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1、专题 55 立体几何 空间几何体的表面积和体积专题 55 立体几何 空间几何体的表面积和体积 【考点讲解】 【考点讲解】 一、具本目标：一、具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 二、知识概述：二、知识概述： 1.体积公式： 柱体：hSV，圆柱体：hrV 2 。 斜棱柱体积：lSV （其中， S 是直截面面积，l是侧棱长） ； 锥 体 ：hSV 3 1 ， 圆 锥 体 ：, 台 体 ： 圆台体： , 球体： 3 3 4 rV。 正方体的体积 3 aV ；正方体的体积 abcV . 2.侧面积： 直棱柱侧面积：hcS，斜棱柱侧面积：lcS ； 正棱锥侧面积：
2、hcS 2 1 ，正棱台侧面积：； 圆柱侧面积：，圆锥侧面积：， 圆台侧面积：，球的表面积： 2 4 rS。 3.几个基本公式： 弧长公式：rl（是圆心角的弧度数，0） ；扇形面积公式：rlS 2 1 ； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：2 l r ； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：； 球面上两点间的距离公式：rl。 4.几何体的表面积： 圆柱的表面积 ；圆锥的表面积 ；圆台的表面 积 球体的表面积 2 4 RS. 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和 ； 表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥
3、、圆台的侧面展开图分别是 矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积 与底面圆的面积之和 3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据 与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、 补形法等方法进行求解 4.求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几 何体进行解决
4、.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面 积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求 三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计 算得到高的数值. 【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题 或填空题，难度中等以下 ； 也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何 体中各元素间的位置关系
5、及数量关系 【真题分析】【真题分析】 1.【2015 高考课标 2】已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=900,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B.64 C.144 D.256 【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC 的体积最大，设球O的半径为R，此时 ， 故6R ，则球O的表面积为，故选 C 【答案】C 2.2.【2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） A.20 B.24 C.28 D.32 【解析】由题意可知，
6、圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为 ，圆柱的底面面积为，故该 几何体的表面积为，故选 C. 【答案】C 3.【2016 高考新课标 3】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的表面积为（ ） A.1836 5 B.54 18 5 C.90 D.81 【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是： ，故选 B 【答案】B 4.【2017 浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 （ ） A1 2 B3 2 C1 2 3 D3 2 3 【解析】 本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积
7、的问题， 由三视图可知， 原立体图形是一个组合体， 是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是 1，三棱锥的底面是以 2 为底边的等腰直角三角形， 两锥体的高是 3.体积为. 【答案】A 5.【2017 山东，理 13】由一个长方体和两个 1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积 为 . 【解析】由三视图可知长方体的长为 2，宽为 1，高为 1，圆柱的底面半径是，高也为 1.长方体的体积为 ，圆柱一半的体积为： .几体的体积为： 【答案】2 2 6.【2018 年天津卷】已知正方体的棱长为 1，除面ABCD外，该正 方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，
8、则四棱锥MEFGH的体积为_. 【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高. 观察图形可得底面四边形EFGH是边长为 2 2 的正方形，面积为 .顶点M到底面四边形EFGH的距离为 1 2 d ，所以四棱锥MEFGH的体积为 . 【答案】 1 12 7 【2018 年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_ 【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于2，所以 该多面体的体积为. 【答案】 4
9、3 8 【2018 年全国卷 II】已知圆锥的顶点为S，母线,SA SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为 45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_ 【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径， 最后求出圆锥的侧面积.由母线,SA SB所成角的余弦值为 7 8 ，可求得母线,SA SB所成角的正弦值 15 8 ，由 SAB的面积为5 15，设母线的长为l，可知lSASB，由三角形的面积公式可得 ，所 以可得 2=80 l，又因为SA与圆锥底面所成角为 45， 底面半径为，圆锥的侧面积为 . 【答案】40 2 【模拟考场
10、】【模拟考场】 1. 【2015 高考新课标 2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为( ) A 8 1 B 7 1 C 6 1 D 5 1 【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体 111 AAB D，如图 所示， ，设正方体棱长为a，则，故剩余几何体体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5 1 ，故选 D 【答案】D 2.正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 （ ） A4 B8 C12 D16 【解析】因底面边长为3,故底面中心到顶点的距离是1,即球的截面圆的半径为1
11、,所以 ,其表面积为,故应选 B. 【答案】B 3.【2015 高考课标 1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20，则r=（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】由正视图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是r，圆柱 的高为 2r，表面积为 .可得=2r. 【答案】B 4.【原题】 （必修 2 第 28 页习题 1.3 第 3 题） 如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥， 求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。 【解析】由题可设长方体的长、宽
12、、高分别为；a, b, c. 则，而长方体体积为； 剩下几何体体积为； 5 6 Vabc 剩 ，则； 1 5 V V 锥 剩 【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用 分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而求出体积比。体现了基本运算能力、 空间想象能力和分解与组合的思想。 5. 【原题】 （必修 2 第 37 复习参考题 B 组 2）一个长、宽、高分别是 80 cm、60 cm、55cm 的水槽中有水 200000 3 cm.线放入一个直径为 50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否 会从水槽中流出？ 【解
13、析】水槽的容积 V=806055=264000(cm3)， 木球的体积， ， 水不会从水槽中流出 【原题解读】本题以物理中漂浮现象为背景，需要我们分析出利用体积，即水槽中水的体积加球体水中部 分的体积之和与长方体体积比较，来解答。体现了数学建模能力和应用意识与运算能力。同时可延伸拓展 为球体与多面体内接域外切问题. 6.一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面 恰好和球面相切,问将圆锥内的铁球取出后,圆锥内水面的高是多少? 分析:欲求取出后圆锥内水面的高度为PH,先求出,V水因为 【解析】设球未取出高 PC=h,球取出后水面高PH=x 3
14、r 3 4 V 球 球取出后水面下降到 EF,水的体积为 而即 rx 3 15所以球取出后水面的高为r 3 15. 7. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 正视图(或称主视图)是一个底边长为8、 高为4的等腰三角形， 侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S 【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ; (1) (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为 , 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,AB
15、边上的高为 . 因此. 8.【原题】 （必修 2 第 29 习题 1.3 B 组 1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积 和体积（尺寸如图，单位：cm， 取 3.14，结果分别精确到 1cm，1cm，可用计算器） 。 【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知， 可知球的直径为 4cm，则球的半径R为 2cm， 所以球的表面积和体积分别为： S球=4 2 R =422=16（ 2 cm） ，V 球=43R3=4323=323（ 3 cm） 而四棱柱（长方体）的长为 8cm，宽为 4cm，高为 20cm， 所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为： S四棱柱=（84+420+8
16、20）2=2722=544 2 cm，V四棱柱=8420=640 3 cm。 该四棱台的高为 2cm，上底面为一个边长为 12cm 的正方形，下底面为边长为 20cm 的正方形四棱台的表 面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我 们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AECD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE 为四棱台ABCD面上的斜高：AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为： S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=412+20225+1212+2020=（1285+544） 2 cm， V
17、四棱台=131212+1212+2020+20202=23544+434 3 cm 表面积是表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表 面积相加不是奖杯的表面积应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积： 奖杯的表面积S=S球+S四棱柱+S四棱台-2S四棱柱底面=16+544+1285+544-2 （48） =16+1024+12851360 2 cm， 奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323+640+23434+5441052 3 cm 【原题解读】：本题在考察三视图的同时，进而要求计算常见几何体的体积和表面积，而题中几何体由常 见几何体组合而成，可采用分解的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算 表面积时，几何体接触部分需减去。