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1、专题 44 数列 数列的通项 1（观察法、前 n 项和求通项）专题 44 数列 数列的通项 1（观察法、前 n 项和求通项） 【考点讲解】 【考点讲解】 一、具本目标：一、具本目标： 掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰 当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述：二、知识概述： 1.数列的通项公式： （1）如果数列 n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通 项公式即 n af n,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列 n a的前n项和 n
2、S和通项 n a的关系：. 2.求数列的通项公式的注意事项： （1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律， 可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用1 n 或 1 1 n 来调整 （2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由 不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. （3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项， 写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，
3、分解所 给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序 号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法； （2）已知Sn，求通项，破解方法 ： 利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。 3. 已知数列 n a的前n项和 n S，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用 11 aS求出 1 a； (2)用1n替换 n S中的n得到一个
4、新的关系， 利用 n a 1nn SS (2)n 便可求出当2n 时 n a的表达式 ； (3)对1n 时的结果进行检验， 看是否符合2n 时 n a的表达式， 如果符合， 则可以把数列的通项公式合写 ； 如果不符合，则应该分1n 与2n 两段来写 【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）累加法： （2）累乘法： 1 ( ) n n a f n a （3）待定系数法 ：（其中, p q均为常数，） 解法：把原递推公式转化为：，其中 p q t 1 ，再利用换元法转化 为等比数列求解. （ 4） 待 定
5、 系 数 法 ：（ 其 中, p q均 为 常 数 ， ）. （或,其中, ,p q r均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以 1n q，得：，令 n n n q a b ，得： ，再按第（3）种情况求解. （5）待定系数法： 解 法 ： 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 ， 即 令 ，与已知递推式比较， 解出yx,从而转化为是公比为p的等比数列. （6）待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出yx,从 而 转 化 为 是公比为p的等比数列. （7）待定系数法：（其中, p q均为常数）. 解 法 ：
6、 先 把 原 递 推 公 式 转 化 为其 中, s t满 足 stp stq ，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法： 解法 ： 这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解. （，解法：等式两边同时除以 1nn aa 后换元转化为，按第（3）种情况求解.）. （9）取对数 r nn paa 1 解法：这种类型一般是等式两边取以p为底的对数，后转化为，按第（3） 种情况求解. 5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命 题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等 (1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新
7、定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆 (2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意， 从而找到恰当的解决方法 2.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展 品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图 1 所示方式固定摆放，从第 二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以( )f n表示这n堆的乒乓 球总数，则；（( )f n的答案用n表示）. 【解析】由题意可知： . 310
8、f 图 1 所以有 通过叠加法可求得： 【答案】 3.已知整数对排列如下 则第 60 个整数对是_ 【答案】7 , 5 4.已知数列 2008，2009，1，-2008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个 数列的前 2018 项之和 2018 S_. 【答案】4017 5.如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么zyx的 值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 12 0.51 x y z 【解析】第一、二行后两个数分别为 2.5，3 与 1.25，1.5； 第三、四、五列中的5 . 0x， 16 5 y， 16 3 z，
9、 则1zyx. 答案: A 6.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每一行 的公比相等，记第i行，第j列的数为，则 84 a等于（ ） A. 8 1 B. 4 1 C. 2 1 D.1 4 1 ， 2 1 4 1 ， 4 3 8 3 16 3 【解析】因为每列都是等差数列，所以，又因为每一行都 是等比数列， 所以，所以选 B. 【答案】 B 7.已知正项数列 n a满足 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 【 分 析 】（ 1） 式 中 令 n=1,求 得 1 1a ， n 用 n-
10、1 代 ， 得 ，两式作差可得，可求得 n a。 （2）由（1） ，由错位相减法可求和。 （2） ， ， -得 ， . 【答案】 （1）21 n an（2） 8.设数列 n a的前 n 项和为 n S.已知233 n n S . （I）求 n a的通项公式； （II）若数列 n b满足，求 n b的前 n 项和 n T. 【分析】 （I）利用数列前n 项和 n S 与通项 n a 的关系求解； （II）结合第（I）问的结果，利用关系式求出数列 n b的通项公式，并结合 其通项的结构特征，采用错位相减法求其前 n 项和 n T. （II）因为，所以 1 1 3 b ， 当1n 时， 所以 11 1 3 Tb 当1n 时， 所以 两式相减，得 所以 经检验，1n 时也适合，综上可得： . 【答案】 （I）; （II）.