《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.2 第2课时 等差数列的性质 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.2 第2课时 等差数列的性质 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 课时 等差数列的性质课时 等差数列的性质 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简 化计算 知识点一 等差数列通项公式的变形及推广 andn(a1d)(nN*)， anam(nm)d(m，nN*)， d(m，nN*，且 mn) anam nm 其中的几何意义是点(n，an)均在直线 ydx(a1d)上 可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1. 即斜率公式 k，可用来由等差数列任两项求公差 y2y1 x2x1 知识点二 等差数列的性质 在等差数列an中， 若 mnpq(m， n， p， qN*)， 则 amanapaq.特别地
2、， 若 mn2p， 则 aman2ap. 知识点三 由等差数列衍生的新数列 若an，bn分别是公差为 d，d的等差数列，则有 数列结论 can公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) can公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) anank公差为 2d 的等差数列(k 为常数，kN*) panqbn公差为 pdqd的等差数列(p，q 为常数) 1若数列an的通项公式 anknb，则an是公差为 k 的等差数列( ) 2等差数列an中，必有 a10a1a9.( ) 3若数列 a1，a2，a3，a4，是等差数列，则数列 a1，a3，a5，也是等差数列( ) 4若数列 a1，a3，a5，和 a2
3、，a4，a6都是公差为 d 的等差数列，则 a1，a2，a3是等差 数列( ) 题型一 anam(nm)d 的应用 例 1 在等差数列an中，已知 a25，a817，求数列的公差及通项公式 解 因为 a8a2(82)d，所以 1756d，解得 d2. 又因为 ana2(n2)d，所以 an5(n2)22n1，nN*. 反思感悟 灵活利用等差数列的性质， 可以减少运算 令m1， anam(nm)d即变为ana1 (n1)d，可以减少记忆负担 跟踪训练 1 已知bn为等差数列，若 b32，b1012，则 b8 . 答案 8 解析 方法一 bn为等差数列，可设其公差为 d， 则 d2， b10b3
4、103 122 7 bnb3(n3)d2n8. b82888. 方法二 由d， b8b3 83 b10b3 103 得 b85b3 b10b3 103 25(2)8. 题型二 等差数列性质的应用 例 2 已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式 解 方法一 因为 a1a72a4，a1a4a73a415， 所以 a45. 又因为 a2a4a645，所以 a2a69， 所以(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9， 解得 d2. 若 d2，ana4(n4)d2n3，nN*； 若 d2，ana4(n4)d132n，nN*. 方法二 设等差数列的公差为 d
5、， 则由 a1a4a715，得 a1a13da16d15， 即 a13d5. 由 a2a4a645， 得(a1d)(a13d)(a15d)45， 将代入上式，得 (52d)5(52d)45， 即(52d)(52d)9， 联立解得 a11，d2 或 a111，d2， 即 an12(n1)2n3，nN*； 或 an112(n1)2n13，nN*. 引申探究 1 在例 2 中， 不难验证 a1a4a7a2a4a6， 那么， 在等差数列an中， 若 mnpqr s，m，n，p，q，r，sN*，是否有 amanapaqaras? 解 设公差为 d，则 ama1(m1)d， ana1(n1)d， apa1
6、(p1)d， aqa1(q1)d， ara1(r1)d， asa1(s1)d， amanap3a1(mnp3)d， aqaras3a1(qrs3)d， mnpqrs， amanapaqaras. 2在等差数列an中，已知 a3a810，则 3a5a7 . 答案 20 解析 a3a810，a3a3a8a820. 33885557， a3a3a8a8a5a5a5a7， 即 3a5a72(a3a8)20. 反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利 用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之这些方 法都运用了整体代换与方程的思想 跟
7、踪训练 2 在等差数列an中，已知 a1a4a739，a2a5a833，求 a3a6a9的值 解 方法一 (a2a5a8)(a1a4a7)3d， (a3a6a9)(a2a5a8)3d， a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列 a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927. 方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39， a13d13， a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d) 3a112d33. a14d11， 联立解得Error! a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27. 题型三 等差数列的设
8、法与求解 例 3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于 18，它们的平方和等于 116，求这三 个数 解 设这三个数分别为 ad，a，ad，且 d0. 由题意可得Error! 解得Error!或Error! d0，a6，d2. 这个数列是 4,6,8. 反思感悟 设等差数列的三个技巧 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，xd，x，xd，此时公差为 d. (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a3d，ad，ad，a3d，此时公 差为 2d. (3)等差数列的通项可设为 anpnq. 跟踪训练 3 三个数成等差数列，这三个数的和为 6，三个数之积为24，求这三个数 解 设这三个
9、数分别为 ad，a，ad. 由题意可得Error! 解得Error!或Error! 所求三个数为2,2,6 或 6,2，2. 数列问题如何选择运算方法 典例 等差数列an中，a3a72a1540，求 a10. 解 方法一 设an的公差为 d. 则 a3a72a15a12da16d2(a114d) 4a136d4(a19d) 4a1040， a1010. 方法二 a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040， a1010. 素养评析 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)； 二是借助等差数列性质简化计算前者是通用方法，但计算量大，后者不
10、一定每个题都能用， 能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但 不要刻意追求巧法. 1在等差数列an中，已知 a310，a820，则公差 d 等于( ) A3 B6 C4 D3 答案 B 解析 由等差数列的性质得 a8a3(83)d5d， 所以 d6. 2010 5 2在等差数列an中，已知 a42，a814，则 a15等于( ) A32 B32 C35 D35 答案 C 解析 由 a8a4(84)d4d14212，得 d3， 所以 a15a8(158)d147335. 3等差数列an中，a4a515，a712，则 a2等于( ) A3 B3 C. D 3
11、 2 3 2 答案 A 解析 由数列的性质，得 a4a5a2a7， 所以 a215123. 4设公差为2 的等差数列an，如果 a1a4a7a9750，那么 a3a6a9a99 等于( ) A182 B78 C148 D82 答案 D 解析 a3a6a9a99 (a12d)(a42d)(a72d)(a972d) (a1a4a97)2d33 502(2)33 82. 5在等差数列an中，已知 amn，anm，m，nN*，则 amn的值为 答案 0 解析 设等差数列的公差为 d， 则 d1， aman mn nm mn 从而 amnam(mnm)dnn(1)0. 1在等差数列an中，每隔相同数目的
12、项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍 然是等差数列 2在等差数列an中，首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果 条件与结论间的联系不明显，则均可根据 a1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的 变形及整体计算，以减少计算量 一、选择题 1已知数列an为等差数列，a36，a918，则公差 d 为( ) A1 B3 C2 D4 答案 C 解析 因为数列an为等差数列，所以 a9a36d，即 1866d，所以 d2. 2在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8的值等于( ) A45 B75 C180 D300 答案 C 解析 a3a4
13、a5a6a7 (a3a7)(a4a6)a55a5450，a590. a2a82a5180. 3 已知等差数列an的公差为 d(d0)， 且 a3a6a10a1332， 若 am8， 则 m 的值为( ) A12 B8 C6 D4 答案 B 解析 由等差数列的性质，得 a3a6a10a13(a3a13)(a6a10) 2a82a84a832， a88，又 d0，m8. 4已知数列是等差数列，且 a32，a1530，则 a9等于( ) an n A12 B24 C16 D32 答案 A 解析 令 bn， 由题意可知 b3 ， b152， 则等差数列bn的公差 d ， an n a3 3 2 3 a
14、15 15 b15b3 153 1 9 则 b9b3(93)d ，所以 a99b912，故选 A. 4 3 5已知数列an为等差数列且 a1a7a134，则 tan(a2a12)的值为( ) A. B C D33 3 3 3 答案 D 解析 由等差数列的性质得 a1a7a133a74， a7. 4 3 tan(a2a12)tan(2a7)tan tan . 8 3 2 3 3 6若 a，b，c 成等差数列，则二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点的个数为( ) A0 B1 C2 D1 或 2 答案 D 解析 a，b，c 成等差数列，2bac， 4b24ac(ac)24ac(ac)2
15、0. 二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. 7(2018河南省实验中学期末)已知an是公差为正数的等差数列，a1a2a315，a1a2a3 80，则 a11a12a13的值为( ) A105 B120 C90 D75 答案 A 解析 由 a1a2a315， 得 a25， 所以 a1a310.又 a1a2a380， 所以 a1a316， 所以 a12， a38 或 a18， a32.又等差数列an的公差为正数， 所以an是递增数列， 所以 a12， a38， 所以等差数列an的公差 da2a1523，所以 a11a12a133a123(a111d)105. 8等
16、差数列an中，a3a7a101，a11a421.则 a7等于( ) A7 B10 C20 D30 答案 C 解析 a3a7a10a11a4 a3a7a11(a10a4) 3a72a7a7， a721120. 二、填空题 9在等差数列an中，已知 5 是 a3和 a6的等差中项，则 a1a8 . 答案 10 解析 由 5 是 a3和 a6的等差中项， 可得 a3a62510， 则由等差数列的性质可得 a1a8 a3a610. 10若三个数成等差数列，它们的和为 9，平方和为 59，则这三个数的积为 答案 21 解析 设这三个数为 ad，a，ad， 则Error! 解得Error!或Error!
17、这三个数为1,3,7 或 7,3，1. 这三个数的积为21. 11在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 第 1 列第 2 列第 3 列 第 1 行123 第 2 行246 第 3 行369 那么位于表中的第 n 行第 n1 列的数是_ 答案 n2n 解析 第 n 行的第一个数是 n， 第 n 行的数构成以 n 为公差的等差数列， 其第 n1 项为 nnn n2n.所以数表中的第 n 行第 n1 列的数是 n2n. 三、解答题 12在等差数列an中， (1)已知 a2a3a23a2448，求 a13； (2)已知 a2a3a4a534，a2a552，求公差 d. 解 方法一 (1)
18、直接化成 a1和 d 的方程如下： (a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48， 即 4(a112d)48， 4a1348，a1312. (2)直接化成 a1和 d 的方程如下： Error! 解得Error!或Error! d3 或3. 方法二 (1)根据已知条件 a2a3a23a2448，得 4a1348，a1312. (2)由 a2a3a4a534， 得 2(a2a5)34，即 a2a517， 解Error! 得Error!或Error! d3 或 d3. a5a2 52 134 3 a5a2 52 413 3 13在等差数列an中， (1)若 a2a4a6a8a1080，求
19、 a7 a8； 1 2 (2)已知 a12a8a1596，求 2a9a10. 解 (1)a2a4a6a8a105a680，a616， a7 a8 (2a7a8) (a6a8a8) a68. 1 2 1 2 1 2 1 2 (2)a12a8a154a896，a824. 2a9a10a10a8a10a824. 14若等差数列an满足 an1an4n3，则an的通项公式为 答案 an2n (nN*) 5 2 解析 由题意得 an1an4n3， an2an14n1， ，得 an2an4. an是等差数列，设公差为 d，d2. a1a21，a1a1d1，a1 . 1 2 an (n1)22n (nN*) 1 2 5 2 15已知两个等差数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的项数均为 100，则它们有 多少个彼此具有相同数值的项？ 解 因为 an3n2(nN*)，bk4k1(kN*)，两数列的共同项可由 3n24k1 求得， 所以 n k1.而 nN*，kN*， 4 3 所以设 k3r(rN*)，得 n4r1. 由已知Error!且 rN*，可得 1r25. 所以共有 25 个相同数值的项