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1、核心素养提升练五十四 核心素养提升练五十四 抛 物 线抛 物 线 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上点 P(-3,m)到焦点的距离为 5,则抛物线 方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 【解析】选 B.设抛物线方程为 y2=-2px(p0),则-(-3)=5,即 p=4,所以抛物线方程为 y2=-8x. 【变式备选】(2018玉溪模拟)若抛物线 y2=2px(p0)上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则 抛物线的标准方程为 ( ) A.y2=4x B.y
2、2=6x C.y2=8x D.y2=10x 【解析】 选 C.因为抛物线 y2=2px,所以准线为 x=-.因为点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,所以 2+=4,即 p=4,所以抛物线的标准方程为 y2=8x. 2.已知抛物线的方程为 y2=2px(p0),过抛物线上一点 M(p,p)和抛物线的焦点 F 作直线l交抛物线于另一点 N,则|NF|FM|=( ) A.1B.1 C.12D.13 【解析】选 C.由已知直线l的方程为 y=2x-,联立得 N,- p ,所以|NF|=+=p,|MF|=p+=p,所以|NF|FM|=12. 3.已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2.若抛
3、物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为 ( ) A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 【解析】选 D.因为- =1 的离心率为 2,所以=2,即=4,所以=. x2=2py 的焦点坐标为0, -=1 的渐近线方程为 y=x,即 y=x.由已知 =2,即 p=8.所以 C2的方程为 x2=16y. 4.若点 A 的坐标为(3,2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得 最小值的 M 的坐标为( ) A.(0,0) B.,1 C.(1,) D.(2,2) 【解析】选 D.
4、过 M 点作准线的垂线,垂足是 N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当 A,M, N 三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时 M(2,2). 5.已知点 M 是抛物线 C:y2=2px(p0)上一点,F 为 C 的焦点,MF 的中点坐标是(2,2),则 p 的值为 ( ) A.1B.2C.3D.4 【解析】 选 D.F,0 ,那么 M 4-,4 在抛物线上,即 16=2p 4-,即 p2-8p+16=0,解得 p=4. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2018西安模拟)如图,过抛物线 y=x2的焦点 F 的直线l与抛物线和圆 x2+(y-1)2=1 交于 A
5、,B,C,D 四点,则=_. 【解析】不妨设直线 AB 的方程为 y=1,联立解得 x=2,所以 A(-2,1),D(2,1),因 为 B(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以=-1. 答案:-1 7.(2018正定模拟)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则=_. 【解析】|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,所以 C,-a ,F+b,b , 又抛物线 y2=2px(p0)经过 C,F 两点,所以 即 所以 b2=a2+2ab, 2-2 -1=0, 又1,所以=1+. 答案:1+ 8.已知正A
6、OB(O 为坐标原点)的顶点 A,B 在抛物线 y2=3x 上,则AOB 的边长是_. 【解析】由抛物线的对称性得AOx=30, 所以直线 OA 的方程为 y=x,联立,解得 A(9,3).所以|AO|= =6. 答案:6 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知点 A(2,1)在抛物线 E:x2=ay 上,直线l1:y=kx+1(kR,且 k0)与抛物线 E 相交于 B,C 两 点,直线 AB,AC 分别交直线l2:y=-1 于点 S,T. (1)求 a 的值. (2)若|ST|=2,求直线l1的方程. 【解析】(1)因为点 A(2,1)在抛物线 E:x2=ay 上, 所以 a
7、=4. (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2=4y. 设点 B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 依题意得=4y1,=4y2, 由消去 y,得 x2-4kx-4=0, 解得 x1,2=2k2. 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 直线 AB 的斜率 kAB=, 故直线 AB 的方程为 y-1=(x-2). 令 y=-1,得 x=2-(由题意知 x1+20), 所以点 S 的坐标为. 同理可得点 T 的坐标为. 所以|ST|= = = =, 因为|ST|=2, 所以|x1-x2|=2|k|. 由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得 20k2=16k2+1
8、6,解得 k=2 或 k=-2, 所以直线l1的方程为 y=2x+1 或 y=-2x+1. 10.(2019衡水模拟)已知抛物线 C:y2=ax(a0)上一点 P到焦点 F 的距离为 2t. (1)求抛物线 C 的方程. (2)抛物线上一点 A 的纵坐标为 1,过点 Q(3,-1)的直线与抛物线 C 交于 M,N 两个不同的点(均 与点 A 不重合),设直线 AM,AN 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2为定值. 【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则 a=4t, 由点 P在抛物线上,则 at=. 所以 a=,则 a2=1, 由 a0,则 a=1, 故抛物线的方程为 y
9、2=x. (2)因为 A 点在抛物线上,且 yA=1. 所以 xA=1, 所以 A(1,1),设过点 Q(3,-1)的直线l的方程 x-3=m(y+1).即 x=my+m+3, 代入 y2=x 得 y2-my-m-3=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=m,y1y2=-m-3, 所以 k1k2= = =-,为定值. (20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2018哈尔滨模拟)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为l,P 是l上一点,Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点,若=4,则|QF|等于 ( ) A. B.3 C. D.2 【解析】选 B.设 Q 到
10、l的距离为 d,则|QF|=d,因为=4,所以|PQ|=3d,不 妨设直线 PF 的斜率为-=-2,因为 F(2,0),所以直线 PF 的方程为 y= -2(x-2),与 y2=8x 联立得 x=1,所以|QF|=d=1+2=3. 2.(5 分)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则 AOB 的面积为 ( ) A. B. C.D.2 【解析】 选 C.焦点 F(1,0),设 A,B 分别在第一、 四象限,则点 A 到准线l:x=-1 的距离为 3,点 A 的横坐标为 2,纵坐标为 2,AB 的方程为 y=2(x-1),与抛物线方程
11、联立得 2x2-5x+2=0, 所 以 B 的横坐标为,纵坐标为-,SAOB=1(2+ )=. 3.(5 分)(2018正定模拟)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线l过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若 |AF|=3|BF|,则l的方程为 ( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y=(x-1)或 y=-(x-1) C.y=(x-1)或 y=-(x-1) D.y=(x-1)或 y=-(x-1) 【解析】选 C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点 A,B 到准线的垂线段 AA1,BB1, 设直线l交准线于点 M,|BF|=m, 由抛物线的定义知|BB1|=m,|AA1|=|AF
12、|=3m, 由 BB1AA1知 =, 即=, 所以|MB|=2m,|MA|=6m,所以AMA1=30,AFx=MAA1=60. 4.(12 分)设直线l的方程为 x=m(y+2)+5,该直线交抛物线 C:y2=4x 于 P,Q 两个不同的点. (1)若点 A(5,-2)为线段 PQ 的中点,求直线l的方程. (2)证明:以线段 PQ 为直径的圆 M 恒过点 B(1,2). 【解析】(1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立,消去 x 得 y2-4my-4(2m+5)=0,所以 y1+y2=4m,y1y2=-8m-20, 因为 A 为线段 PQ 的中点, 所以=2m=-2,解得 m=-
13、1, 所以直线l的方程为 x+y-3=0. (2)因为 x1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10,x1x2=(2m+5)2, 所以=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2), 即=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4, 所以=(2m+5)2-(4m2+4m+10)+1+-8m-20-2(4m)+4 =0, 所以 BPBQ,即以线段 PQ 为直径的圆恒过点 B(1,2). 5.(13 分)(2016全国卷)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线l1,l2分别 交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q
14、两点. (1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:ARFQ. (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 【解析】(1)由题意可知 F,设l1:y=a,l2:y=b 且 ab0,A,B, P,Q,R, 记过 A,B 两点的直线方程为l,由点 A,B 可得直线方程为 2x-(a+b)y+ab=0, 因为点 F 在线段 AB 上,所以 ab+1=0, 记直线 AR 的斜率为 k1,直线 FQ 的斜率为 k2, 所以 k1=,k2=-b,又因为 ab+1=0, 所以 k1=-b,所以 k1=k2,即 ARFQ. (2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 D, 所以 SABF= =, 又 SPQF=, 所以由题意可得 SPQF=2SABF 即:=2|a-b|, 解得 x1=0(舍)或 x1=1. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y). 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE可得=(x1).而=,所以 y2=x- 1(x1). 当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合,所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.