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1、提高数学作业讲评有效性的策略探析 【摘要】 数学作业讲评是数学教学的一个重要环节，如何才能让数学作业讲评更加有效呢？本文拟就“展示过程，反思提高”、“借题发挥，拓宽思维”、“繁简对比，内化技法”、“归类整合，事半功倍”等四个策略来阐述作者对提高数学作业讲评有效性的关注和探索，以供参考指正。【关键词】数学作业讲评 策略 有效性 数学课程标准指出，数学教学是数学活动的教学,教学过程是一个动态的生成过程，教师应在课堂中让学生最大限度地参与教学活动。而数学作业讲评课也是一种教学活动, 其目的在于纠正错误、规范解题、熟练技能、开阔思路，提高学生的综合迁移能力。目前的实际教学现状又是如何呢?据笔者调查，大
2、多数数学教师在作业讲评时独揽讲评大权，按照自己的理解重点讲解，虽说有预设，但缺乏生成。对于学生出现的形形色色错误, 大多的做法是直接把正确的答案教给学生, 因为这样可以节省教学时间, 但不久便发现, 学生的错误又死灰复燃, 有些错误还大有“野火烧不尽, 春风吹又生”之势 ；对于学生出现各种各样的解法，大多的做法是教师有针对性地把一些典型的巧妙解法告诉学生,但大部分学生还是对这些典型方法一知半解, 仅停留在听懂的层面。究其原因, 这样的处理方式忽略了学生解题时的真实情境及学生的认知特点, 缺少了学生的积极参与,因而思维不能产生碰撞, 讲评缺乏针对性、生成性, 教学的低效性自然就显现出来了。如何才
3、能让数学作业讲评更加有效呢？笔者通过对初中数学作业讲评多年的关注与教学实践探索，来谈初中数学作业讲评的一些策略，以供同行参考指正。策略一：展示过程，反思提高数学作业中，解答过程能充分暴露问题所在，错误的解答往往包含着合理的一面；同样，精巧的解法中也往往存在不足之处。因此在作业讲评的过程中要充分展示学生解答的思维过程，暴露错误根源，以引导学生自主纠正；反映精巧解法的本质，推广典型的解法和思路，鼓励学生大胆探索。这一切，倘若没有学生的积极参与,讲评效果就会大打折扣。1展示错误思维过程，加深理解【例一】：计算这是学习了“分式运算”后的一道作业题，当时出现如下典型的错误，笔者让学生说说当时解题的想法。
4、学生甲： 学生乙：肯定不对， 就不会等于师：哪说说你的解法？学生乙不好意思地说：我没做出。师：没关系，哪就说说你的想法吧。学生乙：在七年级学习过的，我当时也像甲同学这么做，但显然不对。于是我先把原式化为 ，然后再寻找分母4、28、70、130、4026040的规律，但是规律没找到。 对本题学生的解法，一方面，错误显然是模仿了的求解过程，反映了学生未真正理解，通过分析进一步揭示了本质是，从而加深了对问题的理解；另一方面，也反映了方法的合理性这种问题的求解往往要寻找一定的规律，这点应该值得肯定，让学生也感到有收获，这样讲评让学生体会到自己的想法解答有“亮点”也有“缺点”，学生的参与积极性会得到提高
5、，讲评的有效性自然也会得到提高。评析：一个正确的认识, 一个创新的念头, 往往要经历数次与错误的周旋,经历错误到成功的尝试和体验。讲评教学中，只有宽容学生的错误，重视错解中合理成分的提取与激活, 才能让学生在心理上认同和接受, 并自觉对其思维过程做出调整与修正。2展示正确思维过程，学有所获【例二】：已知（人教版八年级下册教材“数学活动”中的练习题）讲评时笔者让解答正确的学生谈其当时想法.学生甲：相等关系是利用具体数据代入发现的，验证时先假设从而可得；另一学生插嘴说：倒过来写就可以了。 教师肯定了以上的猜想方法与过程分析，再让其他学生谈谈对这种“执果索因”解法的认识，然后让学生去比较几何证明时常
6、用的方法。评析：通过这种探讨交流的方式进行作业讲评,可以充分展现学生的思维过程。学生可以互相学习,在学生群体思想的交流中,能力较低的学生可以受到能力较高的学生的思想和策略的激发,从感知中受益和启发。同时能促使每个学生积极思考,学会取长补短,学会如何学习吸收,自觉地改进学习的态度和方法。策略二：借题发挥，拓宽思维 数学发展观认为：数学如同其它事物一样, 是不断在运动、变化中发展的,又在不断发展中展现新的活力与生命。如果将每一个数学问题看成是“活生生”的事物而不是“死板”的东西,用数学发展观来认识它、研究它,那么我们不仅仅能很好地解决这个问题,还会最大限度地拓广视野,提高思维的广度、深度。因此在作
7、业讲评教学中不能满足就题论题，要注意变式训练，要多角度、多途径、全方位地对题目进行分析、挖掘，将所学知识串连起来。1一题多解，触类旁通【例三】：如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形EFGO的一个顶点，两个正方形的边长都为a，求两个正方形重叠部分的面积？图1图2图3 展示学生作业中的两种不同解法：解法一：如图2，过点O作OKAB，OLBC，垂足分别为K、L，证得,从而得四边形OMBN的面积等于正方形OKBL的面积。解法二：如图3, 证得,从而得四边形OMBN的面积等于的面积。教师在肯定两种解法的同时进行两种思维方法的对比，总结不同解法的特点，得出两种方法的统一性，从思维策略上都
8、是根据图形的特点把不规则图形通过割补成规则图形；从思想方法上都体现了一般到特殊的思想（两个正方形重叠时考虑特殊情形，重叠部分是正方形、等腰直角三角形，从而引出这两种解法）；从解决问题的悟性上指导了学生解决这类问题要会用运动的眼光看问题。【例四】:“三角形内切圆”作业中有这样一题：如图4，在Rt中，C为直角，AC=6，BC=8，O是的内切圆，与三边相切于E、F、G，求O的半径r.学生的解法：由CE=CF=r，得AG=AF=6-r,BG=BE=8-r,再由图4AG+BG=10得（6-r）+（8-r）=10，得r=2.教师引导后的得出如下解法：从解题思维角度看，学生的思考是抓住了运用切线长定理（即A
9、G=AF，CE=CF，BG=BE），教师的引导是考虑了切线的性质（OE=OF=OG=r,OFAC，OEBC，OGAB）。评析：在作业讲评中，对于这种一题多解的问题，通过讲评的机会引导学生从多种角度予以展示，可加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质。教师还要自我寻找多种解法，进行多种解法的思路分析和解法的比较，总结不同解法的特点，比较不同解法操作程序的差异。2一题多拓，水到渠成现代心理学的观点：一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。可见加强发散思维能力的训练是培养学生创造思
10、维的重要环节，因此，在讲评作业时，要根据学生的实际需要，可以就同一个知识点提出更深入一步或更多方面的问题，使学生在掌握了本题知识的同时再拓展和提高一步，也可以从一个领域的问题向具有相似性的另一个领域的问题进行拓宽延伸，使学生对所研究的问题有更加深刻的认识，学生的学习效率和解决问题的综合能力的提高也自然是水到渠成。CABO1O2。图5如上面的【例四】可作如下拓展：拓展一：如图5，在Rt中，C为直角，AC=6，BC=8，若半径为r的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，ACB。O1O2On图6O2与BC、AB相切，求半径r.拓展二：如图6，在Rt中，C为直角，AC=6，BC=8，当n为大
11、于2的正整数时，若半径为r的n个等圆O1、O2On依次外切，且O1与AC、AB相切，On与BC、AB相切，O1、O2On均与AB相切，求半径r.评析：众多数学问题是从基础问题出发拓展变化而来，它们根植于某个（几个）知识点，求解上仍有一定的方法、技能可循。作业讲评中要引导学生根据现有的思维水平，寻找问题知识载体和问题综合的方法，通过正确的思维方式，把新、难问题进行化归解决，做到变中求解，解中求真，从而使学生的数学思想水平获得长足的发展。3一题多变，以点带面 在讲评中，对于“剖析”有条的题目,教师可作进一步的“借题发挥”，以引起学生思维的发散，开拓思维的视野；具体的要认真分析研究，挖掘哪些知识的枢
12、纽，再从本题出发向外辐射,把与该题有关的知识及可能的解法融入其中,形成网络,让学生体会到“以不变应万变”，使学生能充分理解这类问题的本质联系，形成能力，以达到作业的功效。【例五】：解方程从作业情况来看，很多学生用公式法来解，也有部分学生用因式分解法来解。为了充分理解这两种方法的本质联系，教师设计如下变式题：变式一：当x=1时，求x2+3x-4的值；当x=-4时呢？你发现了什么？变式二：因式分解x2+3x-4变式三：计算，（x2+3x-4）(x+4)变式四：若x2+3x+k能被x-1整除，求k的值。评析：对于这样的作业题，也许很多教师觉得没有讲解的必要，事实上通过变式训练能更多的挖掘相关知识，形
13、成知识网络，更能掌握这个问题的实质, 加深对同类问题的理解，形成规律， 再遇到“改头换面”的类似题目就可以得心应手,游刃有余了，做到了解一题学一片，使学生脱离“题海”, 提高学习效率。策略三：繁简对比，内化技法图7方法是关键，思维是核心，渗透科学方法，培养思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务。通过作业的评讲过程，应该使学生的思维能力得到发展，但解题的方法也不可忽视，在掌握常规思路和解法的基础上，启发新思路，探索巧解、速解和一题多解，让学生感到方法内容新颖，学有所思，思有所得。【例六】：如图7，AB=AC=AD，BAC=50o，则BDC= 度。 此题是圆复习课后的一道作业题，设计此题的出发点是
14、利用圆的基本性质解决问题，从学生的实际解答来看并没按教师设计的意愿。学生一：BDC=ADCADB，ADC与ADB分别是等腰与等腰的底角，所以ADC=90oDAC，ADB=90oBAD=90o（BAC+DAC）学生二：因为BDC+ACD=ABD+BAC，BAC=50o已知，ACD与ABD分别是等腰、等腰的底角，所以学生三：是猜对的，当时想不出来，我按题目要求重新画出的一个比较准确的图形，然后用量角器量，发现是25o左右，于是我就填了25o。笔者先表扬了这位同学善于动手的习惯，再问道：为什么你不填20o或30o呢？这个学生马上说25o刚好是已知中50o的一半图8学生充分认识几种方法后，笔者引导说：
15、若以A为圆心，以AB为半径画一个圆，你能发现什么？（稍停片刻）一学生惊呼太简单了。从而得出又一种解法（构造圆）：如图8，以A为圆心，AB为半径作A，则C、D在A上，所以BDC= BAC=25o.通过比较几种方法，学生认同了学生一、二解法常规实用，容易想到；学生三的做法虽然没有说服力，但他的想法确也是数学问题发展与解决的一个重要手段，应该得到重视，张奠宙教授也曾说过：“任何一次数学的发展，客观上都是直觉、顿悟的结果”，构造圆的解法虽然简单，但不易想到。教师进而指出构造圆的方法真的很难想到吗？最后，让学生归纳明白是因为条件中有AB=AC=AD。评析：当问题的多种解法展示于学生面前时，学生必会主动的
16、去评价方法的繁简，通过内化的过程，吸取各种解法之精华，进而揭示最简或最佳的解法。但应让学生明白通性通法，巧法未必就是好法，不能只追求巧妙解法而忽视了基本方法。策略四：归类整合，事半功倍对于灵活多变的数学题，若只是就题论题，难免陷入题海，不但浪费大量时间，而且效率不高。正所谓有比较才有鉴别，作业讲评教学中有意识地将“形异质同”、“形似质异”的题目进行归类整合，通过题型、方法的比较，可较为有效地解决惯性思维的负迁移，使讲评真正做到事半功倍。1形异质同，透过现象看本质【例七】: 以下三个问题选自是一元二次方程复习课后的作业.若代数式M=3x2+8,N=2x2+4x,则M与N的大小关系是（ ）A、MN
17、 B、MN C、M=N D、不能确定.当a 时，多项式a2a+1有最小值 。.解方程：x28x984=0分析：.比较大小常用作差比较，M-N=x2-4x+8=（x-2）2+40 .a2a+1=(a-)2+ .考虑常数项绝对值较大，若用公式法，的值较为繁琐，相反用配方法解就简捷得多。这三个问题看似完全不同，讲评时若有意识的把三个问题进行归类对比，不难发现方法上都是在用配方法解题，这样一方面用较短的时间同时解决了三个问题，另一方面学生会重新审视配方法的作用（学生在学习了一元二次方程的各种解法后，认为配方法用处不大）。2形似质异，谨防不慎入误区【例八】：如图9，在中，AB=AC=10，BAC=150
18、o，求的面积。图9图10分析：过B作AC边上的高BD，即可求解；许多学生未能作出解答，在作业上所留的痕迹看，学生都是想过A作BC边的高来求解，但未能解出。通过与例题【如图10，在中，AB=AC=a，ABC=120o，求BC的长及的面积】的对比，发现是方法的负迁移在作怪。评析：作业中存在许多题目可能涉及的知识是同一内容的不同方面，或是不同知识的同一方面，也可能是方法上存在异同。如果这样的题目孤立讲解，不仅费时，而且低效。在讲评过程中把相同知识归一，不同知识对比的方法进行点评，学生从“异”的表象中发现“同”的本质，从“形似”的表象中发现“质异”的本质。在认知冲突和方法比较中，消除了思维定势的影响，
19、对培养学生举一反三的能力很有用处，同时提高了思维的深刻性。总之，在作业讲评前要做好错解、巧解、优解的统计，使讲评更具有针对性。讲评课上要做好题目的变化、类化、深化和优化，避免就题讲题，使学生能触类旁通、一题多解、方法灵活。对于优秀题目（设问巧、题型新、角度新、题目难易适中）要精讲，引导学生要善于类比分析，归纳总结，渗透培养学生分析解决问题的能力。简要地说，上好讲评课的关键在于“评”，不但要评“不足”，评“误解”，还要评“先进”，评“亮点”，要评出方向，评出信心，要把它作为讲评教学过程的一种调控手段。参考文献：1 中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准M北京：北京师范大学出版社，20012 刘兼，孙晓天数学新课程标准解读M北京：北京师范大学出版社，2002. 3 杨春茂任勇与数学学习指导M. 北京：北京师范大学出版社，2006.4 王飞君突破题海战术 重视解题后的反思J.中国数学教育（初中版），2007（4）5 段训明增强反思意识，优化思维品质J数学通报，2003（6）