在各个领域中相关研究和应用的关注。然而,在这一现象之下却存在着差异。国外是建立在微分方程稳定性研究发展比较充分的基础上具有较大的开拓性和灵活性,而国内数值模拟的应用领域在很大程度上受国外研究方向和方式的影响。国内现在的研究一方面介绍微分方程稳定性理论在数值模拟方面的
6、扩展应用及国外研究近况,另一方面是探讨微分方程稳定性数值模拟在实践中的运用。基于这些事实可知在以计算机为基础的其他技术带动下，数值模拟技术必将发生更大的变化，并对微分方程理论证明方向的研究起到相当大的推动作用。而在众多关于微分方程稳定性模型中，以种群模型为代表的一类微分方程稳定性模型作为数值模拟研究的典型之一，它必将会得到更多的关注。1.2本文的主要工作本文主要以种群模型为例对一类微分方程稳定性模型进行数值模拟的研究。首先针对相互竞争和相互依存两种种群模型，对种群的演变过程进行数值模拟，验证理论结果；接着再对食饵-捕食者模型进行分析并进行数值模拟，最后尝试改进模型并运用数值模拟验证结论的可行性
7、。对模型进行改进时，主要考虑的内容如下：因为种群模型有相互竞争模型、相互依存及Volterra食饵捕食模型三种，所以可以从以下几个方面阐述。（1）首先，从两种群的竞争关系入手建立微分方程模型，并从理论上对模型的动力学性质进行分析，揭示两种竞争种群之间的数量变化关系。同时，结合生物学对模型作出相应的解释，并运用数值模拟验证结论的可行性；（2）其次，基于前两种种群模型是目前研究和引用较广的模型，改进和完善的空间不是很大，而Volterra食饵捕食者模型相对而言具有比较多的局限性，所以可以改进的空间比较大。（3）最后，对微分方程结构以及部分参数进行修改，达到改进和完善“食饵和捕食者”模型的目的，使之
8、可以与前两种模型比较并运用极限环把周期性变化的结构体现出来，同时通过数值模拟直观和准确地揭示问题的实质，验证理论讨论的正确性。2 预备知识2.1 二阶微分方程的平衡点和稳定性在这里，我们以二阶微分方程为例，简要叙述微分方程的稳定性理论。下面讨论以下形式的微分方程： （1）右端不显含t，代数方程组 （2）的实根称为方程（1）的平衡点，记为。如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足 （3）则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则，称P0是不稳定的（不渐近稳定）。为了用直接法讨论方法方程（1）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程： （4）系数矩阵记作：并假定A的行列式。于是原点是方程（4）的唯
9、一平衡点，它的稳定性由的特征方程：的根（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： （5）将特征根记作，则： （6）方程（4）的解一般有形式（）或（），为任意实数。由定义（3），当全为负数或有负的实部时是稳定的平衡点，反之，当有一个为正数或有正的实部时是不稳定的平衡点。微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（3）式得下列关于稳定性的结论。表1 ：由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性平衡点类型稳定性稳定结点稳定不稳定结点不稳定鞍点不稳定稳定退化结点稳定不稳定退化结点不稳定稳定焦点稳定不稳定焦点不
10、稳定中心不稳定由上表可以看出，根据特征方程的系数的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若A1：则平衡点稳定。若A2： 则平衡点不稳定。以上是对线性方程（4）的平衡点稳定性的结论，对于一般的非线性方程（1），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性，在点将和作泰勒展开，只取一次项，得（1）的近似线性方程 (7)系数矩阵记作：特征方程系数：, 。显然，点对于方程（7）的稳定性由表1或准则A1、A2决定，而且已经证明了如下结论:若方程（7）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（1）的稳定性与对于近似方程（7）的稳定性相同。这样，点对于方程（1）的稳定性也由准则A1、A2决定。2.2 微分方程与
11、极限环及其稳定性设系统 （8）具有闭轨线C。假如在C充分小邻域中，除C之外，轨线全不是闭轨线，且这些非闭轨线当t或t时趋近于闭轨线C，则说闭轨线C是孤立的，并称之为(15)的一个极限环.极限环C将相平面分成两个区域：内域和外域。如果极限环C的内域的靠近C的轨线当t+(-)时盘旋地趋近于C，则称C是内稳定(内不稳定的)；如果在极限环C的外域的靠近C的轨线当t+()时盘旋地趋近于C，侧称C是外稳定的(外不稳定的)；如果当t()时，C的内部及外部靠近C的轨线都盘旋地趋近于C，则称C是稳定的(不稳定的),如果当t()时，C的内外部的稳定性相反，则称C为半稳定的。3 一类微分方程模型稳定性的数值模拟3.
12、1 模型: 相互竞争的种群模型1、模型假设及说明:（1）、假设有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律，记,是两个种群的数量，是它们的固有增长率，,是它们的最大容量。（2）、当甲、乙两个种群在同一自然环境中生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比；甲对乙有同样的作用。（3）、：单位数量乙（相对于而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对于而言）消耗的供养甲的食物量的倍。表示的意义与之相反。（4）、可解释为相对于而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总量为1）。可做类似解释。2、模型的建立:3、稳定性分析：利用平衡点的稳定性分析，讨论时间
13、足够长以后两种群的变化趋势。分析结果列入表2。表2：种群竞争模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件，不稳定根据相轨迹的性质，相关文献中对于，的不同取值范围的情况已经进行了详尽的分析，概括如下：（1）、，。由表2知对于有0, 0。稳定；（2），。类似的分析可知稳定；（3），。在点0, 0，故稳定；（4），。由表2可知在点，0,故不稳定（鞍点）。4、数值模拟根据表2中的稳定条件，探究，在不同的取值范围内的情况。通过数值模拟验证其理论结果。探究1：设已知=0.5，=1.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始条件1：，；初始条件2：，。(1) 首先，建立m-文件model1.m如下：functi
14、on dx=model1(t,x)a1=0.5;a2=1.6;r1=2.5;r2=1.8;N1=1.6;N2=1;dx=r1*x(1).*(1-x(1)./N1-a1*x(2)./N2);r2*x(2).*(1-x(2)./N2-a2*x(1)./N1) ;（2）其次，建立主程序Untitled1.m如下： t,x=ode45(shier1,0 30,0.1 0.1);subplot(2,2,1)plot(t,x(:,1),t,x(:,2),r);xlabel(时间t);ylabel(种群密度x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(当初值分别为0.1,
15、0.1时 );subplot(2,2,2);plot(x(:,1),x(:,2),r); grid on;title(相轨线 (x1(t),x2(t);t,x=ode45(model1,0 30,1 2);subplot(2,2,3);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),r);xlabel(时间t);ylabel(种群密度x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(当初值分别为1,2时);subplot(2,2,4);plot(x(:,1),x(:,2),r); grid on;title(相轨(x1(t),x2(t);（图形：1）探究2：设已知
16、=1.5，=1.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始条件1：，；初始条件2：，。（图形：2）探究3：设已知=1.5，=0.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始条件1：，；初始条件2：，。（图形：3）探究4：设已知=0.5，=0.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始条件1：，；初始条件2：，。（图形：4）5、结果解释根据数值模拟的结果。（1）当，时，如图1所示。意味着在供养的资源的竞争中乙弱于甲， 意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终将灭绝，种群甲趋于最大容量，即、趋向平衡点。（2）当，时，如图2所示。在竞争甲的资源中乙较强，而在竞争乙的资源中甲较强。随着
17、时间的推移，有可能甲占优势，乙趋于灭亡。但也有可能乙占优势，而甲灭亡。究竟趋于哪个平衡点，由初始时刻两群生物的总数决定。（3）当，时，如图3所示。这种情况和（1）刚好相反。（4）当，时，如图4所示。因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可达到一个双方共存的稳定的平衡状态，这是种群竞争中很少出现的情况。显然数值模拟的结果可以很好地解释和说明理论结果。3.2 一类相互依存的种群模型自然界中两种群相互依存有三种形式：（1）甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长；（2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长；（3) 甲乙均不能独自
18、生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。下面分别对着三种情形进行讨论。3.2 模型1：种群的相互依存（情形1：）1、模型假设及说明：（1）以、表示甲、乙二种群在时刻的数量，表示甲种群的固有增长率, 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；（2）甲乙一起生存时，乙为甲提供食物、促进增长；（3）乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用；（4）乙为甲提供食物是甲消耗的 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的倍。2、模型建立:3、稳定性分析：利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两种群的变化趋势。分析结果列入表3。
19、表3 种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件不稳定显然，是甲乙相互依存而共生的平衡点，下面我们着重分析p2稳定的条件。由p2的表达式容易看出，要使平衡点p2有实际意义，即位于相平面第一象限，必须满足下面两个条件中的一个：由上面的分析知：仅在条A1件下p2才是稳定的，而在A2条件下p2是不稳，而是鞍点。关于这一问题，在相关文献中已经做了详尽的描述。4、数值模拟根据表3中的稳定条件，探究，在不同的取值范围内的情况。通过数值模拟验证其理论结果。探究1：设，初始值分别取：。(1)首先，建立m-文件model1.m如下：function dx=model1(t,x)r(1)=1.8;r(2)=1
20、.5;a=0.1;b=3;N(1)=1.6;N(2)=1;dx=r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2);r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1) -x(2)/N(2);(2)其次，建立主程序Untitled1.m如下：t,x=ode45(model1,0 8,0.1 0.1);subplot(2,2,1) ;plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值为 0.1 0.1时);subplot(2,2,2);plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值为 0.1
21、0.1时种群相轨线);t,x=ode45(model1,0 8,1 2);subplot(2,2,3);plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值为 1 2时);subplot(2,2,4);plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值为 1 2时种群相轨线);（图形5）探究2：设，初始值分别取：。（图形：6）探究3：设，初始值分别取：。（图形：7）探究4：设，初始值分别取：。（图形：8）5、结果解释根据数值模拟的结果。（1）当,时，如图5所示。甲为乙提供足够的食物，甲本身食物不足。随着时间的增长，甲、乙于是
22、达到一个双方共存的稳定的平衡状态；（2）当，时，如图6所示。甲和乙都无法给予对方足够的食物，因此种群乙灭绝，甲达到最大种群数量；（3）当时，如图7所示。由于甲、乙都能给对方提供足够的食物，因此甲和乙有可能共存也有可能乙灭绝，究竟趋于哪个平衡点，由初始时刻两群生物的总数决定；（4）当，时，如图8所示。乙为甲提供足够的食物，乙本身食物不足。种群乙灭绝，甲达到最大种群数量。显然数值模拟的结果可以很好地解释和说明理论结果。3.2模型2：相互依存的种群模型（情形2）1、模型假设及说明：与第一种情况的假设一样，只需要将修改为固有增长率。2、模型建立: 3、稳定性分析：利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长
23、以后两种群的变化趋势。分析结果列入表4。表4 独立种群相互依存模型的平衡点和稳定性稳定条件不稳定不稳定不稳定由P3点的表达式容易看出，要使平衡点P3有实际意义，即位于相平面第一象限（），必须满足下面两个条件中的一个：A1：1， 1， 1A2：1， 1， 1由表4可知，仅在条件下才是稳定的。 4、数值模拟根据表4中的稳定条件，探究，在不同的取值范围内的情况。通过数值模拟验证其理论结果。探究1：设，初始值分别取：。(1)首先，建立m-文件model5.m如下：function dx=model5(t,x)r(1)=2.5;r(2)=1.8;a=0.1;b=1.6;N(1)=1.6;N(2)=1;d
24、x=r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)-a.*x(2)/N(2);r(2).*x(2).*(1-b.*x(1)/N(1)- x(2)/N(2);(2)其次，建立主程序Untitled3.m如下：t,x=ode45(model5,0 8,0.1 0.1);subplot(2,2,1)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值为 0.1 0.1时);subplot(2,2,2)plot(x(:,1),x(:,2),grid on;title(初值为 0.1 0.1两种群相轨线);t,x=ode45(model5,0 8,1 2
25、);subplot(2,2,3)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值为 1 2时);subplot(2,2,4)plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值为 1 2两种群相轨线);（图形：9）探究2：设，初始值分别取：。（图形：10）探究3：设，初始值分别取：。（图形：11）探究4：设，初始值分别取：。（图形：12）5、结果解释根据数值模拟的结果：（1）当, ，1时，如图9所示。种群乙灭绝，种群甲达到最大种群数量；（2）当，1时，如图11所示.种群乙灭绝，种群甲达到最大种群数量；(4) 当, ，1时,
26、甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。显然数值模拟的结果可以很好地解释和说明理论结果。3.2 模型3：相互依存的种群模型（情形3）1、模型假设及说明：与第一种情况的假设一样，只需要将修改为死亡率即可。2、模型建立：3、稳定性分析：利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两种群的变化趋势。分析结果列入表5。表5 独立种群相互依存模型的平衡点和稳定性稳定条件不稳定4、数值模拟根据表5中的稳定条件，探究，在不同的取值范围内的情况。通过数值模拟验证其理论结果。探究1：设，初始值分
27、别。(1)首先，建立m-文件:7.m如下：function model7(t,x)r(1)=2.5;r(2)=1.8;a=0.1;b=1.6;N(1)=1.6;N(2)=1;dx=r(1).*x(1).*(-1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2);r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1)-x(2)/N(2);(2)其次，建立主程序Untitled7.m如下：t,x=ode45(model7,0 4,0.1 0.1);subplot(2,2,1)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值为 0.1 0.1时);s
28、ubplot(2,2,2)plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值为 0.1 0.1两种群相轨线);t,x=ode45(model7,0 4,1 2);subplot(2,2,3)plot(t,x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);grid on;title(初值为 1 2时);subplot(2,2,4)plot(x(:,1),x(:,2),grid on; title(初值为 1 2两种群相轨线);（图形：13）探究2：设，初始值分别。 （图形：14）探究3：设，初始值分别。（图形：15）探究4：设，初始值分别。（图形：16）5、结果解释根据
29、数值模拟的结果：（1）当, ，1时，如图13所示。种群甲、乙都灭绝；（2）当，1时，如图15所示。种群甲、乙都灭绝；(4) 当, ，1时, 如图16所示。甲、乙两种群将分别趋于非零的有限值，达到平衡状态。显然数值模拟的结果可以很好地解释和说明理论结果。3.3模型1：Volterra 食饵捕食者模型（不考虑人工捕捞）1、模型假设及说明：假设表示食饵在时刻t的数量，表示捕食者在时刻t的数量，即，表示食饵独立存在是以指数规律增长，与捕食者相对的增长率，表示捕食者独立存在时的死亡率，表示单位数量的乙（相对于）捕食单位数量甲（相对于）的能力，表示单位数量的甲（相对于）供养单位数量乙（相对于）的能力，表示
30、生存环境允许食饵的最大生存量，表示生存环境允许捕食者的最大生存量。2、模型建立：3、稳定性分析：利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两种群的变化趋势。分析结果列入表6。表6 独立种群“食饵捕食者”模型的平衡点和稳定性平衡点pq稳定条件不稳定表中可以看出是不稳定的点；当时，点是稳定点；当时，是稳定点。4、数值模拟根据表5中的稳定条件，探究，在不同的取值范围内的情况。通过数值模拟验证其理论结果。探究1：设，=25，=2则用MATLAB软件编程结果如下：（图形：17）探究2：设，=25，=2。（图形：18）探究3：设，=25，=2。（图形：19）探究4：设，=25，=2。（图形：20）5、结果
31、解释根据数值模拟的结果：（1）当时，如图17和图18所示，点稳定。食饵和捕食者共存，无论是食饵和捕食者的数量如何，只要同时存在二者就能分别趋向于非零的有限值，而且始终都不能达到自己环境所允许的最大值；（2）时，如图19和图20所示，点稳定。此时因为食饵供养捕食者的能力低于捕食者自身的基本生存要求，所以捕食者就慢慢灭绝了，而食饵则趋向环境允许的最大容量。显然数值模拟的结果可以很好地解释和说明理论结果。3.3 模型2:(考虑人工捕捞)1、模型假设及说明：与模型1的假设一样，只需添加捕食者掠取食饵的能力，表示食饵对捕食者的供养能力，e表示捕获能力系数。2、模型建立3、数值模拟设，=25，=2则用MA
32、TLAB软件编程如下：(1)首先，建立m-文件:7.m如下：function dx=model8(t,x)r1=1;r2=0.5;m1=0.1;m2=0.02;e1=0.1;N1=100;N2=35;dx=x(1)*r1*(1-(x(1)/N1)-e1*x(1)-m1*x(1)*x(2);-r2*x(2)+(x(2)/N2)-e1*x(2)+m2*x(1)*x(2);function dx=model9 (t,x)r1=1;r2=0.5;m1=0.1;m2=0.02;e2=0.3;N1=100;N2=35;dx=x(1)*r1*(1-(x(1)/N1)-e2*x(1)-m1*x(1)*x(2)
33、;-r2*x(2)+(x(2)/N2)-e2*x(2)+m2*x(1)*x(2);(2)其次，建立主程序Untitled7.m如下：t,x=ode45(model8,0 50,25 2);subplot(2,2,1)plot(t,x(:,1),t,x(:,2) ,gtext(x1(t),gtext(x2(t),grid on;subplot(2,2,2)plot(x(:,1),x(:,2), ,grid on;t,x=ode45(model9,0 50,25 2);subplot(2,2,3)plot(t,x(:,1),t,x(:,2) ,gtext(x1(t),gtext(x2(t),gri
34、d on;subplot(2,2,4)plot(x(:,1),x(:,2) ,grid on;（图形：21）（图形：22）4、结果解释根据数值模拟的结果：如图21和图22所示。当e越小时，相轨线收敛性越强。即捕食者和鱼饵数量均随时间波动，并且当人工捕捞量下降时捕食者和鱼饵的数量最大值均要高，捕捞成了影响它们数量变化的主要因素。这与实际自然界的情况相符，并且它们数量的变化符合生态系统种群之间的依赖关系4 总结本文以种群相互竞争模型、相互依存模型及Volterra食饵捕食者模型作为研究对象，讨论了两个种群在同一自然环境下生存时，某些因素的变化对两者相互关系影响。而这表现在微分方程的稳定性上，主要是
35、以参数和方程结构的变化对微分方程稳定性所起的影响为主。在整个研究过程中，主要有以下几点发现：（1）首先，在于这些模型结构之间的关系。简言之，它们的不同取决于相互作用项和自身规律项（繁殖和死亡）的正负号不同。因此将种群模型的上述三种形式，分别研究同时相互比较，对于理解和研究微分方程的稳定性有着不言而喻的作用。（2）再者，针对数值模拟的使用。一方面，相比纯数学的理论分析方法，在分析微分方程稳定性这一问题上，它能够更为直观地分析方程的稳定性。然而，它也存在一定的不足，即可能会因为参数设置的不合理，造成图像不能得到完整的展现，而影响人主观的判断。（3）最后，在本文讨论的内容上。不管是分析哪种形式的种群
36、模型，关键在于分析, 的取值范围。最后，针对本文完成，我在此先对老师的指导表示感谢。再者，鉴于本人对微分方程方程稳定性认知的局限性，不能做完美的解答，希望有更多人从更多角度出发，对这一问题有更为完整的阐述。5 参考文献1戴斌祥. 微分方程定性和稳定性方法M, 长沙：湖南大学出版社, 2006,178-200.2阳明盛Mathematica基础及数学软件M. 大连理工大学出版社，2006，9.3姜启源, 谢金星. 数学模型M, 北京: 高等教育出版社, 2007, 212-220.4 张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜.微分方程定性理论M北京：科学出版社，1985.5 马知恩.种群生态学的数学建模与
37、研究M.合肥：安徽教育出版社，1996.6Fan M, Zou X F. Global asymptotic stability of a class of nonautonomous integro differential systems and applicationsJ. Nonlinear Analysis, 2004,57:411-435.Abstract: the numerical simulation is also called computer simulation. The current research results on the numerical simula
38、tion has been applied in many fields, such as numerical simulation model for stability of a class of differential equations but also because it can directly and accurately reflect and solve problems and received widespread attention. And through the collection of data and population model, by means
39、of a program to realize the visual expression of MATLAB relationship of population problem, verify the theoretical results, on the other hand, as far as possible the analysis model of the link between, the essence of understanding and analysis of problems.Keywords: numerical simulation；stability；equilibrium point ；differential equation21