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1、读“新课标”想到的反思性数学学习中培养学生数学思维的深刻性1 问题的提出由于明年高中即将实施新课程，始终有一个问题萦绕在心头不知如何去面对？唯独可解闷的就是那本刚刚推出的普通高中数学课程标准（实验）了，一个理念映入我的视野：提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一。人们在反思建构（提法有点新鲜）等思维过程。这个新名词给了我无限的遐想，能否加强学生的反思性数学学习来提高学生数学思维的深刻性呢？数学学习中，有时学生对下面的问题很为难：设A=B=R,对应法则是“求倒数”，此对应是集合A到集合B的映射吗？我们认为学生为难的关键在于没有真正理解映射定义中的“任何”、“唯一”等字眼的内涵。又如，当
2、， 有些学生就想当然的推出，造成错误的根本原因没有深入思考向量中的 与实数中的的本质差异。另外，学生中出现“综合能力差”、“上课听得懂，自己做不来”等现象，无法从一些表面的迷惑性现象中领会其内涵，实质上都是缺乏思维深刻性培养的表现。2在反思性数学学习中培养能行吗？涂荣豹先生指出，所谓反思性数学学习，就是通过对数学学习活动过程的反思来进行数学学习，这是一种有效的学习方式。用元认知的理论来描述，反思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程，以及活动过程中涉及的有关的事物（材料、信息、思维、结果等）的学习特征的反向思考。反思性数学学习主要反思解题思路；涉及的数学知识、数学思想方法、题意的理解过程
3、；解题结果等。而数学深刻性思维与反思性数学学习到底有怎样的关系？北师大的董奇在元认知与思维品质关系性质的相关实验研究一文中指出：思维品质与元认知实质上是同一事物的两个方面，思维品质是思维整体结构功能的外在组织形式，代表的是表层结构；而元认知则是思维整体结构功能的内在组织形式，代表的是深层结构。经过进一步的实验研究表明：元认知与思维品质之间存在着因果关系。因此，加强元认知能力的培养与训练，可促进其思维品质的形成与发展，也是提高思维水平的有效途径。元认知又是何物？元认知简单地说就是关于认知的认知（Kluwe,1981,1982），它是以人的认知操作的各方面为对象，并对人的认知操作进行监视、控制、调
4、节，其实质就是人对自己认知活动的自我意识和自我调节。实际上,学生对数学学习过程自我监控和调节就是一种反思。由此,笔者认为：学生对数学学习的自觉的反思过程就是一种内隐的元认知的过程,或更确切地说,元认知是学生反思能力的重要组成部分。在数学学习的反思过程中,元认知知识是基础,可以使学生意识到数学学习情况中有哪些变量,如意识到自己的认知过程,数学学习能力水平,学生的认知差异,数学学习的目的、任务,可供选择的数学学习方法;同时,意识到这些变量之间的关系及它们的变化情况。元认知监控是核心要素,在某种意义上说,对数学学习的反思就是元认知监控,它使学生在数学学习过程中自觉分析数学学习情境,提出与数学学习有关
5、的问题和制定数学学习计划,选择适宜的数学学习方法；维持良好的注意、情绪、动机状态；监控数学学习行为、数学学习策略;在数学学习活动中不断地进行自我反馈,及时发现问题,并主动地改进、纠正和调节,从而提高数学学习活动的效果和效率。元认知体验伴随着整个数学学习过程。如困惑或失败的体验可使学生放弃或修正数学学习方法;紧张体验可使学生寻求紧张的原因,从而调整自己的行为等,它往往影响学生的自我效能感(指学生对自己影响学生行为和学习成绩能力的主观判断),从而影响数学学习活动。所以说,对数学学习过程的反思就是学生以一定的元认知知识为基础,对自己的数学学习活动进行认知监控的过程。因而在数学学习中进行反思，是训练深
6、刻性思维、优化思维品质的极好方法，是促进知识同化和迁移的可靠途径。反思能促使学生从一个新的角度，多层次地对概念及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对概念的理解，揭示问题本质，探索出解题方法的一般规律，沟通知识间的相互联系，促进知识的同化和迁移，并进而产生新的发现和推广。通过反思不断分析、解决问题，层层深入领会问题及解决方法的实质，培养了学生思维的深刻性。因此数学学习中一定要引导学生学会反思，积极反思，要充分调动学生求知、求思的积极性和主动性，养成善于观察、善于分析、善于思考的学习习惯，提高学生发现问题和解决问题的能力。3反思性数学学习中培养学生思维的深刻性的途径3.1 对定
7、义、概念进行反思性数学学习单纯地记住一个定义、概念或简单地直接运用，对学生而言，并非难事，但要真正理解其内涵，达到灵活运用，并非易事。究其原因，学生往往是肤浅、形式地认识定义、概念，而通过反思性数学学习，对定义、概念不断深入探讨，理解就会不断深入，思维活动也就会不断深刻。例1.设都是非零向量，则。这是新教材下册第五章向量数量积中的一个重要性质，为了深刻理解它，教学中笔者让学生进行反思性学习。反思一：设都是非零向量，若，则成立吗？由公式，学生马上得出结论：“能”；反思二：如果去掉条件：“设都是非零向量”，即若，则成立吗？生：“分情况讨论。” 师“分几种？”，经过激烈争论，师生共同统一为三种结果：
8、（1）都是非零向量：（2）都是零向量；（3）中只有一个是零向量。通过讨论分析，不但解决了这个问题，而且深化认识了规定：零向量与任一向量的数量积为0。反思三：反过来，若 ，则成立吗？（*）有了反思二的基础，学生会想到条件，隐含着为的可能性，而我们规定与任一向量平行，所以不一定有。反思四：那再加上什么条件，（*）式可成立呢？为了避免反思三的可能性，我们只要加上条件“设都是非零向量，”。即设都是非零向量，若，则成立。再结合反思一结论：设都是非零向量，若，则也成立。综上反思结果：学生认识到只能在“ 都是非零向量”的前提条件下才可成立。通过反思，也让学生深刻理解了这个重要性质及有关其它条件的情况，而且充
9、分熟悉了两个规定的应用，真可谓“一举两得”。3.2对定理、公理进行反思性数学学习在定理、公理的学习中，就要完整地掌握它们（条件、结论和适用范围），领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和盲目套用公式。例2. 求的最小值。对于这道题，学生常有如下错误的解法：解答一：因为，所以 则 。当且仅当，即时，有最小值。 解答二：因为，所以 故有最小值6 。反思一：因为利用基本不等式“ （当且仅当时取等号）”求最值的前提条件是不等式的一边必须为常数（定值）。而解答一只是简单套用公式，而忽视了 要为定植的条件，导致结论错误。反思二：在解答二中，取得最小值，当且仅当要，而此时的 无解，即没有相对应的使得取到最小值
10、6。其错误的根源在于忽视了公式取到等号成立的条件。其实，其正确解答如下：因为，所以 当且仅当 ，即时，有最小值.造成以上错误原因都是对公式认识肤浅性所致，因而教学中特别要加强类似（1）求方程的一切实数解；（2）求 的值域等题目的反思。引导学生辨别是非，弄清根源，培养学生思维的深刻性。3.3对解题思路进行反思性数学学习在解题教学中，学生做完一道题后，引导他们进行反思性数学学习，搞清问题实质，拓宽解题思路，择优解法，训练发散思维，再把问题引向深入，培养学生思维的深刻性。例3. 如图，入射光线所在直线，它射到轴上一点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程。 y O x 分析：由入射线与反射光线具有的特
11、性。 因为=-，所以又可知，所以所在直线方程为2+2=0。如果我们思维活动仅到此为止，那么就失去一次思维深刻性训练的绝佳机会，实际上并非是本题的实质。反思一：由入射线与反射线的特征，还能得到关于轴的对称直线在反射光线所在直线上，为此2+2=0关于轴的对称直线：2+2=0 即为反射光线所在直线方程。反思二：如果把反思结果作一下推广，可把思维引向更高层次，更深入。如：若如入射光线方程为，射到直线：A+B+C=0上一点B 后被直线反射，求反射光线所在直线方程。其解题思路就显得顺理成章，不再叙述。第一种解法与反思一解法对照，显然后一种解法更佳，更具有推广价值，达到了思维的深度和广度，如反思二的延伸。实际上，反思性数学学习内容还有很多，关键是养成解题后进行反思性数学学习的习惯，全方位地检验思考数学问题的全过程 ，它既可促进“双基”的掌握，又体现学生的主体性，对数学知识进行积极主动建构和有效迁移，发展智力，培养学生思维的深刻性，是学好数学的有力措施。参考文献1 涂荣豹.试论反思性数学学习J.数学教育学报，2000（4）.2 曹才翰.中学数学教学概论M.北京:北京师范大学出版社,1999,12.5 李玉琪.元认知开发与数学问题解决J.教育研究,1996,(1).5