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1、中 国 矿 业 大 学本科生毕业论文学 院： 力学与建筑工程学院 专 业： 工程力学 论文题目： 基于边界元的煤岩体稳定性分析 二一三年 六 月 徐州中国矿业大学毕业论文任务书学院力学与建筑工程学院 专业年级 工程力学09学生姓名 金红全 任务下达日期： 年 月 日毕业论文日期： 2013年 2月 25日至 2013年 6 月 16日毕业论文题目：基于边界元的煤岩体稳定性分析毕业论文主要内容和要求： 设计要求：院长签字： 指导教师签字：中国矿业大学毕业论文指导教师评阅书指导教师评语（基础理论及基本技能的掌握；独立解决实际问题的能力；研究内容的理论依据和技术方法；取得的主要成果及创新点；工作态度
2、及工作量；总体评价及建议成绩；存在问题；是否同意答辩等）：成 绩： 指导教师签字： 年 月 日中国矿业大学毕业论文评阅教师评阅书评阅教师评语（选题的意义；基础理论及基本技能的掌握；综合运用所学知识解决实际问题的能力；工作量的大小；取得的主要成果及创新点；写作的规范程度；总体评价及建议成绩；存在问题；是否同意答辩等）：成 绩： 评阅教师签字： 年 月 日中国矿业大学毕业论文评阅教师评阅书评阅教师评语（选题的意义；基础理论及基本技能的掌握；综合运用所学知识解决实际问题的能力；工作量的大小；取得的主要成果及创新点；写作的规范程度；总体评价及建议成绩；存在问题；是否同意答辩等）：成 绩： 评阅教师签字
3、： 年 月 日中国矿业大学毕业论文答辩及综合成绩答 辩 情 况提 出 问 题回 答 问 题正 确基本正确有一般性错误有原则性错误没有回答答辩委员会评语及建议成绩：答辩委员会主任签字： 年 月 日学院领导小组综合评定成绩：学院领导小组负责人： 年 月 日摘 要在数学模拟方法中，以往只有“有限元方法”可以灵活的处理煤岩体复杂的非线性性状及地质的不连续性。近十余年来，边界元法已有很大发展，提供了求解煤岩体力学问题的另一种数值方法，无论是处理复杂的非线性因素，边界元法都具有它的特色，是一种简单而效率高的数值方法。煤层巷道的稳定性受地应力影响极大，分析不同地应力分布情况下煤岩巷道的稳定性对煤炭开采具有较
4、大的工程意义和指导作用。本文首先介绍了边界元的发展及基本原理，随后采用边界元算法，计算了不同地应力分布情况下煤岩巷道的位移场、应力场分布及其演化规律。计算表明在地应力与水平方向呈45时，巷道变形较为明显，容易失稳，因此，在实际开挖时，应尽量避免45角方向开挖深部煤岩层巷道。关键字：边界元法； 煤岩体稳定性；二维弹性问题； 间接边界元法； 直接边界元法；ABSTRACTThe finite element method was the only way to well solve the complex nonlinear behavior of coal and rock mass and g
5、eological discontinuity among all the mathematical simulation methods. During recent ten years, as a simple and high-efficient numerical method, boundary element method has been developed greatly, which provides an alternative method to deal with coal and rock mass mechanics and shows its specialty
6、in dealing with the complex nonlinear element. The stability of coal roadway influenced by crustal stress is great. Analysis the stability of the coal rock under different crustal stress distribution of coal mining has great engineering significance and guiding role. This paper first introduces the
7、development of the boundary element and the basic principle. Then it uses the boundary element method. Coal rock is calculated under the different in-situ stress distribution of displacement field, stress field distribution and its evolution regularity. Calculation shows that in crustal stress and t
8、he 45to the horizontal direction. The roadway deformation is relatively obvious. The roadway is easy to lose stability. Therefore, the actual excavation should avoid a 45 angle direction roadway excavation of deep coal strata.Key words: boundary element method; stability of coal and rock mass; two-d
9、imensional elastic problems; indirect boundary element method; direct boundary element method目 录1 边界元发展概况11.1 发展历史11.1.1萌芽与奠基期 ( 19501978 )21.1.2方法完善与初步应用期 ( 19781990 )31.1.3理论完善与广泛应用期(1990至今)51.2 我国边界元法研究概况51.3 岩体工程中边界元的发展62 边界元法基础82.1 概述82.1.1边界积分方程的建立82.1.2对于一般问题的推广102.1.3 Betti 定理、Kelvin解及 Somig
10、liana 等式112.2 本章小结133 几种常见的边界元方法143.1几种常见的问题143.1.1半平面问题143.1.2 Flamant问题163.2几种常见的方法183.2.1位势问题的边界元法简介183.2.2位势问题的间接法边界积分方程193.2.3虚应力法建立的边界积分方程213.2.4位移间断法建立的边界积分方程223.3本章小结234 案例分析244.1 案例设计及软件介绍244.2计算模型254.3参数设定及云图分析254.4.计算结果及分析284.5本章小结355 结论与展望365.1结论365.2展望36参考文献37翻译部分39致 谢46中国矿业大学2013届本科生毕业
11、论文 第 51 页1 边界元发展概况1.1 发展历史力学的问题应用到实际工程时，我们可以将其归结为求解定解问题的数学问题。不过，只有比较简单的问题可以通过数学推导得出问题的解析解，一般遇到的复杂问题都需要用实际有效的数值模拟方法来求解问题。边界积分方程边界元方法建立在有限元方法发展之后，成为了解决实际工程问题的一种有效而且比较广泛的数值模拟理论。边界元方法降低了问题的维数使这种方法更优于其他数值模拟的理论，这种方法通过设定边界上未知的一些量把他们作为基本量，根据问题的需要可以通过设定的量求解出求解域内的未知量。求解弹性力学问题时，边界元方法的解可以精确的满足求解域内的偏微分方程，因此边界元法优
12、于有限元法的方面是边界元法的解具有较高的精度。与此同时，在某一些相关情况下，例如：线弹性体的应力集中问题，有应力奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触的问题等，边界元方法比有限元方法更加有效、更加精确。边界元方法的这些特点，使边界元法得到了广泛的应用，并且受到了力学研究领域的重视。相对于边界元方法而言，比有限元方法有很多优势：首先，在解决问题时，边界元方法通过降低问题维数使求解问题更加简单，比如把比较复杂的空间问题简化为平面问题求解，这样有效地降低了问题的难度。其二，有限元法采用的是将求解区域进行离散化，边界元方法则是只把边界区
13、域离散，这样划分单元远小于区域划分，使得求解问题时需要求解的方程和求解所需要的数据都减少了很多，既节约了时间又降低了难度，然后，边界元方法不需要建立型函数，边界元方法直接建立在控制微分方程，以及对应的边界条件上，即使泛函无法建立，边界元方法也可以求解，而有限元就不可以了，所以这种方法可以求解无限域内的一些问题。最后，边界元法有较高的精度，因为他离散解析相结合，通过基本解来解决问题，精度提高。有优点也会有缺点，边界元方法在求解问题时需要知道基本解，也需要建立Green函数并且一些问题的基本解释不知道的，如非线性问题，因此，边界元方法不能求解。不过，边界元方法的使得在许多领域难以求解的问题得到解决
14、。被广泛应用到了许多领域。而且在力学当面取得了广泛的应用，也得到了丰富的成果，边界元的发展起步比较晚，但是边界元方法的发展取得了很大的进展，因为边界元方法解决问题的优势，很多人都为边界元的发展做出了贡献。常规边界元的弱点更为明显，举例如下：边界元方法求解问题时，所需要求解的代数方程是满阵，而且是非对称的，对于1000个边界点的二维问题，大概需要计算2000个自由度，这样对应的系数矩阵就有20000000个元素，其中元素是双精度的，因此，每个系数矩阵占有800M的储存空间。可想而知，边界元方法计算的难度，这样边界元方法只能够对某个关键构件进行分析计算，难以分析复杂结构。总体来开，边界元有优点也有
15、缺点，而且相对于有限元来说，在实际应用中也发挥自己的优势。边界元-有限元耦合法能够综合两者的优势，经过发展具有良好的应用前景。边界元法的发展可分如下几个时期：1.1.1萌芽与奠基期 ( 19501978 )50年代初期，MuskhelishVili ( 1953 )将积分方程的方法用于结构力学的分析，Kellogg ( 1953 )用积分方程的方法求解Laplace的问题，这便是边界元方法的前身。现代边界积分方程方法与Fredholm的工作有着直接关系，他讨论了建立在离散技术上的求解方法。关于间接边界元法的概念是Jaswon，Hess和Symm等研究形成的。关于直接边界元方法，曾出现在KuPr
16、adze的著作中，但更多的早期工作是Rizzo和Cruse用边界积分方程方法求解弹性动力学问题和经典的弹性力问题。在这一时期，Richard Shaw对波的传播问题的边界积分方程方法进行了广泛的研究。1960年，他完成了博士学位论文，并在其后发表了两篇重要论文，提出了有任意形状障碍的声波脉冲的瞬态散射问题的边界积分方程法。除此之外，他还对弹性动力学的间接边界积分公式、特征值问题、流固藕合问题、三维散射问题、渐近膨胀解和扩散问题等进行了研究。1963年，Jaswon 和 Ponter 讨论了扭转问题的积分方程方法，第一次利用了边界值和法向导数的积分关系。同年，Jaswon对Laplace方程由势
17、理论建立了边界积分方程的数值方法，为间接边界元法的提出作出了重要贡献。其后，Jaswon等人建立了平面弹性静力学的边界积分方程，提出了数值求解的有效途径，并首次用边界积分方程方法求解了板弯曲问题。1966年，Symm建立了保角映射下的边界积分方程。1969年他发展了边界积分方程在势问题包括热传导分析方面的应用。1967年，Rizzo 运用了Betti-Somighana公式建立弹性静力学问题的边界积分公式，指出了边界位移和面力的函数关系，这是文献中最早的一篇关于直接边界元方法的论文。虽然这些公式的数学理论源于KaPradze的著作，但是Rizzo以一种简明的形式提出了与当今边界元法有着密切联系
18、的公式。1967年，Cruse完成了直接边界元方法若干重要问题的推导，随后，Cruse与Rizzo和Shippy配合，对这些边界积分公式进行了数值求解，相继提出了直接边界元法的若干重要论文。边界元法实施的困难之一是积分奇异性的处理。Symm在70年代对二维势问题的边界积分方程中的积分奇异性问题进行了研究，并发展了计算软件。1973年，Brebbia、Watson等将边界积分方程应用于应力分析问题。1975年，Lachat完成了他的博士论文，第一次使用高次单元求解三维弹性静力学问题，彻底解决了边界积分方程中的奇异积分问题，大大提高了计算精度，为边界元法的发展作出了非常重要的贡献。1974年，Cr
19、use首先使用了曲面元建立了三维弹性应力分析的边界积分方程的新模式，为几何区域的更准确描述，提高边界元法的精度做了重要工作。Cruse还讨论了由边界面力获得表面应力、体积力向边界力转换技术、断裂力学问题以及对特殊形状的裂纹采用特殊的应力函数等。这些成果对现代边界元法的发展起了重要作用。1976年，Crouch建议用位移不连续法(Displacement Discontinuity Method，i.e.DDM)求解平面弹性问题，这是一种间接边界元法，它以单元均匀位移(不连续位移分量)为未知数，可以很便利地求解岩石力学问题，因而，Crouch被公认为是间接边界元法的开创者。1977年，Cruse
20、就固体力学的边界积分方程法，包括直接法和间接法的数学基础发表论文，是该方面最早、全面的系统性的理论著作。同年，Symm将直接边界元法应用于有界面的多介质问题，是非均质问题最早的具有开拓性的贡献。1978年Brady与Bray提出了一种四级 ( Quadrupoles ) 虚载荷用于模拟矿山薄层采场的变形，这种方法后来被确认为应力不连续法 ( Fietitious Stress Method，i.e.FSM )。DDM和FSM均可用于模拟裂缝或夹层，两种方法实质上相同，但DDM法更适合于裂隙、断层的模拟。边界元法 ( Boundary Element Method，i.e.BEM ) 这一名称是
21、Cruse于1973年首先提出，但之后的有关文章包括Cruse自己也没有再使用这一提法，而用的是边界积分方程法 ( Boundary Integral Equation Method，i.e.BIEM ) 。1977年，Brebbia和Banerjee重新使用了边界元法这个名称，边界元法从此有了明确的定义。1978年，由Brebbia编著的第一本边界元法专著出版，对边界元法的发展有着极为重要的意义，其重要性在于它指出了边界元法与其他数值方法特别是有限元法的关系，提出了如何用加权余量法来建立边界积分方程，初步形成了边界元法的理论体系，确立了边界元法作为一种数值方法的地位，标志着边界元法从此进入了
22、系统性的研究时期。1.1.2方法完善与初步应用期 ( 19781990 )1978年，第一届边界元法国际会议在英国南安普敦 ( Southampton ) 大学举行。此后，边界元法国际会议几乎每年一次在世界各地举行，迄今己举行了28次。大量论文和专著先后面世，发展之快、水平之高是前所未有的。1984年，边界元法国际性刊物Engineering Analysis Joumal创刊，它主要致力于边界元法研究新进展的宣传，为边界元法的发展起了重要的推动作用。从这些会议文集和各种刊物，如Engineering Analysis Journal、Compute rand Struetures、Int.J
23、oumal of Numerieal Methods in Engineering、Computational Mechanies)和Computer Methods in App1ied Mechanics and Engineering等登载的论文以及Brebbia和Banerjee等人的专著来看，这一时期边界元法的发展可归结为以下三个方面：在数学领域:虽然边界元法的发展是由计算机的迅速发展和广泛应用带来的，但也与近代数学理论的发展关系密切。边界元法在数学领域的研究，不仅解决了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式的统一进行了数学分析，为边界元法的可行
24、性和可靠性提供了基本的理论。Wendiand是研究边界元法数学理论的主要学者，其主要工作有：数值积分的渐近误差分析，有限元和边界元耦合方法的误差分析，边界元法解的稳定性，弹性力学和流体流动问题边界元法的数学理论，断裂力学边界元法的误差分析等。Hsiao等人在边界元法特别是有限元和边界元耦合方法的数学理论方面作了许多工作。近年来，一些学者将有限元理论中的区域分解方法引入边界元法，讨论了其数学理论。总的说来，边界元法数学理论的研究还落后于方法和应用的研究，与有限元法数学理论的研究尚有一定的差距，有待进一步研究和发展。在方法与应用领域:70年代以前，边界元法的研究仅仅限于解决以下几个方面的问题：流体
25、力学、弹性静力学、板弯曲问题、波的传播、势问题、断裂力学等，而且对于一些问题的研究也只是初步的尝试。现在，边界元法的发展已涉及很多工程和科学领域，几乎可以解决所有有限元法能够解决的问题。对于线性问题，边界元法的应用己经规范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟。边界元法在线性问题方面的研究和应用包括:弹性力学、瞬态弹性动力学、断裂动力学、断裂力学、稳态弹性动力学、动态板弯曲问题、板弯曲问题、壳体分析、温度场和弹性热应力、壳的动态响应分析、势问题(包括热传导、散射、扩散、势流、静电分析等)、瞬态势问题、波的传播、稳态势问题、流体力学、流体动力学、声学、反问题等。边界元法在非线性问题方面的研究与应用已
26、经涉及：非弹性力学(包括塑性、弹粘塑性、弹塑性、蠕变等)、非弹性动力学、非弹性断裂动力学、非弹性断裂力学、非弹性壳体分析、非线性势问题、弹性有限变形、非线性断裂力学、含时间的非线性势问题、非线性瞬态热分析、材料非线性热分析、非线性板壳分析、岩土力学、非线性瞬态波的传插、非弹性有限变形等。相对来说，边界元法与其他数值方法(主要是有限元法)的耦合方法发展比较缓慢。目前，边界元与有限元耦合方法的研究和应用主要涉及以下几个方面：非线性问题、断裂力学；弹塑性力学、岩土力学、势问题、流固祸合问题、弹性力学、土动力学、热分析、电力工程等。在工程和工业技术领域，边界元法的应用已涉及到：采矿、土建、结构优化、机
27、械、电力、地震、航空、地质、汽车、水工、桥梁等诸多方面。在应用软件领域:边界元法作为一种数值方法，其应用要通过计算程序来实现。这种计算程序作为应用软件，是随着边界元法的发展而发展的。Brebbia在边界元法的第一本专著中就附有简单的计算程序，这个程序为其后许多计算程序的研制建立了模式，为边界元法应用软件的发展和边界元法的应用都起到了良好的推动作用。1978年以后，随着边界元法国际会议在世界各地逐年举行，陆续有边界元法应用软件的新成果问世。1982年，在第四届边界元法国际会议上，英国南安普敦大学的Danson介绍了他们研制的边界元分析程序包BEASY，这是国际上第一个边界元法大型软件。1985年
28、以来边界元技术国际会议在世界各地举行，它着重于边界元计算技术的研究和应用、包括工程应用、计算技术和工业应用等，为边界元应用软件的发展起到促进作用。但是，随着计算机技术的迅速发展，计算机软件已成为商品，稍稍复杂一点的计算程序都不会无偿地在文献中发表。现在，以边界元法为内容的部分书籍和文献中附有简单的程序，是以教学为目的，着重说明边界元法的基本理论和方法，供读者学习边界元法时参考，只具有初等实用价值，所解的问题也只是简单的线性问题。1988年，Maekerle和Brebbia在文献中从软件的来源、类型、应用范围、前后处理、元素库、材料性质、特殊功能和硬件准备等多方面对135个边界元法应用软件进行了
29、归纳。基本上反映了这一时期边界元法应用软件的发展水平和趋势。可以看出，这一时期边界元法应用软件的发展取得了一定的成绩，但与应用于各个领域的边界元法本身的发展及计算机软件技术的发展尚有一定距离。现在，边界元法应用软件己由原来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序包发展，已经形成的较大程序包有BEASY(英国)、CA.ST.OR(法国)、BETSY(德国)、SURFES(日本)、EZBEA(美国)等。其中，BEASY在当今边界元应用软件市场可谓独占鳌头，在英国、美国、法国和日本等国的大学、研究所和公司得到了一定的应用。但是，可以说，边界元法程序包无论在质量上，还
30、是数量上均与有限元法程序包的发展有一定差距。要想使边界元法象有限元法那样得到广泛应用，还必须发展各种各样的高质量的通用程序包。1.1.3理论完善与广泛应用期(1990至今)90年代以后，边界元法在以下几个方面得到进一步发展：（1）数学理论的完善边界元法像有限元法那样在收敛性、误差分析和各种不同的边界元形式的统一等方面形成较规范的数学理论。（2）方法与应用的开拓随着边界元研究的深入，解决各种非线性问题的边界元法己有不同程度地发展和完善，边界元法的应用范围进一步拓宽。（3）应用软件的开发随着边界元方法和理论的完善，已有更多功能齐全的边界元法通用程序包问世，促使边界元法得到更广泛的应用。预计不久的将
31、来，边界元法的应用将与有限元法互为补充。但尚难以并驾齐驱，有待进一步发展。1.2 我国边界元法研究概况我国的边界元法研究起步于20世纪70年代末期，清华大学的杜庆华在推动我国的边界元法研究方面起了重要作用。在他的创导下，从1985年开始每3年举行一次全国工程中边界元法叙述会议。前6次依次在重庆、南宁、武汉、南京、北京、重庆举行，第7次于2003年在秦皇岛和全球华人边界元和无网格法学术讨论会共同举行，第8次于2006年在合肥与亚太国际工程数值方法学术会议共同举行，第9次于2009年10月在南京与亚太国际工程数值方法学术会议共同举行。由杜庆华和日本境界要素法研究会的田中正隆（M.Tanaka）和小
32、林昭一（S.Kobayashi）发起，从1987年开始每3年举行两次中日边界元法学术会议。举办的依次为：日本的轻井泽（1987），北京清华大学（1988），日本东京的八王子（1990）北京清华大学（1991），日本北海道的札幌(1992),上海同济大学（1993），日本九州的福冈（1995），北京清华大学（1998）。除此之外，1986年杜庆华在清华大学组织召开了一次边界元法的国际会议，2002年，姚振汉和M.Aliabadi联合主持了第3届国际边界元技术学术会议（BeTeQ 2002）。20世纪八九十年代国内在边界元法及其应用研究方面成果较突出的有：清华大学工程力学系的杜庆华、姚振汉、岑志章
33、的研究组（固体力学线性、非浅性问题）；西安交通大学工程力学系的嵇醒、楼志文等（固体力学线性、非浅性问题），嵇醒后来转到同济大学；上海交通大学工程力学系的张永文（断裂力学），鲁船敬（流体力学）等，华中理工大学工程力学系的黄玉盈（流固耦合）、钟伟芳（弹性波传播）等，武汉大学数学系的冯振兴（可动边界问题）；西北工业大学的叶天麒（固体力学）；中国科技大学黄茂光的研究组（板壳问题）；合肥工业大学土木系王有成的研究组（板壳问题）等。中国科学院数学与系统科学研究院的余德浩则师承冯康，在自然边界元法的数学理论方面成果突出。我国先后出版了多本有关边界元法的专著，其中：面向工科专业的代表性的有杜庆华等1989年在
34、高等教育出版社出版的边界积分方程边界元法的力学基础与工程应用，嵇醒等1997年在同济大学出版社出版的边界元法进展及通用程序等；面向数学专业的有祝家麟1991年在科学出版社出版的椭圆边值问题的边界元分析，余德浩1993年在科学出版社出版的自然边界元方法的数值理论等；与工程密切结合的有申光宪2005年在科学出版社出版的多极边界元方法和轧制工程等。此外还有秦荣关于样条边界元法的专著、孙焕纯关于无奇异边界元法的专著、田宗若的有关复合材料分析的边界元法的专著、杨德全的包含流体力学边界元法内容的教科书，以及一些针对一定应用背景的书籍等。大陆学者在边界元法的工程应用方面做出突出贡献的可以提到：清华大学张楚汉
35、运用动力边界元法与断裂力学原理提出重力坝地震断裂与拱坝裂缝扩展模型，在边坡与地下工程研究方面提出了时域边界元与离散元耦合模型；太原重机学院黄庆学、燕山大学申光宪等将边界元法用于延长型轧机轴承寿命研究，取得突出成果。与国际同行相比，我国边界元研究较大的差距在于边界元软件的开发及其在工程应用中的推广，国内至今还没有得到较广泛的实际应用的边界元法应用软件。1.3 岩体工程中边界元的发展岩体工程领域遇到的问题比较适合用边界元的方法，对于一般的岩体工程问题，设定好边界条件后就可以用边界元方法进行解决，但是，一般情况下，普通的边界元方法只可以解决理想的弹性问题，并且要求岩体的材料是各向同性的，然而，在实际
36、情况下，岩石是不能满足理想状态的，因此，边界元方法不能广泛的应用于岩石工程领域，经过几十年的发展，边界元方法只是在理论领域有了较大的发展，而在工程实际应用方面相对落后，即使有研究实际工程问题的文献，也只是简单的介绍，所以边界元的发展在工程领域较慢。不过也有一些学者有较大的贡献。比如，姚振汉与杜庆华总结边界元应用在最近发展的研究中介绍了二维问题含缺陷弹性体移动接触情况下的边界元方法，而且简单介绍了边界元快速算法，使边界元在岩石工程领域展示了广阔的前景，一些学者研究洞室开挖等实际问题并且编写相应的软件，也有学者研究巷道稳定性，并进行实际参数的测定，通过边界元计算软件进行计算得出正确的结论，例如，曾
37、留伟将边界元方法与电脑计算软件相结合，求解了三维状态下地下洞室的开挖问题，找到了洞室变化的规律，经过总结并加以整理得出了洞室围岩的稳定性。刘兴业利用边界元方法对围岩的应力以及变形进行研究，给出了测定围岩稳定性的几种方法。虽然，边界元方法在工程领域发展迟缓，经过近期多位学者的努力，也取得了较大的成就，系统的得出了一些计算方法和基本理论，为以后的发展铺平了道路。2 边界元法基础2.1 概述本章通过介绍边界元法的基本思想及其基本公式，结合地下矿山实例进行模拟计算与分析，获得了满足采矿工程问题需要的、有实际意义的结果。借助计算机软件Rocscience软件，通过对深部煤层巷道的岩体边界稳定性进行分析，
38、通过选择施压角度、各点线受力分析、水平及垂直方向的应力位移，采用数值统计得出受力位移曲线，进而对煤岩体稳定性进行分析。物理问题中，我们经常遇到的是位势相关问题，也就是我们经常求解的调和方程，在求解调和方程时，我们通常建立所求问题的边界积分方程，然后再将建立的边界积分方程进行推广，本章节，我们首先推导边界积分方程，然后将这种研究方法推广，在一般的偏分方程方面进行研究，最后，以位势问题作为我们推导边界方程的实例，通过位势问题介绍边界元方法。本章设计思路：首先建立边界积分方程，然后对一般问题进行推广，最后介绍Betti 定理、Kelvin解及 Somigliana 等式，从而对边界元方程进行理论研究
39、。2.1.1边界积分方程的建立首先利用空间域或者上任意一点的调和方程的解，积分方程为（即边界变量的表达式）： （2.1）这样我们就建立了边界积分方程，只需要将奇异点P（基本解的奇异点）从域或者内趋于边界点p，如图1.1所示。于是得到： （2.2）或者用指标符号写成 （2.3）其中 （2.4）是如图1.1所示为把不满足Green等式应用条件的奇异点从积分域中除去而作的以为半径的球面，是小球面各点指向p点的外法线方向。不难得证，对于光滑边界，而对角点p则，为角点处在域内一侧度量的立体角（即内角）的弧度数。如果对最一般的情况把边界S分为给定函数值的部分和给定法向导数的部分，则（2.2）式还可以改写成
40、（2.5）其中和为边界给定量。对于边界每点有一个边界未知量：上的或者上的。而这一边界积分方程的奇异点也可以选取在边界上的任意点，对于这样的问题，在数学上是是定的。建立了这样的边界积分方程，这种方法通过设定边界上未知的一些量把他们作为基本量，根据问题的需要可以通过设定的量求解出求解域内的未知量，这样我们逐步进行求解：通过设定边界上未知的一些量把他们作为基本量，根据问题的需要可以通过设定的量求解出求解域内的未知量。通过推导我们可以看出，调和方程的边界积分方程可以从Green等式出发建立起来。从更有普遍意义（即适用于许多不同问题边界积分方程的建立）的角度来看，建立边界积分方程的过程可以看成：算子的基
41、本方法不需建立权函数作为算子基本解，按照加权余量法的基本方法建立边界积分方程；建立方程后应用Gauss方法把边界积分和域内积分进行相关链接，进而得到，求解域内域点P的解，然后我们再用边界变量表示；再得到方程最后将基本解点P（所谓奇异点）趋于边界点，得到边界积分方程。这个过程可以简称为用加权余量法建立边界积分方程。对于二维位势问题，可以用同样的方法由二维Laplace方程出发来导出相应的边界积分方程。得出域内解的积分公式为 （2.6）相应的边界积分方程为 （2.7）或者写成 （2.8）其中用表示二维域的边界，基本解为 （2.9）其中是任意选定的一个距离标尺，具有长度的量纲，数值可以是1或者根据实
42、际问题的几何尺度选定某个数。这里的之所以要有长度量纲是因为对数是个超越函数，该函数的自变量必须是无量纲的。将（2.8）式用指标符号表示，即 （2.10）其中，对于二维问题的指标用希腊字母表示，其取值范围为1,2。2.1.2对于一般问题的推广对于二维域上的一般二阶线性偏微分方程： （2.11）其中微分算子为： （2.12）即： （2.13）引入权函数，按照加权余量格式，令： （2.14）利用Gauss公式可得（2.15）:其中可定义： （2.16）微分算子称为算子的共轭算子，一般情况下为了进行相应于前面所述的推导应使权函数满足方程 （2.17）即：取共轭算子的基本解为权函数。对于特例： （2.1
43、8）称算子为自共轭算子，对于二阶线性微分算子而言，自共轭的条件即：是常系数，且。显然调和算子就是一例，因此可取算子的基本解作为权函数来推导边界积分方程。对于非自共轭情况，应取共轭算子的基本解为权函数。2.1.3 Betti 定理、Kelvin解及 Somigliana 等式为了以比较直观的方式来建立弹性静力学的边界积分方程，可以将Betti功互等定理（简称Betti 定理）作为推导的出发点，我们简单介绍一下互等定理，为后面的推导提供理论依据。弹性体一般有2种平衡状态：，造成的，和他的，造成的。接下来我们计算，在消耗的功，我们可以采用平衡方程或者Gauss公式就可以求出相应的值： （2.19）利
44、用应力应变的关系可以写出： （2.20）于是又（2.19）式不难得出 （2.21）此式即为Betti 定理，它可以叙述如下：假如同一弹性体承受两组体积力和表面力的作用，那么第一组力，在由第二组力所引起的位移上所做的功等于第二组力，在第一组力所引起的位移上所做的功。在实际应用中，这两组荷载与相应的变形状态中通常一组是待求的真实状态，而另一组是为求解方便而引起的辅助状态。我们为了弹性静力学的边界积分方程，需要在点处作用一个单位集中力，而这个力引起的辅助状态变形后，满足一定的方程为，这个方程为： （2.22）这个辅助问题称为Kelvin问题，是有经典的解析解的。设集中力沿方向作用于坐标原点（图2.2）。它在边界上满足的条件是：原点处应力奇异性与集中力是保持一致的；所有的应力分量在无穷远处为0。我们对集中力的解释为取一个小球洞，在其表面上