2019届北京市海淀区高三第二学期期中练习(一模)数学(理)试题(解析版).pdf

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1、2019 届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）数学 （理） 试题 一、单选题 1已知集合，且，则可以是（） ABCD 【答案】 A 【解析】 利用子集概念即可作出判断. 【详解】 ，即 故选： A 【点睛】 本题考查子集的概念，属于基础题. 2若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（） ABCD 【答案】 D 【解析】 利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断. 【详解】 解：角的终边在第二象限，0，A不符； 0，B不符； 0，C不符； 0，所以， D正确 故选： D 【点睛】 本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的 关键

2、 3已知等差数列满足，则中一定为零的项是（） ABCD 【答案】 A 【解析】 利用等差数列通项公式即可得到结果. 【详解】 由得，解得：， 所以， 故选 A 【点睛】 本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题. 4已知，则下列各式中一定成立（） ABCD 【答案】 D 【解析】 利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断. 【详解】 x，y 的符号不确定，当x2，y 1 时， 对于 A，不成立，所以错误； 对于 B、也错； 对于 C，是减函数，所以，也错； 对于 D，因为，所以，正确， 故选 D 【点睛】 本题考查不等式的性质，指数函数的单调性及均值不等式，考查反例法，属于基础题.

3、 5执行如图所示的程序框图，输出的值为（） ABCD 【答案】 B 【解析】 分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，即可得出结论 【详解】 解：第 1 步： S2，x4，m 2； 第 2 步： S8，x6，m ； 第 3 步： S48，x8，m ，退出循环， 故选 B 【点睛】 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程 序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序 ,（6）在 给出程序框图求解输出结果的试题中只要按

4、照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到 达到输出条件即可. 6已知复数，则下面结论正确的是（） AB C 一定不是纯虚数D在复平面上，对应的点可能在第三象 限 【答案】 B 【解析】 利用共轭复数概念，模的计算，及几何意义即可作出判断. 【详解】 的共轭复数为：，所以 A错误； ，所以 B正确； 当时，是纯虚数，所以C错误； 对应的点为（， 1） ，因为纵坐标y 1，所以，不可能在第三象限，D也错误 . 故选 B. 【点睛】 本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题 7椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐 近线的倾斜角分别为（） A，B，C ，D， 【答案】 C 【解析

5、】 运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b 的方程，再由双曲线的渐近 线方程，即可得到结论 【详解】 椭圆中：a2，b1，所以， c，离心率为， 设双曲线的离心率为e 则，得， 双曲线中，即，又， 所以，得， 双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为 倾斜角分别为，. 故选 C. 【点睛】 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算 能力，属于易错题 8某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、 政治这三科， 且物理在层 班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各 上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）

6、 第一节第二节第三节第四节 地理层 2 班化学层 3 班地理层 1 班化学层 4 班 生物层 1 班化学层 2 班生物层 2 班历史层 1 班 物理层 1 班生物层 3 班物理层 2 班生物层 4 班 物理层 2 班生物层 1 班物理层 1 班物理层 4 班 政治 1 班物理 A 层 3 班政治 2 班政治 3 班 A8 种 B 10 种 C12 种 D14 种 【答案】 B 【解析】 根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】 张毅不同的选课方法如下： （ 1）生物 B层 1 班，政治1 班，物理A层 2 班； （ 2）生物 B层 1 班，政治1 班，物理A层 4 班； （ 3）生物 B层

7、 1 班，政治2 班，物理A层 1 班； （ 4）生物 B层 1 班，政治2 班，物理A层 4 班； （ 5）生物 B层 1 班，政治3 班，物理A层 1 班； （ 6）生物 B层 1 班，政治3 班，物理A层 2 班； （ 7）生物 B层 2 班，政治1 班，物理A层 3 班； （ 8）生物 B层 2 班，政治1 班，物理A层 4 班； （ 9）生物 B层 2 班，政治3 班，物理A层 1 班； （ 10）生物 B层 2 班，政治 3 班，物理A层 3 班； 共 10 种，故选B. 【点睛】 本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 二、解答题 9已知函数的最大值

8、为 （ 1）求的值； （ 2）求函数的单调递增区间 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）化简 f（x）为 Asin（ x+ ）+b 的形式，根据最大值列出方程解出a； （ 2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出 【详解】 （ 1）因为 , 所以函数的最大值为 , 所以, 所以 . （ 2）因为的单调递增区间为，, 令 , 所以， 函数的单调递增区间为，. 【点睛】 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值及单调性，属于基础题. 10据人民网报道，“ 美国国家航空航天局发文称，相比20 年前世界变得 更绿色了 .卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿” 据统计，中国新增绿化面 积的

9、来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017 年植树造林的相关数据 （造林 总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷 造林方式 地区 造林总面积 人工造林飞播造林新封山育林退化林修复 人工更 新 内蒙61848431105274094136006903826950 河北58336134562533333135107656533643 河南14900297647134292241715376133 重庆2263331006006240063333 陕西297642184108336026386516067 甘肃325580260144574387998

10、 新疆2639031181056264126647107962091 青海178414160511597342629 宁夏91531589602293882981335 北京 1906410012400039991053 （ 1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大 和最小的地区； （ 2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超 过的概率是多少？ （ 3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区， 记 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期 望 【答案】（1）甘肃省，青

11、海省； （2）； （3）. 【解析】 (1)根据表格即可得到结果； (2)利用古典概型概率公式即可得到结果； (3)的取值为0,1,2 ，分别求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望 【详解】 (1) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省, 人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省. (2) 设在这十个地区中, 任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事 件 在十个地区中，有7 个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林 面积占总面积比超过，则. （ 3）新封山育林面积超过五万公顷有个地区： 内蒙、 河北、 河南、 重庆、 陕西、 甘肃、 新疆、青海，其中退

12、化林修复面积超过六万公顷有个地区：内蒙、河北、重庆， 所以的取值为 所以， . 随机变量的分布列为 . 【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查古典概型概率公式，考查分析问题解决 问题的能力，属于中档题. 11如图，在直三棱柱中，点分别为 棱的中点 （ 1）求证：平面； （ 2）求证：平面平面； （ 3） 在线段上是否存在一点， 使得直线与平面所成的角为?如果存在， 求出线段的长；如果不存在，说明理由 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 1. 【解析】 (1) 方法一： 取中点为, 连结, ，要证平面，即证：, ； 方法二： 以为原点， 分别以为 轴， 轴， 轴

13、，建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量为， 又因为,即可得证 . (2) 方法一：要证平面平面，转证平面即证； 方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证. (3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即 可得到结果 . 【详解】 方法一： (1) 取中点为, 连结, 由且, 又点为中点，所以 , 又因为分别为,中点 ,所以 , 所以, 所以共面于平面 , 因为,分别为中点 , 所以, 平面, 平面, 所以平面 . 方法二：在直三棱柱中，平面 又因为, 以为原点，分别以为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得,. 所以, 设平面的法向量为，则 ，即, 令，得, 于是 , 又因为, 所以 , 又因

14、为平面， 所以平面 . （ 2）方法一：在直棱柱中，平面, 因为，所以, 又因为， 且, 所以平面 , 平面，所以, 又，四边形为正方形 , 所以 , 又，所以, 又， 且, 所以平面 , 又平面, 所以平面平面 . 方法二：设平面的法向量为，, ，即 , 令，得, 于是 , , 即，所以平面平面. （ 3）设直线与平面所成角为，则, 设，则 , , 所以 , 解得或（舍） , 所以点存在，即的中点，. 【点睛】 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3) 证明线线垂直，需转化为证

15、明线面垂直. 12已知函数. （ 1）求曲线在点处的切线方程； （ 2）当时，求证：函数存在极小值； （ 3）请直接写出函数的零点个数 【答案】（ 1）； （ 2）证明见解析； （3）当或时，函数有一个零点； 当且时，函数有两个零点 . 【解析】 (1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程； (2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数 的零点个数 【详解】 （ 1）的定义域为 因为 所以切点的坐标为 因为 所以切线的斜率， 所以切线的方程为 （ 2）方法一： 令 因为且， 所以， 从而得到在上恒成立 所以在上单调递增且， 所以在上递减，在递增； 所以时，取得极小

16、值，问题得证 方法二： 因为 当时， 当时，所以 当时，所以 所以在上递减，在递增； 所以时，函数取得极小值，问题得证. （ 3）当或时，函数有一个零点； 当且时，函数有两个零点 . 【点睛】 本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判 断，以及分类讨论思想方法，属于中档题 13已知抛物线，其中点在的焦点的右侧，且到的准线 的距离是与距离的 3 倍 经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与 直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交 轴于点. （ 1）求抛物线的方程和的坐标； （ 2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由 【答案】（1），； （2）平行 . 【解

17、析】 (1)由到的准线的距离是与距离的 3倍可得 p 值，从而得到抛物线的方程 和的坐标； (2)方法一：设直线的方程为，对 m分类讨论，分别计算二者的斜率，即 可作出判断 . 方法二： 先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在， 设直 线的方程为，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可 得出结论 . 【详解】 (1) 抛物线的准线方程为，焦点坐标为 , 所以有，解得 , 所以抛物线方程为，焦点坐标为 . (2) 直线 , 方法一： 设， 设直线的方程为 联立方程 消元得，, 所以， , , 显然， 直线的方程为 , 令，则，则, 因为，所以 , 直线的方程为， 令，则，则 当时，直线

18、的斜率不存在，可知， 直线的斜率不存在，则 当时， 则 综上所述， 方法二： 直线 (i) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设， 直线的方程为，则 直线的方程为，即， 令，则，则直线的斜率不存在，因此 (ii) 设， 当直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程， 消元得， 整理得， 由韦达定理，可得， ，因为，可得. 显然， 直线的方程为 令，则，则 因为，所以 直线的方程为， 令，则，则 ，则 综上所述， . 【点睛】 本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，直线的斜率和直线的位置关 系，属于中档题 14 首项为 O的无穷数列同时满足下面两个条件：； . （ 1）请直接写出

19、的所有可能值； （ 2）记，若对任意成立，求的通项公式； （ 3）对于给定的正整数，求的最大值 【答案】（1）； （2）； （3）当为奇数时的最大值为; 当 为偶数 时，的最大值为. 【解析】 (1)由递推关系得到的所有可能值； (2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列， 先证明数列中相邻 两项不可能同时为非负数，即可得到结果； (3) 由（ 2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果. 【详解】 （ 1）的值可以取 . （ 2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列， 即数列的偶数项是单调递增数列， 根据条件， 所以当对成立， 下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，

20、假设数列中存在同时为非负数， 因为， 若则有，与条件矛盾， 若则有，与条件矛盾， 所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数， 此时对成立， 所以当时，即， 所以， ， 所以， 即，其中， 即，其中， 又， 所以是以，公差为的等差数列， 所以 . （ 3） 记， 由（ 2）的证明知，不能都为非负数， 当，则， 根据，得到，所以， 当，则， 根据，得到，所以 ， 所以，总有成立， 当为奇数时，故的奇偶性不同，则， 当为偶数时， 当为奇数时， 考虑数列：， 可以验证，所给的数列满足条件，且, 所以的最大值为， 当为偶数时， 考虑数列：， -， , 可以验证，所给的数列满足条件，且， 所以的最

21、大值为. 【点睛】 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运 算能力，属于难题. 三、填空题 15已知成等比数列，且，则_ 【答案】 4 【解析】 利用等比中项可得16，结合对数运算性质可得结果. 【详解】 解：依题意，得：16， 所以，4 故答案为： 4 【点睛】 本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力. 16在中，则_；_. 【答案】 6 【解析】 利用余弦定理可得c 值，由平方关系得到，借助可得结 果 . 【详解】 解：由余弦定理，得：36， 所以， c6， 由得：， 所以， 【点睛】 本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的

22、应用，熟练掌握公式是解题的 关键 17已知向量，同时满足条件，的一个向量的坐标为 _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】 设（ x，y） ，由 得： y 2x，结合，可得 x 的范围，进而 可得结果 . 【详解】 解：设（ x，y） ，由 得： y 2x， （ 1x， 2y） ，由，得： ，把 y 2x 代入，得： ，化简，得：，解得：， 取 x 1，得 y2，所以，（ 1,2 ） （答案不唯一） 故答案为：（ 1,2 ） （答案不唯一） 【点睛】 本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 18在极坐标系中，若圆关于直线对称，则 _. 【答案】 【解析】 把极坐标方程化为

23、普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a值. 【详解】 解：圆方程化为：，化为直角坐标方程为：， 直线化为直角坐标方程为：， 圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（，0） ， 所以，解得： 1. 故答案为：1 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题. 19设关于的不等式组表示的平面区域为记区域上的点与点 距离的最小值为，则（ 1）当时，_； （ 2）若，则 的取值范围是_ 【答案】 2 【解析】 (1) 当时, 作出可行域，数形结合即可得到结果，（2）恒过定点 （ 0，1） ，对 k 分类讨论，数形结合即可得到结果. 【详解】 （ 1）当时，不等式组为，表示的

24、平面区域如下图1， 区域上的点 B与点距离的最小，最小值为AB 2，所以，2 （ 2）恒过定点（ 0，1） ， （ i ）当 k0 时，如图1，符合题意 （ ii ）当 k0 时，如图2，符合题意 （ iii）当 k 0 时，如图 3，解得：， 综上可知的取值范围是. 【点睛】 线性规划问题， 首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚 线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 20已知函数，其中.若，使得 成立，则_ 【答案】 【解析】 根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果. 【详解】 解： 依题意，得：， 化简，得：， 因为.，所以，即， 所以，因为，且， 因为，有成立， 所以， 所以， 所以，所以，. 故答案为： 【点睛】 本题考查了函数的单调性与值域, 考查了推理能力与计算能力，属于中档题