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1、随风潜入夜 润物细无声 -浅论高中数学新教材对中学生数学思维与思想方法的培养 摘要 本文通过对高中数学新教材中所蕴含的数学思想与方法的挖掘，从联想与类比、化归与转化、综合与分析、归纳与递推、分类与讨论、一般与特殊以及数形结合的思想与方法等几个方面，阐述了高中数学新教材中的数学思想与方法对中学生数学思维能力的形成和发展的培养功能，对高中数学新教材在中学生数学思维能力的培养和思维品质的提高所起的作用进行了总结。关键词：数学 思维 思想 方法正文数学教育的目标是使受教育者能够运用数学的观念、方法去发现和解决实际问题。因此，培养中学生的数学思维能力与思维方法已成为中学数学教学的核心。怎样使学生学会选择
2、正确的思维方法与方向，调控思维的过程，提高思维活动的效率，掌握克服思维障碍的方法，达到提高学习能力的目的成为每一位教师追求的目标。高中数学新教材在编写上注重了数学思想与方法对中学生数学思维能力的培养与发展，确保了这一目标实现的达成度，在以下几个方面尤为突出：一、联想与类比的数学思想与方法联想与类比的数学思想与方法是以已有的数学知识和经验为基础，以所掌握的一些基本问题的解决方法为条件，以类比推理为手段而使问题得以解决的思维方法。联想偏重于思维的发散，主要有：类似联想、接近联想、相反联想、方法联想等；类比偏重于对两类对象性质的比较，主要有：一般与特殊的类比、生疏与熟悉的类比、复杂与简单的类比、低维
3、与高维的类比等。联想与类比的思想与方法在新教材中体现得较多，如在数学必修算法的概念一节中，根据二元一次方程组的求解过程，归纳总结出求解二元一次方程组的解题步骤，利用联想与类比的方法求解方程组（a1b2-a2b10），从而得到求解二元一次方程组的一个算法，降低了学生的思维难度。二、化归与转化的思想与方法化归与转化的数学思想与方法就是把待解决的问题通过某种转化过程，归结到已经解决或易解决的问题上，通过对新问题的求解而使原问题得以解决的思维方法。化归与转化的思维的主要方向是将未知问题转化为已知问题、将复杂问题转化为简单问题、将高次问题转化为低次问题、将多元问题转化为一元问题、将空间问题转化为平面问题
4、等。常用的方法有：换元法、参变量法、坐标法、向量法、将空间问题转化为平面问题、构造辅助命题或数学模型等方法，从而达到化难为易、化繁为简、化未知为已知的目的。例如，在数学必修137页例2的问题解决中，将数学问题转化为利用随机模拟的方法，通过实物模拟或计算机模拟求得事件A的概率；在数学必修变量间的相关关系一节中，通过研究人体的脂肪百分含量与人的年龄之间的数据关系的散点图，得出了人的年龄与人体内脂肪含量之间存在着一定的关系的结论，利用这种对应关系来说明随机变量是一种特殊的函数：是将随机试验的结果（事件）映射为实数，即：随机试验中的基本事件的全体组成一个事件空间，事件空间中的每个基本事件都有数轴上的点
5、与之对应，随机试验的结果组成的集合相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。这样，随机变量X即可理解为是定义在事件空间上的取值为实数的函数。通过将函数模型的引入，将不同的对象有机地联系起来，使随机变量的概念更利于学生理解与掌握。参数的数学方法是数学方法中的重要方法，恰当地引入参变量，能够沟通问题的条件与结论，减少要研究的变量的个数；或将所要研究的方程、不等式等数量关系化归为熟悉、简单的数学模型，降低问题解决过程中的思维难度。在图形问题中，借助参变量来描述主变量x或y的变化，建立图形中的各个变量之间的联系，可起到对曲线的变化过程进行定量分析的作用。参变量的选取以能否降低问题解决过程
6、中思维的难度，简化解题过程为标准，通常选择角作为参变量，它的优点是：1、将无理式转化为有理式，以避免两边平方等有理化的运算；2、利用三角函数的有界性及单调性进行求最值的运算；3、利用三角函数的平方和关系把数量关系向圆锥曲线的标准方程化归，以利于数形结合思想的运用。图形中的参变量通常选择斜率、长度、数量等具有几何意义的量作为参变量，使参变量能够反映已知量和未知量的关系。参变量的取值范围可根据使问题成立的条件(组)来确定，在列出条件(组)时要注意将使问题成立的条件一一列举出来，并将条件组等价地转化为仅含所研究的参变量的一个简单的不等式来确定参变量的取值范围。在分析问题时，可以利用数形结合的思想与方
7、法，将所研究的含有参变量的方程或函数关系式表示成对应的曲线，通过讨论曲线的位置关系来确定参变量的取值范围；或将所研究的某一个变量看成是参变量的函数或将参变量看成是另外一个变量的函数，通过研究定义域、值域或函数的有界性来确定参变量的取值范围。与引参相对的是消去参数，常用方法有：代入消去法和加减消去法；类似于解方程组的过程，即把方程中的主变量看成系数，参变量看成主元进行运算；利用三角公式消去参变量，主要利用三角恒等式中的平方和关系、万能公式等进行消参；利用比例的性质消去参变量，主要利用等比定理、合比定理、分比定理、正弦定理等比例关系进行消参；利用韦达定理消去参变量，主要在研究直线与圆锥曲线的位置关
8、系时经常应用；利用斜率和中点公式消去参变量，主要应用在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，结合直线的斜率公式、中点坐标公式等的基本形式，采用设而不求的方法进行消参。数学新教材中对参数思想的思维训练在模块的指数函数、对数函数部分，在模块的等比数列求和部分，模块的解析几何利用消去法求曲线的轨迹（方程）等部分体现得较多。三、综合与分析的数学思想与方法综合法的思维过程是根据已知条件，引用公理、定义、定理或已知条件，通过演绎推理推导出所要的结论。这种“由因导果”的思维方式称为综合思维。在综合思维的培养过程中，要注意培养学生思维的目标性，学会利用题目中的诸多条件有意识地将思维向目标逼近，如果已知条件含有多个变
9、量，应确定一个主变量而把其他变量用这个变量表示；如果已知条件中的几个变量之间的直接关系比较复杂，可以采用引进参变量或者消去某个变量的方法来降低思维难度，从而使所要求证的结论更加明显。分析法的思维过程是从所要求证的结论入手，逐步找出使结论成立的充分条件，直到得出一个显然成立的命题，这种“执果索因”的思维方式称为分析思维。在分析思维的培养过程中，要注意推理过程的可逆性。对于复杂的问题，往往需要将综合法与分析法结合起来使用。在新教材中，分析与综合的数学思想在培养学生思维能力的过程中相得益彰：对于例题的讲解，多是先用分析思维分析题目成立的条件，再用综合思维进行求解或证明。如在数学必修的程序框图与算法基
10、本逻辑结构一节中，首先说明该程序框图包含了三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，再根据各种基本逻辑结构的特点分别对三种结构进行分析说明，这种先总说，再分叙的方法体现了综合与分析的思维方法；在数学必修的点到直线的距离一节分析点到直线的距离公式的推导过程时，采用了分析思维的方法。四、归纳与递推的数学思想与思维方法归纳推理是根据各个特殊的、个别的情况作为判断的基础，归纳总结出普遍使用的规律或结论的推理方法。归纳法分完全归纳法和不完全归纳法两种，数学归纳法是完全归纳法，它是用“有限的步骤”来解决“无限”的问题的有效方法，通常用于解决等式、不等式、几何问题的证明及整除性问题。递推法是根据对各个
11、特殊的个别情况的判断，得出一般性结论，再将结论进行推广的方法，有顺推法和倒推法两种形式。一般情况下，利用递推法得到的结论要利用数学归纳法进行证明。在解决有关数列、算法方面的问题时，常用到归纳与递推的思维方法。例如在数学必修算法部分：设计一个计算1+2+3+100的值的算法，并画出程序框图。在问题解决过程中，通过对算法过程的分析，归纳总结出计算过程中的第(i-1)步的结果加上i等于第i步的结果这一规律，引入一个累加变量S表示每一步的计算结果，再把s+i的结果赋给S，利用计数变量i从1到100的取值，通过循环控制完成递推关系的运算而使问题解决。五、分类与讨论的数学思想与方法对于含有参数的方程、不等
12、式以及图形的种类、形状、位置等不确定的题目，在问题解决的过程中须针对这些不确定的因素选择恰当的标准进行分类讨论。分类讨论的关键是根据数学概念或定理、公式中的使用条件、性质等确定分类标准，如绝对值的定义、圆锥曲线的统一定义、等比数列的前n项和公式、指数函数、对数函数的底数等。每次分类都要按照一个统一的标准，使得分类能够不重不漏。如果一个问题含有多种情况，在分类讨论问题时可以逐级采用“二分法”，即：首先选定一个分类标准，按是否符合这个标准把所需要讨论的对象分成两类；其次在前一次分类的基础上，选取另一标准，把前一次分出的类再分成两类，不断重复前一过程，直到不能够再分为止。分类讨论的数学思想与方法是中
13、学数学思维能力培养的重要组成部分，在新教材各个模块的教学中都有体现。如在数学必修第48页第9题：已知函数f(x)=4x2-kx-8在5，20上是单调函数，求实数k的取值范围的求解过程中，须通过对k的取值进行分类讨论，再结合函数的单调性而使问题得以解决；数学必修第66页B组第4题、数学必修第83页B组第2题，都需要对底数a的取值进行分类讨论。六、数形结合的思想与思维方法数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，是形象思维与抽象思维的有机结合。数形结合的思想与方法可以给抽象的代数、三角以直观、形象的原型；也可以赋给直观图形问题以抽象、严密的运算或数理推证。因此，掌握“以形助数、以数
14、解形”的思维方法和技巧是培养学生数学思维能力的需要。在新教材中，数形结合的思想主要体现在函数与图像、方程与曲线、实数与直线、复数与平面、向量与有向线段、数据的图像等方面。由形向数的转化是从直观到抽象的思维过程，对于涉及到线段、角、面积、体积等几何量与一定的数量相对应，而这些几何量又可以与某些几何定理或公式联系起来；或者题目中涉及到图形与数量的对应，如向量的几何表示与坐标的对应，向量运算的几何意义以及可借助某些参数完成的由形向数转化的题型可采用“以形助数”的思维模式。这类问题在数学必修空间几何、数学必修的几何概型、数学必修的平面向量、数学选修21圆锥曲线等部分涉及较多。 由数向形的转化的思维过程
15、是将某种数量关系映射为几何图形的由抽象思维向形象思维的转化过程，可利用函数与其图像的对应关系或向量与点的对应关系或借助几何意义构造几何图形（如距离、斜率）完成由数向形的转化。在数学必修的解析几何；数学必修的三角函数、平面向量；选修21空间向量等部分涉及较多。 七、一般与特殊的数学思想与思维方法一般与特殊的数学思想与方法是学习数学知识，解决数学问题的一种最重要的思想方法。一般性思维是指从全体到个别、从一般到特殊、从抽象到具体的思维方法，它是在掌握某种事物的本质规律的基础之上，通过演绎推理，把这种事物的性质、规律应用到具有这种事物特征的特殊的个体上的思维方法。在问题解决的过程中，一般性思维能够把一
16、般性的规律向特殊性问题方面转化。对于一个比较复杂的问题，如果不知道它的性质或规律时，一般先从问题的简单或特殊的情形入手，逐步探索其一般性规律、性质或解决方法，这种思维方法就是特殊性思维。采用特殊化的思维方式，可在将多元问题单元化、空间问题平面化、高次问题低次化的过程中得到方法、规律方面的启示，并归纳总结出一般性问题的解法，达到问题解决的目的。 在新教材中，每一个知识点的引入，多是先从特殊性问题入手，通过对具体的问题的研究总结出一类问题的一般性的结论、性质和规律，再应用这些性质、规律解决特殊性的问题。八、变换与复合的数学思想与方法在数学中，任何一个比较复杂的函数都可以看成是由一个或几个简单函数通
17、过一种或几种变换，或通过两个或几个简单函数的复合得到的。因此，研究变换和复合的性质，培养学生学会分析复杂函数的变换与复合的规律与方法，是培养学生数学思维方法和思维能力的需要。高中阶段常用的变换有函数图像间的变换和函数解析式的变换两种。函数图像变换主要有：对称变换、平移变换、伸缩变换和折置变换；函数解析式的变换常见的类型有两种：1、在给定的条件下求函数解析式。主要的题型模式是：已知变换后的函数fg(x)的解析式，求变换前的函数解析式。解决此类问题方法有：定义法、换元法、待定系数法、特殊值法、归纳法等；2、在给定的条件下，函数解析式的变换。这类问题须根据前面的方法，结合题目要求进行求解。如：已知函
18、数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，求证：f(0)=0;f(2x)=2f(x)。在求解时令x=y=0，求出f(0)=0,再利用前面的已知条件，求出：f(2x)=f(x+x)=2f(x)。变换与复合的题型主要集中在研究复合函数的单调性、定义域、值域等方面，在数学必修函数部分涉及的较多。对数学新教材的研究过程也是对新教材的认知过程。通过使用数学新教材进行课堂教学实践，我们可以得出结论：高中数学新教材着重揭示了数学知识的形成过程和数学知识中所蕴含的思想、方法，指明了教师“教什么”、“怎样教”，明确了学生“学什么”、“怎样学”，并通过数学思想与方法的教学来体现问题解决过程中数学思想与方法的科学性和学习数学思想与方法的必要性。所以，数学新教材注重了对学生的数学思维能力的形成的培养，对学生数学思维能力的发展以及思维品质的提高起到了促进作用。（以上是我一点教学体会，恳请各位专家批评指正）参考文献：数学思维与方法 黑龙江教育出版社 主编：张杰民4