数据拟合的几个应用实例 毕业论文.doc

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1、本科毕业设计（论文） 数据拟合的几个应用实例 学 院： 专 业： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 答辩日期： 毕业设计任务书 学院： 系级教学单位： 学 号 学生 姓名 专 业 班 级 题目名称数据拟合的几个应用实例 题目类型论文 题目性质理论研究型 题 目 题目来源自选 主 要 内 容 1. 处理两个变量之间关系的曲线拟合基本理论。 2. 多元函数拟合的基本理论。 3. 曲线拟合在工程实际中的应用实例。 4. 多元函数拟合在工程实际中的应用实例。 5. 对所研究问题进行理论分析。 基 本 要 求 1. 通过阅读参考文献和有关资料，了解数据拟合的重要意义以及目前关 于数据拟合问题的研究现状。

2、 2. 了解并掌握数据拟合的基本理论和方法。 3. 归纳总结数据拟合理论在工程中实际应用的典型实例。 4. 阐述数据拟合的发展前景及所面临的任务。 参 考 资 料 1李庆扬.数值分析.武汉：华中科技大学出版社,2006,6469 2李士雨,工程数学基础数据处理与数值计算.北京：化学工业出 版社,2005,137 3吴刚. 隐式多项式曲线的信息建模研究进展. 计算机科学, 2010,37 (10):3337,47 4Un salan C. A new robust and fast implicit polynomial fitting techniqueC. Proceedings of MV

3、IP 1999. 1999, 9:1520 周 次14 周58 周912 周1316 周1718 周 应 完 成 的 内 容 明确任务， 搜集国内外研 究数据拟合的 最新成果，整 理资料并梳理 思路。 研究数据 拟合理论的基 本公式。 归纳总 结数据拟合 理论典型的 工程实际应 用。 整理结果， 撰写论文及 打印论文。 打印毕业论 文，准备答辩。 指导教师： 职 称： 年 月 日 系级教学单位审批： 年 月 日 摘要 I 摘要 曲线拟合和曲面拟合是实际工程中的重要问题。该问题是指由已知的 实验数据点拟合出物体的数学几何模型。这是对物体进行分析、计算和绘 制的根据，也是研究曲线和曲面性质的很重要

4、的途径。 本文首先指明了数据拟合的研究背景和意义，以及关于数据拟合问题 所做的相关工作和当前的研究现状。二次拟合曲线由于有着良好的几何特 性、较低的次数及灵活的控制参数，成为基本的体素模型之一，在计算机 图形学和计算机辅助几何设计等领域中起着重要的作用。 解决数据拟合问题的基本思想是最小二乘方法，本文中给出了最小二 乘的基本思想。分析解决数据拟合问题所采用的算法，并对典型性的算法 进行了较为详细的求解。另外本文对拟合时采用的目标函数进行了综合分 析及相关证明。 关键词关键词 曲线拟合；曲面拟合；最小二乘法；工程应用 燕山大学本科生毕业设计(论文) II Abstract Curve and s

5、urface fitting are two important problems in real engineering. Reconstructing the geometrical model of the object from the sample points carries on the foundation of analyzing, calculating and drawing of the object. It is also a very important way to study the nature of curves and surfaces. This pap

6、er first introduces the background and importance of the study of the data fitting. Some existing work and methods about data fitting are introduced. Conic is one of basic elements in reconstructing a model because of its good geometric characters, low order and flexible parameters. It plays an impo

7、rtant role in the area of computer graphics and CAGD. It is usually based on the principle of Least-squares method to solve the problem of data fitting. So in this paper，we introduce the concept of Least- squares method. we analyze the algorithm which be used to solve the problem of data fitting. Fo

8、r typical algorithms, we provides detailed procedure of solving. In addition, in this paper, when fitting that I have comprehensive analysis and the relevant evidence of the objective function Key words Curve fitting; Surface fitting; Least-squares method; Engineering applications III 目录 摘要 I Abstra

9、ctII 第 1 章 绪论1 1.1 课题国内外研究动态，课题研究背景及意义1 1.1.1 国内外的研究现状2 1.1.2 课题研究的意义3 1.2 研究主要成果3 1.3 发展趋势5 1.4 研究的基本内容6 1.5 论文的主要工作及结构安排6 第 2 章 数据拟合的基本理论8 2.1 最小二乘曲线拟合8 2.1.1 多项式拟合10 2.1.2 正交多项式作最小二乘拟合的原理11 2.1.3 非线性最小二乘拟合12 2.2 多元最小二乘拟合14 2.3 最小二乘法的另一种数学表达16 2.4 本章小结18 第 3 章 数据拟合应用实例19 3.1 数据拟合在物理实验中的应用19 3.1.1

10、多项式拟合19 3.1.2 指数拟合19 3.2 数据拟合在塔机起重量监测系统中的应用21 3.2.1 工程原理21 3.2.2 应用实例22 3.3 数据拟合在翅片管传热性能试验中的应用23 3.3.1 工程原理24 IV 3.3.2 应用实例26 3.4 数据拟合在机械参数测量模型研究中的应用29 3.4.1 工程原理30 3.4.2 模型估计算法的研究30 3.4.3 应用实例30 3.5 数据拟合在轮辋逆向工程设计中的应用32 3.5.1 工程原理33 3.5.2 参数拟合算法34 3.5.3 轴截面圆半径的拟合算法34 3.6 数据拟合在其他实际工程中的应用36 3.6.1 数据拟合

11、在等离子弧温度场测算中的应用36 3.6.2 数据拟合在化工装备设计开发中的应用37 3.6.3 数据拟合在透气性测试方面的应用37 3.7 本章小结38 结论39 参考文献40 致谢42 附录 1.43 附录 2.50 附录 3.56 第 1 章 绪论 1 第 1 章 绪论 1.1 课题国内外研究动态，课题研究背景及意义 数学分有很多学科，而它主要的学科大致产生于商业计算的需要、了 解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。而在科技飞速发展的今天数 学也早已成为众多研究的基础学科。尤其是在这个信息量巨大的时代，实 际问题中国得到的中离散数据的处理也成为数学研究和应用领域中的重要 的课题。 在解

12、决实际工程问题和科学实验的过程中，经常需要通过研究某些变 量之间的函数关系，帮我们去认识事物内在的规律和本质属性，这些变量 间的未知的关系一般隐含在从观测、试验而得到的一组离散的数据之中。 所以，是否能够根据一组试验观测数据来找到变量之间的相对准确的函数 关系成为了解决工程实际问题的关键。 比如在工程实践与科学实验中，我们经常要从一组试验数据，i ( ,) ii x y = 0,1,.,n 中来寻找自变量 x 和因变量 y 之间的函数关系，通常可以用一个 近似函数 y = f (x)表示。而函数 y = f (x)的产生方法会因为观测数据和具体 要求不同而不同，通常我们可以采用数据拟合和函数插

13、值两种方法来实现。 数据拟合主要考虑到了观测数据会受到随机观测误差的影响，需要寻 求整体误差最小、能够较好的反映出观测数据的近似函数 y = f (x)，这时并 不要求得到的近似函数 y = f (x)必须满足= , i = 0,1,n。yi( ) i f x 函数插值则要求近似函数 y = f (x)在每一个观测点处一定要满足= ix yi ，i = 0,1,n。在这种情况下，通常要求观测数据相对比较准确，即( ) i f x 不考虑观测误差的影响。 在实际问题中，通过观测数据能否正确揭示某些变量之间的关系，进 而正确认识事物的内在规律与本质属性，往往取决于两方面因素。其一是 观测数据的准确

14、性或准确程度，这是因为在获取观测数据的过程中一般存 在随机测量误差，导致所讨论的变量成为随机变量。其二是对观测数据处 理方法的选择，即到底是采用插值方法还是用拟合方法1-3，插值方法之中、 2 拟合方法之中又选用哪一种插值或拟合技巧来处理观测数据。插值问题忽 略了观测误差的影响，而拟合问题则考虑了观测误差的影响。但由于观测 数据客观上总是存在观测误差，而拟合函数大多数情况下是通过经验公式 获得的，因此要正确揭示事物的内在规律，往往需要对大量的观测数据进 行分析，尤为重要的是进行统计分析。统计分析的方法有许多，如方差分 析、回归分析等。数据拟合虽然较有效地克服了随机观测误差的影响，但 从数理统计

15、的角度看，根据一个样本计算出来的拟合函数(系数)，只是拟 合问题的一个点估计，还不能完全说明其整体性质。因此，还应该对拟合 函数作区间估计或假设检验，如果置信区间太大或包含零点，则由计算得 到的拟合函数系数的估计值就毫无意义。这里所采用的统计分析方法就是 所谓的回归分析。另外还可用方差分析的方法对模型的误差作定量分析。 所以，据科学和工程问题可以通过比如采样、实验等方法而得到若干 的离散的数据，根据这些离散的数据，我们往往希望能得到一个连续函数 (也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做 拟合。也就是说，如果数据不能满足某一个特定的函数的时候，而要求我 们所要求的逼近函

16、数“最优的” 靠近那些数据点，按照误差最小的原则为最 优标准来构造出函数。我们称这个函数为拟合函数。 现在，对数据点进行函数拟合以获得信息模型是许多工程应用领域的 一个核心问题。而为了适应这个多元化的世界中，为了能够满足各种各样 的应用领域的要求，针对他们而对各种拟合方法的改进和研究也从未停止 过。 1.1.1 国内外的研究现状 在通过对国内外有关的学术刊物(如计算机科学 、 宇航学报 、 中 原工学院学报等)、国际国内有关学术会议和网站的论文进行分析。数据 拟合的研究和应用主要是面对各种工程问题，有着系统的研究和很大的发 展。通过研究发展使得数据拟合有着一定的理论研究基础。尤其是关于数 据拟

17、合基本的方法最小二乘法4-9的研究有着各种研究成果。 但是，由于现实问题的复杂性，数据拟合还拥有很好的研究空间，还 有很多能够优化和创新的问题需要去研究和探索。各种算法的改进和应用 第 1 章 绪论 3 以及如何得到合适的模型一直是一个比较热门的研究领域。 例如，国内外文献里提出了很多基于形状的描述方法，比如傅氏描述 子法、多边形法、累积角法等, 其中以二次曲线和超二次曲线来拟合物体 的边界形状并进行物体的描述已获得广泛应用。现在,我们应用高次隐式多 项式曲线来作为物体的几何模型受到广泛的重视。应用高次隐式多项式曲 线和曲面10-15为各个领域的数据进行可视化建模还没有广泛的研究。用隐 式多项

18、式曲线来描述数据点集合的轮廓有天然的优势,在数据点集合轮廓的 拟合过程中，为业务信息建模所具有的优点，其它建模方法根本无法比拟， 这主要是因为隐式多项式曲线有着精确的表达能力，隐式多项式曲线的参 数完全取决于它的次数和系数，解析式明确，操纵和使用方便，它还具有 着天然的数据噪声过滤能力和修补能力。 所以说，在现在这个各个工程领域飞速发展的今天，数据拟合在实际 应用与研究中仍然有着不小的发展空间。 1.1.2 课题研究的意义 归纳总结数据拟合理论在工程中实际应用，发掘各个数据拟合算法的 在实际应用中的应用范围适用性。通过对本项目的研究和分析，使得实际 中的工程问题根据不同的需求使用最合适的拟合算

19、法，从而提高拟合的精 确度。 研究和发展数据拟合理论，发掘各种数据拟合的优化方案。 根据离散的数据，我们想要得到连续的函数或更加密集的离散方程与 已知数据相吻合。如何选择数学模型，如何减小误差，如何使得逼近函数 图像最靠近那些数据点，使得优化拟合算法变得十分重要。 1.2 研究主要成果 作为数据拟合的最基本也是应用最广泛的方法，最小二乘法有了很大 的发展。在工程实际应用和实验中，我们经常采用实验的方法寻找变量间 的相互关系。但是，当观测到的数据较多时，一般情况下使用插值多项式 来求近似函数是不现实的。根据多元函数线性回归理论，使用曲线拟合最 小二乘法来寻求变量之间的函数关系能够很好的解决这个问

20、题。而且我们 4 对它在实际应用中产生各方面的需求有着各种研究。例如：基于于均差最 小二乘拟合方程形式的研究、数据拟合函数的最小二乘积分法、非线性最 小二乘法等各种方法已经在工程中得到了应用。 所谓数据拟合的最小二乘法(generalized least squares)是一种数学优化 的技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，并使得这 些求得的数据与实际数据之间误差(残差)的平方和为最小。为了使问题的 提法更具有一般性，通常把最小二乘法中的误差(残差)平方和都考虑为加 权平方和。最后为了使误差的加权平方和最小，会转化为求多元函数的极 小点的问题。其有关概念与方法可以推广到多元函

21、数拟合之中。 最小二乘法在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，是很重要的求解 方法。例如，它在统计学之中是估计回归参数最基本的方法。 但是关于最小二乘法的发明权，我们在数学史的研究中还没有定论。 有些材料表明了高斯和勒让德分别独立提出这种方法。资料表明勒让德在 1805 年首次公开发表了关于最小二乘法的论文。这时，高斯指出，他早在 1795 年之前就使用了这一种方法。可是数学史的研究者们只找到了关于高 斯约在 1803 年之前使用了这一种方法的证据。 最小二乘法历史简介： 1801 年，意大利的天文学家朱赛普皮亚齐发现了第一颗小行星(谷神 星)。但是经过了 40 天的跟踪观测之后，因为谷神星运行

22、至太阳的背后， 使得朱赛普皮亚齐失去这颗小行星的位置。在这之后全世界的科学家都开 始利用皮亚齐观测的数据开始寻找这颗小行星，但是根据大多数科学家计 算的结果，都没有找到谷神星。当时，24 岁的高斯也用相关数据计算了谷 神星的轨道。奥地利天文学家海因里希奥尔伯斯根据高斯所计算出的轨道 重新发现了谷神星。 高斯所使用的最小二乘法的方法在 1809 年发表于他的著作天体运动 论中。 法国科学家勒让德在 1806 年独立发现了“最小二乘法”。但是因为不为 时人所知而默默无闻。 勒让德曾与高斯为“是谁最早创立了最小二乘法原理”而发生争执。 第 1 章 绪论 5 在 1829 年，高斯给出了最小二乘法优化

23、效果强于其他方法的证明，被 称为高斯-马尔科夫定理 。 高斯-马尔科夫定理：在给定经典线性回归模型的假定下，最小二乘 估计量，在无偏线性估计一类中，有最小方差，就是说，它们是 BLUE(best linear unbiased estimator)，即最佳线性无偏估计。 在实际工程问题中，如何由测量的离散数据设计和确定最优的拟合曲 线？其关键在于选择适当类型的拟合曲线，一些时候根据专业的知识和我 们的经验就可以确定拟合曲线类型；但是当我们在对拟合曲线一无所知的 情况下，可以先绘制离散数据的粗略图形，也许能够从中观测出拟合曲线 的类型；或者对数据进行多种可能较好的曲线类型的拟合，并且计算出它 们

24、的均方误差，利用数学实验的方法找出最小二乘法意义下误差最小的拟 合函数。 例如最简单的一次函数 y=kx+b,已知坐标轴上有一些点(1.2,2.0),(2.1,3.2), (3.0,3.9),(4.0,6.1),(5.2,6.1),求过这些点的图象的一次函数关系式。一般情况 下这条直线不可能恰好经过每一个点,所以我们只要做到这 5 个点到所求的 直线的距离的平方和最小就可以了,这里就需要用到最小二乘法的基本思想. 然后就利用线性拟合的方法来求直线。一般只用于建模。 在离散数据的最小二乘法中，最简单、最常用的数学模型是多项式拟 合。 另外，近年来对高次隐式多项式曲线来作为物体的几何模型也受到广

25、泛的重视，用隐式多项式曲线来描述数据点集合的轮廓也有了初步的比较 系统的研究。 随着数据拟合的广泛应用出现了许多可以进行拟合的应用软件16。 OriginPro，Matlab，SAS，SPSS，DataFit，GraphPad，TableCurve2D，Tab leCurve3D，Mathematica 等其功能都十分优秀。他们还具有自动选择数学 模型的功能。 1.3 发展趋势 应用高次隐式多项式曲线和曲面为各个领域的数据进行可视化建模还 没有广泛的研究。用隐式多项式曲线来描述数据点集合的轮廓有天然的优 6 势,在数据点集合轮廓的拟合过程中，为业务信息建模所具有的优点，其它 建模方法根本无法比

26、拟，这主要是因为隐式多项式曲线有着精确的表达能 力，隐式多项式曲线的参数完全取决于它的次数和系数，解析式明确，操 纵和使用方便，它还具有着天然的数据噪声过滤能力和修补能力。 隐式多项式曲线的信息建模近年有了很大的发展。对隐式多项式曲线 进行分析看出，MinMax 算法十分精确地拟合了数据点的形状，并且非常 的稳定，只需要对 3L 集合的权值参数调整问题做进一步的研究，MinMax 等隐式多项式曲线的拟合算法抛弃了需要迭代的优化算法，只需要求解一 个线性方程组就能够确定隐式多项式曲线方程的系数，可以说已经趋于成 熟。我们可以预见，把这种建模思想应用到各种数据点集合之中必将带来 很大的发展空间。

27、随着计算机的广泛应用，利用计算机相关软件解数据拟合问题也已经 成为了不可缺少的步骤。 1.4 研究的基本内容 数据拟合理论体系的研究：研究数据拟合的基本理论，了解并掌握数 据拟合的基本理论和方法。通过阅读参考文献和有关资料，学习数据拟合 的重要意义以及目前关于数据拟合问题的研究现状。并对目前数据拟合的 各种方法的特点做出概述。 (1)处理两个变量之间关系的曲线拟合基本理论，并对其方法进行分析。 (2)多元函数拟合的基本理论，并对其方法进行分析。 数据拟合在工程实际中应用实例的研究：归纳总结数据拟合理论在工 程中实际应用的典型实例。通过分析实际的工程应用实例的有关资料，掌 握数据拟合在实际工程中

28、的应用方式。对其进行分析，研究数据拟合在实 例应用中的合理性和可行性。研究各种方法在理论与实例应用之间的关系。 研究数据拟合在实例应中的灵活行。 (1)曲线拟合在工程实际中的应用实例，并对其特点进行分析和总结。 (2)多元函数拟合在工程实际中的应用实例，并对其特点进行分析和总 结。 第 1 章 绪论 7 1.5 论文的主要工作及结构安排 由上可知，论文将从数据拟合发展过程、特点、基本方法以及数据拟 合在工程实际中的应用实例对数据拟合进行全面、深入地研究，在此基础 上，归纳总结数据拟合在工程问题中的各种应用，并对其进行理论分析。 具体内容安排如下： (1)第 2 章主要从理论的角度研究数据拟合的

29、基本思想，方法。分别从 处理两个变量之间关系的曲线拟合基本理论和多元函数拟合的基本理论两 个大的方面进行研究细分。 (2)第 3 章主要通过工程实际中的应用实例，利用数据拟合的基本理论 也分别从曲线拟合在工程实际中的应用实例和多元函数拟合在工程实际中 的应用实例进行归纳并进行分析。 8 第 2 章 数据拟合的基本理论 9 第 2 章 数据拟合的基本理论 科学和工程问题可以通过比如采样、实验等方法而得到若干的离散的 数据，根据这些离散的数据，我们往往希望能得到一个连续函数(也就是曲 线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做拟合。也就 是说，如果数据不能满足某一个特定的函数的时候，

30、而要求我们所要求的 逼近函数最优的靠近那些数据点，按照误差最小的原则为最优的标准来构 造出函数。 在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。给定函数的实验数据， 需要用比较简单和 合适的函数来逼近(或拟合)实验数据。这种逼近的特点是： (1) 是需要适度的精度的； (2) 实验数据有一些小的误差； (3) 对于一些问题，可能有一些特殊的信息能够用来选择实验数据的 数学模型。 逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用最小二乘拟合。 曲线拟合问题的数学描述是，已知一组(二维)数据，i = ),(y x i i 1,2,n(即平面上的 n 个点，i = 1,2,n)，互不相同，寻找一个函),(y

31、x i iix 数(曲线)y = f(x)，使得 f(x)在某种准则下与所有的数据点最接近，即曲线拟 合得最好。 2.1 最小二乘曲线拟合 对于已知的 m+1 的离散数据和权数，记 m iii yx 0 , m ii0 i mi i mi xbxa 00 max,min 在连续函数空间 Ca,b中选定 n+1 个线性无关的基函数，并记由 m kk x 0 )( 它们生成的子空间。如果存在)(),(),( 10 xxxspan n (2-1) * 0 ( )( ) n k k xax 使得 10 (2-2) *22 ( ) 00 ( )min( ) nn iiii x ii yxyx 则称为离散

32、数据在子空间中带权的最小二乘拟合。)( * x m iii yx 0 , m ii0 函数在离散点处的值为)(x (2-3) 0 ( )( ),0,1, n ijj j xax im 因此，(2-2)右边的和式是参数的函数，记作 n aaa, 10 (2-4) 2 00 10 )(),( m i n j ijjiin xayaaaI 这样，求极小值问题(2-2)的解,就是求多元二次函数)( * x 的极小点使得),( * 1 * 0n aaa),( 10n aaaI (2-5) 01 * 0101 , (,)min(,) n nn aaaR I a aaI a aa 由求多元函数极值的必要条件

33、 (2-6) 00 2( )( )0,0,1, mn iijjiki ij k I yaxxkn a 若记 (2-7) 0 (,)( )( )( ) m jkijiki i xxx (2-8)nkdxxfxf kiki m i ik , 1 , 0,)()()(),( 0 上式可改写为 (2-9),.,1 , 0( ;),(nkda kj n oj jk 这个方程称为法方程，可写成矩阵形式 (2-10)dGa 其中 (2-11) 0101 (,.,) ,(,.,) TT nn aa aadd dd (2-12) ),(),(),( )(),(),( ),(),(),( 10 11101 010

34、00 nnnn n n G 第 2 章 数据拟合的基本理论 11 由于线性无关，故|G|0，方程(2-9)存在唯一的解)(),(),( 10 xxx n (2-13) *, 0,1, kk aa kn 从而得到函数 f(x)的最小二乘解为 (2-14) * 0 ( )( ) n kk k Sxax 可以证明，这样得到的，对于任何，都有 *( ) Sx)(xS (2-15) * 22* 00 ( )( ) nn ii iiii ii fxfx xSxxSx 故是所求的最小二乘解。记，显然，平方误差或均)( * xS)( * xy 2 2 方误差越小，拟合的效果越好。 2 2.1.1 多项式拟合

35、前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性的拟合模型。 在离散数据最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式。 为了确定数据拟合问题，我们选用作为函数类，有 2 1, , n x xx (2-16) 2 012 ( ) n n xaa xa xa x(1)nm 这就是多项式拟合函数。 为了确定拟合函数的系数，需要求解正 2 012 ( ) n n xaa xa xa x 规方程组 (2-17) 01 111 21 01 1111 12 01 1111 mmm n kknk kkk mmmm n kkknkk kkkk mmmm nnnn kkknkk kkkk max ax ay

36、x ax axax y x axax ax y 也可以用矩阵形式表示为 12 (2-18) 111 0 21 1 1111 12 1111 mmm n kkk kkk mmmm n kkkkk kkkk n mmmm nnnn kkkkk kkkk mxxy a xxxx ya a xxxx y 解得即可，将其代入(2-16)即可得到拟合多项式。 01 , n a aa 第 2 章 数据拟合的基本理论 13 2.1.2 正交多项式作最小二乘拟合的原理 用一般的最小二乘法拟合时其法方程的系数矩阵 G 是病态的，但如果 用正交多项式拟合可以不通过求法方程来确定，显然拟合 *.( 0,1,2) k

37、ak 的效果较好。 即如果是关于点集的带权)(),(),( 10 xxx n mi xi , 1 , 0 正交的函数族，有 mi xi , 1 , 0 (2-19) 0 0, (,)( )( )( ) , m jkijiki k i j k xxx j k A 则方程组(2-9)的解为 (2-20) *0 2 0 ( ) ( )( ) ( ,) , k0,1,.,n (,) ( )( ) m iii k ki k m kk ii k i f xxx f a xx 且平方误差为 (2-21) 22 2* 22 0 () n k k k f a A 根据已知的节点及权函数先构造带权正交的多 01

38、, m x xx0)(x)(x 项式。用递推的公式表示：( ), n pxnm( ) k px (2-22) 0 110 111 ( )1 ( )()( ) ( )()( )( ),(1,2,1) kkkkk p x p xxp x pxxpxpxkn 这里是首项系数为 1 的 k 次多项式。根据的正交性得：( ) k px( ) k px (2-23) 2 0 1 2 0 2 0 2 11 1 0 ( )( ) ( ),( )(,) ( ),( )(,) ( )( ) ( )( ) (,) ,(1,2,1) (,) ( )( ) m iiki ikkkk km kkkk iki i m ik

39、i ikk km kk iki i x x px xpxpxxpp pxpxpp x px x px pp kn pp x px 用正交多项式的线性组合作最小二次拟合，只要在逐步求的( ) k px( ) k px 同时，相应计算出系数 14 (2-24) 0 2 0 ( ) ( )( ) ( ,) ,(0,1,2) (,) ( )( ) m iiki ki km kk iki i x f x px f p akn pp x px 并逐步把累加到中去，最后即可得所求拟合曲线 * ( ) kk a px( )F x (2-25) * 0011 ( )( )( )( ) nn yF xa pxa

40、p xa px 这里的 n 可以是事先给定的或根据误差确定。 使用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数 增加一次时，只要把程序中循环数加 1，其余不用改变。这是目前用多项 式做曲线拟合的最好计算方法，有通用的语言程序供用户使用。 2.1.3 非线性最小二乘拟合 在最小二乘法曲线拟合时，通常会遇到很多的非线性函数，这些非线 性函数大多数可以通过数学变换进行线性化。例如用指数函数来拟 bx yae 合，首先两边取自然对数，得，可以令得到lnlnyabx * * ln ,ln ,yay a 。先做出的一次线性拟合，然后再计算出原始模型的参数。 * yabxln y 下面给出常见函

41、数的线性化方法和函数图形： 幂函数： b yax 令，则lg ,lgYy XxlgYabX 指数函数： bx yae 第 2 章 数据拟合的基本理论 15 可令，则ln ,Yy XxlnYabX 对数函数：lgyabx 令,则,lgYy XxYabX 负指数函数： b x yae 令，则 1 ln ,Yy X x lnYabX S 型曲线： 1 x y abe 16 令，则 1 , x YXe y YabX 选取的数学模型可根据来源不同分为半经验(或半机理)模型和经验模 型。 如果数学模型的建立有一定的理论依据，即根据机理写出模型结构， 再由实验数据估计模型参数，这时建立的模型是半经验模型。

42、而经验模型的建立又分两种情况，一是无任何理论依据，但有经验公 式可供选用，二是无任何参考。只有根据曲线形状来判断，选用形状接近 的函数做拟合模型。 综上所述，两个变量的最小二乘法曲线拟合问题的求解步骤可归纳为 以下四个步骤。 第一步：建立数学模型，推荐优先使用机理模型，没有机理模型时， 需要对试验点绘图，根据曲线的形状选择合适的经验模型。 第二步：线性化，如果所建立的模型是非线性的，需要通过适当的数 学变换将其线性化。 第三步：计算参数，首先根据线性模型计算出参数，再根据第二步的 线性化公式计算出原始的模型参数。 第四步：拟合效果评价，对拟合效果做出定量评价。 2.2 多元最小二乘拟合 最小二

43、乘法的有关概念可以推广到多元函数中，例如已知多元函数 (2-26) 12 ( ,) l yf x xx 的一组测量数据，以及它的一组权系数 12 (,) iilii xxxy(1,2,)im ，要求函数0 i (1,2,)im (2-27) 1212 1 ( ,)( ,), n nlkkl k Sx xxax xxnm 使得 (2-28) 2 0112 1 (,)(,) m niiniili i F a aaySxxx 最小，这与前面一元最小二乘法中的求极值的问题完全是一样的，系数 同样满足一元最小二乘法问题中的法方程组，只不过这里的 12 , n a aa 第 2 章 数据拟合的基本理论 1

44、7 (2-29) 1212 1 (,)(,)(,) m kjikiilijiili i xxxxxx 求解法方程组 (2-30)(,),(0,1,., ) n kjjk j o adkn 就可以得到从而得到。我们称,(0,1,., ) k akn 12 ( ,) nl Sx xx 为函数的最小二乘拟合。 12 ( ,) nl Sx xx 12 ( ,) l yf x xx 基本与两个变量的最小二乘法曲线拟合问题的求解步骤相同。但是， 多元拟合的难点在于非线性模型线性化。 将上述最小二乘法拟合曲线的方法加以改进, 推广至三维空间即为散 乱数据点的曲面拟合, 由于多项式拟合在次数较高时会出现龙格现

45、象, 为了 避免这一现象的发生,可以采用双三次多项式来拟合三维散乱数据。 给定一组数据点设双三次曲面方程为( , , ) , 0,1,2, ,xi yi ziim (2-31) 2323 01230123 ,( )( )zfx yaa xa xa xbb yb yb y 即 (2-32) 22 012345 3223322 67891011 12233233 3131415 , f x ycc xc yc xc xyc y c xc x yc xyc yc xyc x y c x yc x yc x yc x y 对该双三次曲面方程，考虑 (2-33) 2 0115 0 (,)( ( ,) m

46、 iii i g c ccf x yz 同上面曲线拟合的解法完全类似，可以很快求得 (2-34) *33 0115 , fxycc xc x y 的系数，即可得到散乱数据的曲面拟合函数。 龙格现象：在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这 样，利用多项式就可以计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数 的具体形式的情况下，只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知 道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的 气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已 经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数。应用此函( )f x 数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数 18 越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。 例外发生了，龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下