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1、,高二数学,2.4.1 抛物线及其标准方程,(1),2.3.1a抛物线及其标准方程.gsp,（椭圆、双曲线的第二定义）,M,M,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点M的轨迹,当 时， 点M的轨迹是椭圆；,当_时， 点M的轨迹是双曲线,0e1,e1,当_时， 点M的轨迹是抛物线,e=1,l,解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,依题意得,这就是所求的轨迹方程.,标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意
2、义是:,焦点坐标是,准线方程为:,焦点到准线的距离,若抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，其开口方向有哪几种可能？,向左、向上、向下.,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是:,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦点到准线的距离,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意义:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点: (1)左边是二次式, (2
3、)右边是一次式;决定了焦点的位置. (3)焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的1/4，准线方程中的数值是一次项系数的 -1/4.,四种抛物线的对比,数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P； (4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。,口诀: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.）,求P！,例1 已知抛物线的标准方程是y26x， 求它的焦点坐标和准线方程.,焦点为 准线方程为,例2 已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，求它的标准方程,解：因为焦点在 y 轴的
4、负半轴上，并且,= 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =8y .,例3已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程,解：因为准线方程是 x = 1，所以 p=2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =4x .,例4 求满足下列条件的抛物线的标准 方程： （1）过点(-3,2)； （2）焦点在直线x2y40上.,（1）,（2）,例5点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。,|MF|+1=|x+5|,解（直接法）：,设 M(x，y)，则由已知，得,另解(定义法)：,由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.,由抛物线定义知：,点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线.,